Časová propagace vlnové funkce na mřížce I. (práce s momentovou reprezentací)

1. Časová propagace vlnové funkce na mřížce I.(práce s momentovou reprezentací) (Lekce II)

2. Vhodná použití časové propagace: • 1D modelové problémy • vícedimenzionální problémy • do 3-4 dimenzí • buď konstrukce vícedimenzionální mříže • nebo v kombinaci s rozvojem do bázových funkcí (např. vibrační část diatomika na mřížce, rotační část rozvojem do kulových funkcí) • nepoužíváme pokud: • potenciál obsahuje singularitu(y) (Coulombický potenciál)

3. x3 x4 xmax x2 x1=xmin x Numerické řešení na mříži • Volba intervalu na ose x • nenulové části vlnové funkce jsou pouze uvnitř intervalu • Zadání vlnové funkce pomocí hodnot na ekvidistantní mříži bodů: • předpokládáme periodické okrajové podmínky • jednoduchá diskretizace integrálů • jednoduchý převod do momentové reprezentace

4. Numerické řešení na mříži • aplikace potenciálu na funkce na ekvidistantní mříži • násobení: • výpočet normy a středních hodnot • definice a výpočet normy: • definice a výpočet střední hodnoty op. A:

5. Praktická aplikace • Příklad: • Mějme vlnovou funkci zadanou takto: • která představuje počáteční stav časově závislého procesu v Morseho potenciálu: • Vytvořte skript, který: • definuje tuto funkci na mřížce pro libovolné hodnoty parametrů • vypočítá normu a střední hodnotu potenciálu • vykreslí potenciál a zároveň vlnovou funkci sum()

6. Momentová reprezentace • k čemu ji potřebujeme počítat: • kinetický operátor • aproximace evolučního operátoru • neadiabatické interakce… • definice s normou pro nekonečný interval: • definice pro periodické okrajové podmínky: • numerická diskretizace integrálu:

7. Momentová reprezentace • diskretizace p-reprezentace vyplývající z periodické okrajové podmínky: • vlnová funkce je lineární kombinací pouze těch rovinných vln, které odpovídají dané periodické symetrii rigorózněji…

8. Momentová reprezentace • periodická symetrie funkce: • nenulové hodnoty transformované funkce pouze pro případ: • musí platit pro všechna m, nejsilnější je podmínka m=1 • diskrétní mřížka v p odpovídající periodické bázi rovinných vln

9. Momentová reprezentace • maximální počet bodů v p-reprezentaci – maximální frekvence, o níž máme numerickou informaci, je dána frekvencí bodů ekvidistantní mřížky  maximální počet bodů je N

10. Momentová reprezentace • nastavení počátku momentové osy: • numerické řešení integrálu N = 8 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

11. Momentová reprezentace • požadavek zachování normy při přechodu mezi x- a p- reprezentací: • norma v x-reprezentaci • norma v p-reprezentaci

12. Momentová reprezentace • přerozdělíme sumu • poslední suma dává Kr. delta (dokažte!) • využijeme vztahu

13. Momentová reprezentace aplikace v Matlabu: • numerické zadání: • x a Ψ jsou řádkové matice o rozměru N, které reprezentují vlnovou funkci na mřížce. Chceme vypočítat transformovanou vlnovou funkci v momentové reprezentaci, která je dána řádkovými maticemi p a • postup řešení: • výpočet vektoru p1 … pN • způsob: nahrazení sumy maticovým násobením • způsob: přepis sumy jako sumy standardní FFT (později)

14. Momentová reprezentace • 1. způsob řešení: • sumu: • nahradíme maticovým násobením • kde:

15. Příklad: (Pokračování minulého příkladu.) Vytvořte dvě funkce, které lze používat pro opakovaný převod vlnové funkce do momentové reprezentace. Účelem první (přípravné) funkce je vytvořit mřížku v p-reprezentaci p na základě mřížky v x-reprezentaci a dále matici Fourierových koeficientů c. Obě matice uložte jako prvky strukturované proměnné PAR, která bude na výstupu funkce. Účelem druhé funkce je provést samotný převod vlnové funkce do momentové reprezentace. Vstupními parametry jsou matice Ψ a proměnná PAR, výstupním parametrem je matice . Použijte vytvořené funkce k výpočtu momentové reprezentace zadané vlnové funkce, znázorněte ji v grafu a vypočítejte střední kinetickou energii (tyto kroky připište do minulého skriptu).

16. Momentová reprezentace • zpětná transformace z momentové do souřadnicové reprezentace • proč potřebujeme: • aplikace operátorů definovaných v momentové reprezentaci: • obecná definice zpětné transformace • využití periodické symetrie v p pro výpočet integrálu – viz důkazy dále…

17. Momentová reprezentace • důkaz periodické symetrie v p až na fázi • vyplývá z diskretizace x pro

18. Momentová reprezentace • (1) přepis transformace s využitím periodických vlastností: • (2) úprava exponentu dosazením za hybnost: • využití definice mřížky x:

19. Momentová reprezentace • využití vztahu mezi Δx a Δp: • úprava exponentu z bodu (2) • dosazení do bodu (1)

20. Momentová reprezentace • 1. způsob řešení: • sumu: • nahradíme maticovým násobením • kde: Příklad: Dokažte rovnost pravé a levé strany:

21. Příklad: Numerická implementace zpětné transformace z momentové reprezentace do souřadnicové lze řešit analogicky jako přímou transformaci (viz níže). Vytvořte funkci v Matlabu pro zpětnou transformaci vlnové funkce, která využívá matici Fourierových koeficientů c, která byla vytvořena v předchozím příkladu. Ověřte, zda opakované použití přímé a zpětné transformace vede k původní vlnové funkci. Ukažte, jak lze využít přímé a zpětné transformace k aplikaci kinetického operátoru na vlnovou funkci. Aplikujte kinetický operátor také pomocí Matlabové funkce gradient a porovnejte oba způsoby výpočtu.

22. Numerické aplikace kinetického operátoru • přednostně využíváme Fourierovy transformace • u numerických metod s využitím několika sousedních bodů vzniká chyba. Tu ilustrujeme pro aplikaci kinetického operátoru na rovinnou vlnu: • aproximace • aplikace na rovinnou vlnu:

23. Numerické aplikace kinetického operátoru • úprava výsledku… • porovnání s exaktním výrazem • závěrem: lze ukázat, že čím větší počet sousedních bodů, tím menší chyba vzniká. Proto využíváme přednostně Fourierovu transformaci, která uvažuje všechny body na mřížce (je „globální“). chyba.

24. Momentová reprezentace • využití FFT - rychlejší pro praktické účely • přímá transformace: 1. úprava původní funkce v x-reprezentaci 2. FFT – z pomocné funkce g získáme pomocnou funkci f 3. úprava funkce v p-reprezentaci

25. Momentová reprezentace • odvození postupu přímé transformace s využitím FFT

26. Momentová reprezentace • zpětná transformace: 1. úprava původní funkce v x-reprezentaci 2. FFT – z pomocné funkce f získáme pomocnou funkci g 3. úprava funkce v p-reprezentaci

27. Momentová reprezentace • odvození postupu zpětné transformace s použitím FFT:

28. Momentová reprezentace Příklad: Vytvořte 3 funkce v Matlabu pro převod mezi souřadnicovou a momentovou reprezentací funkcí na mřížce využívající zabudovaných funkcí pro FFT. Jedna funkce bude mít úlohu přípravy pomocných funkcí f a g. Další dvě funkce se budou používat pro samotnou přímou resp. zpětnou transformaci. Správnou funkci programů ověřte porovnáním výsledků získaných s programy vytvořenými v předchozích příkladech. *Zjistěte, jak se liší rychlost opakovaných transformací pro oba probrané způsoby.