Cap 6 – Efeitos da R ealimentação e Erros em Regime Permanente

1. INTRODUÇÃO AO CONTROLO 1º semestre – 2011/2012 Cap 6 – Efeitos da Realimentação e Erros em Regime Permanente Transparências de apoio às aulas teóricas Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

2. Objectivo e Sumário • Enunciar os requisitos de um sistema de controlo • Apresentar e discutir os principais efeitos da realimentação • Especificações no projecto de controladores • Erros em regime estacionário • Com retroacção unitária • Sem retroacção unitária • Referências • Cap.4 (Secções 4.1 e 4.2) da referência principal • Notas de Eduardo Morgado

3. Sistemas de Controlo • Um sistema moderno de controlo • avalia as condições de operação do sistema • compara-as com o comportamento desejado • calcula acções correctivas com base num modelo do sistema • actua no sistema para implementar essas acções correctivas Sistema Sensoriamento / Percepção Computação Actuação Sistema de controlo implementado em computador Perturbações externas Ruído Ruído Saída Sensores Sistema Actuadores Processo Controlador Relógio Computador D/A A/D Entrada de referência

4. Actuador Sistemas de Controlo: Nomenclatura Perturbação Perturbação Entrada de Referência + + Variável Controlada + Erro + + Transdutor de entrada Processo Controlador _ Transdutor de saída ou sensor + + Ruído nos sensores Sinal de comando Cadeia de retroacção Controlador Sistema a controlar + + _ + + +

5. Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo REQUISITOS USUAIS • Um bomseguimento do sinal de referência • a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja, o erro deve ser pequeno • Uma boarejeição dos efeitos dasperturbações, incluindo ruído • Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações • Estabilidade • Pequena sensibilidade à variação de parâmetros • Robustez de estabilidade • Relativamente à variação de parâmetros • Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de controlador • Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por um modelo mais simples de 2ª ordem E. Morgado Controlo, 1998

6. Sistemas de Controlo: Efeitos da realimentação • Quando bem projectados Especificações de controlo modos de expressar os requisitos • Resposta transitória • Estabilidade • Errosem Regime Estacionário • .... • os sistemas de controlo em cadeia fechada reduzem o efeito • de perturbações externas aosistema, incluindo ruído nos sensores • de variações dos parâmetros do sistema devidas ao envelhecimento, tolerâncias de fabrico ou efeitos de carga • A resposta transitória é modificada com a introdução de realimentação, mas as condições de estabilidade podem serafectadas • Os sistemas em cadeia fechada são estáveis

7. Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo REQUISITOS USUAIS • Um bomseguimento do sinal de referência • a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deve ser pequeno • Uma boarejeição dos efeitos dasperturbações, incluindo ruído • Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações • Estabilidade • Pequena sensibilidade à variação de parâmetros • Robustez de estabilidade • Relativamente à variação de parâmetros • Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de controlador • Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por um modelo mais simples de 2ª ordem Já foi estudada • Mais à frente será quantificada a estabilidade relativa. • Para sistemas estáveis, importa saber quão estável é? E. Morgado Controlo, 1998

8. Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo REQUISITOS USUAIS • Um bomseguimento do sinal de referência • a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deve ser pequeno • Uma boarejeiçãodos efeitos dasperturbações, incluindo ruído • Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações • Estabilidade • Pequena sensibilidade à variação de parâmetros • Robustez de estabilidade • Relativamente à variação de parâmetros • Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de controlador • Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por um modelo mais simples de 2ª ordem E. Morgado Controlo, 1998

9. W(s) + Y(s) R(s) + K G(s) W(s) + Y(s) R(s) + + K G(s) _ Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações • Rejeição de perturbações • Perturbações externas na cadeia de acção cadeia aberta sistema linear princípio da sobreposição Não há possibilidade de atenuar o efeito de W sobre Y cadeia fechada princípio da sobreposição A saída é tanto menos afectada por W quanto maior for o ganho K

10. Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações • Rejeição de perturbações • Perturbações externas na cadeia de acção W(s) + Y(s) R(s) + + K cadeia fechada _ K=2 K=8 perturbação Saída y(t) do sistema em cadeia fechada sem perturbação K=15 K=30 Saída y(t) do sistema em cadeia fechada quando existe a perturbação indicada a análise da rejeição de perturbações pode fazer-se também no domínio da frequência

11. Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações • Rejeição de perturbações • Perturbações externas na cadeia de acção d + Y(s) cadeia fechada + R(s) + K _ referência temperatura desejada perturbação Um aumento do ganho do controlador diminui o efeito da perturbação

12. Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações • Rejeição de perturbações • Perturbações externas na cadeia de acção + • Ruído nos sensores cadeia fechada W(s) + Y(s) R(s) E(s) + + K + _ + ruído nos sensores N(s) Como é a rejeição das perturbações para uma frequência s=jw?

13. Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações • Rejeição de perturbações • Perturbações externas na cadeia de acção + • Ruído nos sensores Como é a rejeição das perturbações para uma frequência s=jw? • Para uma frequência w • Boa rejeição da perturbação W aumentar|KG(jw)| • Bom seguimento da referênciar (erro pequeno) aumentar|KG(jw)| • Boa rejeição do ruído diminuir |KG(jw)| • O ruído apresenta habitualmente componentes espectrais de mais alta frequência do que as do sinal de referência • Estratégia de Controlo • Baixas Frequências|KG(jw)| >> 1 • Altas Frequências (banda do ruído) |KG(jw) <<1 • Frequências intermédias – as condições a impor ao ganho estão relacionadas com a estabilidade em cadeia fechada. Banda de frequência associada normalmente ao sinal de referência e às perturbações exteriores que são sinais relativamente lentos

14. Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo REQUISITOS USUAIS • Um bomseguimento do sinal de referência • a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deve ser pequeno • Uma boarejeição dos efeitos dasperturbações, incluindo ruído • Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações • Estabilidade • Pequena sensibilidade à variação de parâmetros • Robustez de estabilidade • Relativamente à variação de parâmetros • Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de controlador • Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por um modelo mais simples de 2ª ordem E. Morgado Controlo, 1998

15. Efeitos da Realimentação • Sensibilidade à variação de parâmetros • De que modo variações de parâmetros em G(s) afectam a função de transferência em cadeia fechada ? Y(s) R(s) + K G(s) _ FT em cadeia fechada Sensibilidade de M(s) relativamente a G(s) Quanto maior for |KG(jw)| menos sensível se torna a função de transferência em cadeia fechada a variações de parâmetros no sistema a controlar, G(s)

16. Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo REQUISITOS USUAIS • Um bomseguimento do sinal de referência • a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou sejao erro deve ser pequeno • Uma boarejeição dos efeitos dasperturbações, incluindo ruído • Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações • Estabilidade • Pequena sensibilidade à variação de parâmetros • Robustez de estabilidade • Relativamente à variação de parâmetros • Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de controlador • Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por um modelo mais simples de 2ª ordem Como caracterizar o erro ? E. Morgado Controlo, 1998

17. Erro em Regime Estacionário: exemplo Exemplo motivador f.t. do controlador DynamicalSystemsandAutomaticControl J.L. Martins de Carvalho f.t. da sala + temperatura sistema de controlo de temperatura de uma sala _ temperatura desejada erro A - Controlador Proporcional temperatura desejada erro em regime estacionário Sem perturbação

18. Erro em Regime Estacionário: exemplo Exemplo motivador controlador P ( proporcional ) sistema de controlo de temperatura de uma sala o erro em regime estacionário diminui com o aumento do ganho do controlador Como levar o erro para zero ?

19. Erro em Regime Estacionário: exemplo Exemplo motivador B - ControladorIntegral DynamicalSystemsandAutomaticControl J.L. Martins de Carvalho sistema de controlo de temperatura de uma sala + _ temperatura Em regime estacionário contradição O erro em regime estacionário constante

20. Erro em Regime Estacionário: exemplo Exemplo motivador B - ControladorIntegral perturbação DynamicalSystemsandAutomaticControl J.L. Martins de Carvalho sistema de controlo de temperatura de uma sala + + + _ temperatura com perturbação sem perturbação

21. Erro em Regime Estacionário: exemplo Exemplo motivador Controlador Proporcional e Controlador Integral DynamicalSystemsandAutomaticControl J.L. Martins de Carvalho sistema de controlo de temperatura de uma sala + _ controlador proporcional controlador integral contribuiu com um pólo na origem na cadeia de acção • Com o controlador Integral • O erro em regime estacionário é nulo • ... Mas o sistema torna-se mais lento • ... E o transitório émais oscilatório com controlador I com controlador I com controlador P com controlador P

22. Erro em Regime Estacionário: exemplo Exemplo motivador Controlador Proporcional Integral (PI) DynamicalSystemsandAutomaticControl J.L. Martins de Carvalho sistema de controlo de temperatura de uma sala + + + _ controlador proporcionalintegral (PI) 1 pólo na origem e 1 zero com controlador I com controlador PI com controlador P

23. Erro em Regime Estacionário: Definição • ERRO = diferença entre a entrada de referência, r(t), e a saída, c(t). • ERROem regime estacionário Análise vai ser feita apenas parasistemas estáveis Retroacção unitária R(s) + C(s) E(s) P(s) Gc(s) _ sinal de erro R(s) + E(s) C(s) G(s) _ para retroacçãounitária

24. sistema de controlo de posição Erro em Regime Estacionário: Designação Erro de POSIÇÃO Sinais de Teste designação habitual do erro correspondente Erro de VELOCIDADE Erro de ACELERAÇÃO Justificação para a designação r(t)=rampa pretende-se que o sistema apresente uma velocidade constante variação linear da posição R(s) + E(s) C(s) G(s) variação linear da velocidade pretende-se que o sistema apresente uma aceleração constante r(t)=parábola _ posição

25. erro estático de posição Erro Estático de Posição Valor para retroacção unitária Por aplicação do Teor. Valor Final entrada escalão ganho de baixa frequência da f.t. em cadeia aberta coeficiente de erro estático de posição • Se finito, o erro não é nulo • Para que o erro seja nulo G(s) ( FT cadeia aberta) com pelo menos um pólo na origem O sistema em cadeia fechada deve ser, pelo menos, de tipo 1

26. R(s) + E(s) C(s) G(s) _ Tipo de um Sistema FT em cadeia aberta • m zeros • n pólos • N pólos na origem O sistema em cadeia fechada é de tipo N Otipode um sistema (emcadeia fechada) número de pólos naorigem da função de transferência em cadeia aberta (ganho de malha) =

27. erro estático de posição Erro Estático de Posição Valor para retroacção unitária entrada escalão Sistema de tipo 0 Sistema de tipo N1

28. Erro Estático de velocidade Valor para retroacção unitária Por aplicação do Teor. Valor Final entrada rampa erro estático de velocidade coeficiente de erro estático de velocidade Sistema de tipo 0 Sistema de tipo 1 Sistema de tipo N2

29. Erro Estático de aceleração Valor para retroacção unitária Por aplicação do Teor. Valor Final entrada parábola erro estático de aceleração coeficiente de erro estático de aceleração Sistema de tipo 0, 1 Sistema de tipo 2 Sistema de tipo N3

30. + C(s) E(s) R(s) G(s) _ Erros em Regime Estacionário: resumo Resposta do sistema em cadeia fechada Tipo 0 Tipo 2 Tipo 1 entrada tipo do sistema

31. Especificações • O valor do erro em regime estacionário é usado, correntemente, como especificação de controlo exemplo R(s) + C(s) E(s) _ Requisito Determinar o valor de K por forma a que o erro estático de velocidade seja de 10% Usando o critério deRouth-Hurwitz pode confirmar-se que, para este valor de K, o sistema em cadeia fechada é estável

32. Erro com retroacção não unitária Retroacção não unitária + Ea(s) R(s) C(s) G(s) não é o sinal de erroe(t)=r(t)-c(t) _ H(s) sinal de erro C(s) Ea(s) R(s) + + G(s) _ _ + E(s) H(s) -1 R(s) C(s) _ A análise do valor estacionário do erro para este sistema (sem retroacção unitária) pode ser feita, com a metodologia derivada antes, para este outro que tem retroacção unitária