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Vom Modell zur Differentialgleichung

Vom Modell zur Differentialgleichung. Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht (IFB 19.659) Gregor Noll Januar 2002. Modellbildung. besonders geeignet für einen fach- und themenübergreifenden Unterricht. für Schülerinnen und Schüler ein ansprechender Themenkreis

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Vom Modell zur Differentialgleichung

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  1. Vom Modell zur Differentialgleichung Anschaulicher und lebendiger Mathematikunterricht (IFB 19.659) Gregor Noll Januar 2002

  2. Modellbildung • besonders geeignet für einen fach- und themenübergreifenden Unterricht • für Schülerinnen und Schüler ein ansprechender Themenkreis • hat im neuen Lehrplan einen hohen Stellenwert

  3. Graphische Modellbildung • Entwicklung eines Modells auf einer zunächst weitgehend mathematikfreien Ebene bis hin zu einem Flüssediagramm • leichte Änderungsmöglichkeiten von Modellbeziehungen und Parametern im Simulationskreislauf • Ergebnisse in graphischer und tabellarischer Darstellung

  4. Was steckt dahinter ? • System von Modellgleichungen • Numerische Integration (Euler-Cauchy oder Runge-Kutta Verfahren) • Differentialgleichungen

  5. DGl im Lehrplan • Behandlung im Themenkreis „Weiterführung der Differential- und Integralrechnung“ • exemplarische Behandlung mit Beispielen:Wachstumsvorgänge - Schwingungen • einfache Lösungsverfahren durch direkte Integration • ein numerisches Lösungsverfahren kennenlernen • graphische Darstellung der Lösung

  6. Abkühlungsprozess • Heißer Kaffee der Temperatur 80°C soll so abkühlen, dass er in der ersten Zeiteinheit 2K an Temperatur verliert. • Typisches Anfangsmodell:

  7. Abkühlungsprozess Zeitdiagramm Temp = -2*Zeit + 80 linear fallend

  8. Abkühlungsprozess • Modellkritik • die Kaffeetemperatur kann nicht beliebig sinken • die Kaffeetemperatur ist nach unten durch die Umgebungstemperatur beschränkt • die Abkühlungsrate ist nicht konstant, sondern nimmt im Laufe der Zeit ab • eine lineare Abnahme der Kaffeetemperatur ist deshalb unrealistisch

  9. stabilisierend - Abkühlungsprozess • Wirkungsdiagramm

  10. Abkühlungsprozess • Neues Modell Hier fehlt uns der Zusammenhang zwischen Abkühlungsrate und Temperaturdifferenz

  11. Abkühlungsprozess • Neues Modell Einfachster Fall: Abkühlungsrate und Temperaturdifferenz sind zueinander proportional

  12. Abkühlungsprozess • Neues Modell

  13. Abkühlungsprozess • Graph der Temperatur

  14. Abkühlungsprozess • Graph der Änderungsrate

  15. Abkühlungsprozess • Modellgleichungen Zustandsgleichungen Kaffeetemperatur.neu <-- Kaffeetemperatur.alt + dt*(Abkühlungsrate) Startwert Kaffeetemperatur = 80 Zustandsänderungen Abkühlungsrate = PPF*Temperaturdifferenz Konstanten Umgebungstemperatur = 20 PPF = -2/60 Zwischenwerte Temperaturdifferenz = Kaffeetemperatur-Umgebungstemperatur

  16. Abkühlungsprozess • Differentialgleichung Zustandsgleichungen Kaffeetemperatur.neu <-- Kaffeetemperatur.alt + dt*(Abkühlungsrate) Startwert Kaffeetemperatur = 80 im Grenzwert

  17. Abkühlungsprozess • Differentialgleichung Zustandsänderungen Abkühlungsrate = PPF*Temperaturdifferenz Konstanten Umgebungstemperatur = 20 PPF = -2/60 Zwischenwerte Temperaturdifferenz = Kaffeetemperatur-Umgebungstemperatur

  18. Einsatz des TI-92 • Über [Mode] den Graphikmodus Diff Equations auswählen • Im [y=] Editor können wir die Gleichungen und Bedingungen eingeben

  19. Die DGL y´ = -1/30(y-20) • Eingabe im [y=] Editor Bei diesem Wert tritt die Anfangsbedingung ein DGL Hier können wir eine oder mehrere Anfangsbedingungen angeben

  20. Näherungsverfahren • Unter [F1-9] wählen wir zwischen Runge-Kutta und Euler-Verfahren

  21. Graphische Darstellung • Unter [F1-9] wählen wir auch die Art der Graphik nur für DGL 1.Ordnung nur für DGL 2.Ordnung bzw. Systeme von 2 DGL 1.Ordnung

  22. Graphische Darstellung • Mit [Graph] erhalten wir das Steigungsfeld der DGL : ... das mit den Standardeinstellungen nicht besonders aussagekräftig ist

  23. Graphikeinstellungen • Über [Window] gelangen wir in ein Fenster mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik: Anfangswert der zur Auswertung benutzen t-Werte Schrittweite und max. t-Wert erster geplotteter t-Wert werden beim Steigungsfeld SLPFLD ignoriert

  24. Graphikeinstellungen • Über [Window] gelangen wir in ein Fenster mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik: x-Wertebereich des Ansichtsfensters und Abstand der Markierungen y-Wertebereich des Ansichtsfensters und Abstand der Markierungen

  25. Graphikeinstellungen • Über [Window] gelangen wir in ein Fenster mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik: Anzahl der Lösungskurven, die automatisch gezeichnet werden Anzahl der EULER- Iterationen zwischen den tstep-Werten

  26. Graphikeinstellungen • Über [Window] gelangen wir in ein Fenster mit Einstellmöglichkeiten für die Graphik: Toleranz bei der Auflösung von Gleichungen des RK-Verfahrens Anzahl der Spalten für das Steigungs- bzw. Richtungsfeld

  27. Graphikeinstellungen • Für unsere DGl verwenden wir xmin = -10 xmax = 150 xscl = 10 ymin = -10 ymax = 90 yscl = 10

  28. Steigungsfeld • Mit den richtigen Einstellungen erhalten wir ein deutlich aussagekräftigeres Steigungsfeld

  29. Spezielle Lösungskurve • Sobald wir einen Anfangswert festlegen, wird der Graph der dazugehörigen Lösungsfunktion gezeichnet

  30. Anfangsbedingungen Wir können • Anfangsbedingungen vom TI-92 automatisch wählen lassen • mit der Fenstervariablen ncurves • im y-Editor eine Liste von Anfangsbedingungen eingeben • z. B. yi1={10,15,20} • Anfangsbedingungen interaktiv in der Graphik setzen • nach [F8] mit dem Cursor die Stelle auswählen

  31. Rechnerische Lösung • Mit der Funktion deSolve lassen sich allgemeine und spezielle Lösungen von DGL exakt auflösen @1 ist eine Konstante • Syntax: deSolve(DGL, unabhängige Variable, abhängige Variable)

  32. Lösung mit Anfangsbedingung • Die in der allgemeinen Lösung auftretende Konstante lässt sich bei Vorgabe einer Anfangsbedingung bestimmen berechnete Konstante: 80 - 20 Anfangsbedingung

  33. TI-92 ohne Plus Modul • Der TI-92 ohne Plus Erweiterung besitzt nicht die besprochenen Möglichkeiten für DGL Was kann man tun? • Selbst die notwendigen Module programmieren • Auf fertige Programme für DGL zurückgreifen

  34. Eigene Programme • Die Erzeugung eines Steigungsfeldes lässt sich leicht selbst programmieren. Dabei wird durchsichtig, wie dieses Feld entsteht und welche Parameter für die Zeichnung erforderlich sind. • Das Euler-Verfahren für die Lösung bei einer Anfangsbedingung ist eine einfache Veränderung des Programms für das Steigungsfeld

  35. stfeld(-1/30(y-20),t,y,-10,150,-10,90) stfeld( ) stfeld(fkt, tp, yp, tvon, tbis, yvon, ybis) Prgm Local dt,dy,dg,m,tx,yy tvon  xmin: tbis  xmax yvon  ymin: ybis  ymax (tbis-tvon)/32  dt: dt/4  dg (ybis-yvon)/14  dy For tx, tvon, tbis, dt For yy, yvon, ybis, dy fkt | (tp=tx and yp=yy)  m Line tx-dg, yy-m*dg, tx+dg, yy+m*dg EndFor EndFor EndPrgm

  36. euler( ) euler(fkt, tp, yp, tvon, tbis, yvon, ybis, ta, ya) Prgm Local dt, dy, m, tx, yy, tx1, tx2, yy1, yy2 tvon  xmin: tbis  xmax yvon  ymin: ybis  ymax (tbis-tvon)/32  dt: (ybis-yvon)/14  dy ta  tx1: ya  yy1 For tx, ta, tbis, dt fkt | (tp=tx and yp=yy1)  m tx+dt  tx2: yy1+m*dt  yy2 Line tx1,yy1,tx2,yy2 tx2  tx1: yy2  yy1 EndFor Anfangswert ta  tx1: ya  yy1: -dt  dt For tx, ta, tvon, dt fkt|tp=tx and yp=yy1  m tx+dt  tx2: yy1+m*dt  yy2 Line tx1,yy1,tx2,yy2 tx2  tx1: yy2  yy1 EndFor EndPrgm

  37. Selbstprogrammierte Graphik • DGL y´ = -1/30(y-20) • Eingaben in den TI92 stfeld(-1/30(y-20),t,y,-10,150,-10,90) euler(-1/30(y-20),t,y,-10,150,-10,90,0,80)

  38. Der Forellenteich • In einem Teich mit 180hl Wassermenge befinden sich 150 Forellen. Ein Zufluss führt pro Minute 20 Liter Wasser zu, durch das im Durchschnitt 3 Forellen pro 750 Liter in den Teich gelangen. Um den Teich aufzufüllen, ist der Abfluss gedrosselt und beträgt nur 18 Liter pro Minute. Durch den Abfluss gehen eine dem Bestand und Volumen des Teiches entsprechende Menge Forellen verloren. Wie entwickelt sich der Forellenbestand?

  39. Modellierung in Dynasis • Flüssediagramm

  40. Modellierung in Dynasis • Modellgleichungen Zustandsgleichungen Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt + dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme) Startwert Forellenbestand = 150 Wassermenge.neu <-- Wassermenge.alt + dt*(Zufluss-Abfluss) Startwert Wassermenge = 18000 Zustandsänderungen Zufluss = 20 Abfluss = 18 Forellen_Zunahme = Zufluss*3/750 Forellen_Abnahme = Forellenbestand/Wassermenge*Abfluss Konstanten Zwischenwerte

  41. Modellierung in Dynasis • Forellenbestand

  42. Aufstellen der DGL • Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt + dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme) Zufluss = 20 Forellen_Zunahme = Zufluss*3/750 = 60/750

  43. Aufstellen der DGL • Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt + dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme) Forellen_Abnahme = Forellenbestand/Wassermenge*Abfluss Abfluss = 18 Forellen_Abnahme= y(t)*18/Wassermenge

  44. Aufstellen der DGL • Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt + dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme) Startwert Wassermenge = 18000 Wassermenge.neu <-- Wassermenge.alt + dt*(Zufluss-Abfluss) Linearer Zusammenhang ! Wassermenge(t) = StartwertWassermenge + t(20-18) Wassermenge(t) = 18000+2t

  45. Aufstellen der DGL • Forellenbestand.neu <-- Forellenbestand.alt + dt*(Forellen_Zunahme-Forellen_Abnahme)

  46. Graphik mit dem TI-92 • Zunächst das Steigungsfeld Window-Einstellung

  47. Graphik mit dem TI-92 • dann eine spezielle Lösung mit (0,150) • Das Minimum können wir mit einem Trace [F3]bestimmen

  48. Exakte Lösung • Wir lösen die DGl mit dem TI-92 mit Startwert (0;150)

  49. Exakte Lösung • Wir lösen die DGl mit dem TI-92 mit Startwert (0;150)

  50. Modellkritik • Vernachlässigung der biologischen Vermehrung • Der konstante Zuwachs der Forellen durch den Zufluss • Können Forellen eventuell auch durch den Zufluss entweichen? • Ist das Auffüllen des Teiches unbeschränkt möglich? • ??? ÜA

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