Cap. 2 Definizioni, postulati e assiomi

1. Cap. 2 Definizioni, postulati e assiomi

2. Definizioni • Una delle cose che rende la geometria e le discipline scientifiche “materie difficili” sono le definizioni • Vediamo cosa significa definire • Definire : determinare il contenuto di un concetto, dichiarare con brevi e precise parole le qualità essenziali di una cosa, in modo da distinguerla nettamente da un’altra

3. Analizziamo “dichiarare con brevi e precise parole le qualità essenziali di una cosa” • Una definizione deve essere: • breve (non può essere resa tramite esempi e deve avere il minor numero di termini possibili) • essenziale (al suo interno non deve contenere termini superflui o che la abbelliscono) • precisa: non può essere adatta a due o più cose ma solo ad una • In pratica per ottenere il massimo punteggio dovete rispettare queste regole e questo non è affatto semplice

4. Es. definizione di quadrato • Analizziamo le seguenti definizioni: • Il quadrato è un quadrilatero • Il quadrato è un poligono con tutti i lati uguali • Il quadrato è un quadrilatero con tutti i lati uguali • Sono tutte definizioni brevi, esenti da termini superflui ma nessuna di esse è pertinente • Pur essendo il quadrato un quadrilatero e un poligono con tutti i lati uguali nessuna delle due è precisa (la prima va bene anche per rettangolo, parallelogramma ecc. la seconda per tutti i poligoni equilateri, la valutazione va sotto la sufficienza)

5. La terza definizione combina le prime due entrambe parzialmente vere pertanto ha un contenuto informativo maggiore, continua ad essere breve e ad utilizzare parole precise ma continua ad essere adatta a più cose • Raggiunge sicuramente la sufficienza ma non il punteggio massimo • Le seguenti due figure sono entrambe ben descritte dalla nostra proposizione

6. Definizione scientifica • La definizione scientifica e sicuramente più complessa di una definizione normale perché utilizza un linguaggiospecifico • Un linguaggio si dice specifico se appartiene ad una particolare disciplina • La prossima diapositiva vi mostrerà diverse definizioni di quadrato, tutte corrette ma la cui valutazione può essere differente

7. Definizione di quadrato • Il quadrato è un quadrilatero con tutti gli angoli e i lati uguali (punteggio 8 ½) • Quadrilatero angolo e lato fanno parte del linguaggio specifico della disciplina • Omettere le parole è un quadrilatero e inserire “poligono che ha quattro lati uguali e quattro angoli retti” porta ad una definizione che manca del carattere di brevità (punteggio 8)

8. Il quadrato è un quadrilatero con tutti gli angoli e i laticongruenti (punteggio 9) • La parola congruente appartiene al linguaggio specifico della geometria perciò la definizione ha un utilizzo migliore del linguaggio specifico • Il quadrato è un quadrilateroequilatero ed equiangolo (punteggio 10) • C’è un uso preciso del linguaggio specifico e una definizione più breve • equilateroequiangolo

9. Se l’insegnante ha spiegato i poligoni regolari (poligoni che sono contemporaneamente equilateri ed equiangoli) allora la definizione giusta per ottenere il massimo punteggio è: Il quadrato è un quadrilatero regolare

10. Definizione di postulato • Dal dizionario della Treccani • postulato dal lat. postulatum «ciò che è richiesto; richiesta» • Proposizione che, senza essere evidente né dimostrata, si assume come fondamento di una dimostrazione o di una teoria • i postulati fanno riferimento ad una materia particolare

11. Definizione di assioma • L’assioma è un principio certo ed evidente senza ulteriori indagini che costituisce la base per ulteriori ricerche • Gli assiomi hanno una validità più generale dei postulati e sono alla base di più discipline

12. I postulati di Euclide • Insieme agli enti geometrici fondamentali la geometria euclidea utilizza 5 postulati per rendere coerente la sua struttura. • 1 Tra due punti qualsiasi è possibile tracciare una ed una sola retta. • 2 Si può prolungare un segmento oltre i due punti indefinitamente. • 3 Dato un punto (centro) e una lunghezza (raggio), è possibile descrivere un cerchio. • 4 Tutti gli angoli retti sono uguali. • 5 Se una retta taglia altre due rette determinando dallo stesso lato angoli interni la cui somma è minore di quella di due angoli retti, prolungando le due rette, esse si incontreranno dalla parte dove la somma dei due angoli è minore di due retti.

13. Primo postulato È evidente che qualsiasi altra retta non passerà per i due punti Punto A Punto B Retta r

14. Terzo postulato Punto A (centro) Per definire un circonferenza basta prendere un punto come centro e una lunghezza come raggio Circonferenza Lunghezza

15. Gli assiomi • Le cose uguali ad una stessa cosa sono uguali tra loro. A = B B = C  A = C [proprietà transitiva] • Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, le somme ottenute sono uguali. • Se da cose uguali si tolgono cose uguali, le parti rimanenti sono uguali. • Se cose uguali sono aggiunte a cose disuguali, le somme ottenute sono disuguali. • I doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro. • Le metà di una stessa cosa sono uguali tra loro. • Cose che coincidono tra loro sono uguali.A = B B = A [proprietà riflessiva] • Il tutto è maggiore della parte.

16. Metodo assiomatico deduttivo • … roba da panico!!!!!! • Chiunque di voi leggendo queste tre parole si porrà questa domanda …. “ma che roba è …” • L’unica speranza risiede nel vocabolario • Metodo In genere, il modo, la via, il procedimento seguito nel perseguire uno scopo, secondo un ordine e un piano prestabiliti in vista del fine che s’intenderaggiungere • Assiomatico che fa uso di assiomi, principi assunti come veri senza dimostrazione perché evidenti • Deduttivo il metodo da usare è basato soltanto sul ragionamento senza far ricorso all’esperienza nel corso del suo sviluppo

17. La geometria euclidea fa uso del metodo assiomatico-deduttivo perché partendo dagli enti geometri fondamentali (3) e dai postulati (5), riesce a dimostrare, col puro ragionamento, tutto il resto utilizzando proposizioni già dimostrate