Testy n á hodnosti

1. Testy náhodnosti V analýze časových radov patrí ku dôležitým operáciám testovanie náhodnosti. Môže sa stať, že časový rad nevykazuje pri predbežnej analýze alebo grafickom znázornení výskyt žiadnej systematickej zložky, takže sa zdá, že je tvorený len reziduálnou zložkou. Vtedy je potrebné použiť objektívny štatistický test, ktorý by túto hypotézu potvrdil alebo vyvrátil. Takéto štatistické testy nazývame testy náhodnosti. Používajú sa aj po dekompozícii časových radov, keď musíme overiť, či sme už z časového radu eliminovali skutočne všetky systematické zložky, t. j. či reziduá po dekompozícii sú už len náhodné fluktuácie v tvare bieleho šumu. Vo všetkých testoch sa ako nulová hypotéza H0 testuje, či pozorovania u1, ..., un sú realizáciou navzájom nekorelovaných náhodných premenných s rovnakým spojitým rozdelením, ktoré nemusia mať nulovú strednú hodnotu (môže to teda byť biely šum kolísajúci okolo nenulovej úrovne). Pri zamietnutí nulovej hypotézy skúmaný časový rad nepovažujeme za biely šum. Ak však nulovú hypotézu nezamietneme, môžeme spravidla príslušný časový rad považovať za biely šum. Skúmajme teda stochastický proces U1, ..., Un s rovnakým spojitým rozdelením, ktorého jednou realizáciou je časový rad u1, ..., un.

2. Definujme náhodnú premennú Pt predpisom: Pt = Potom počet kladných prírastkov je náhodná premenná: P = Znamienkový test Tento test je založený na počte kladných prvých diferencií daného časového radu u1, ..., un, t. j. na počte bodov, v ktorých časový rad rastie. Ak sú niektoré susedné hodnoty rovnaké, potom ich až na jednu z časového radu vynecháme. Je vhodný na potvrdenie, resp. vyvrátenie hypotézy, že daný časový rad obsahuje lineárny trend (teda systematický posun smerom nahor alebo nadol).

3. Pretože pri platnosti nulovej hypotézy sú pre dve susedné hodnoty ut1 a  ut nerovnosti ut1 < ut a ut1 > ut rovnako pravdepo-dobné, Pt nadobúda každú z hodnôt 0, 1 s pravdepodobnosťou 0.5 a teda platia rovnosti: Zrejme platí: E(P) = Ak sú U1, ..., Un nezávislé, potom sú Pt, Pt+k nezávislé pre k > 1. Pre disperziu náhodnej premennej P teda platí:

4. kde u(/2) je kritická hodnota N(0, 1). Wolfowitz odvodil, že P má asymptoticky normálne rozdelenie. Pre dostatočne veľké n teda hypotézu H0 zamietame na hladine významnosti , keď pre normovanú náhodnú premennú Z platí:

5. t t 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 ut ut 1.6 1.6 0.8 0.8 1.2 1.2 0.5 0.5 0.9 0.9 1.1 1.1 1.1 0.6 0.6 1.5 1.5 0.8 0.8 0.9 0.9 1.2 1.2 0.5 0.5 1.3 1.3 0.8 0.8 1.2 1.2 Pt 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 Príklad: Pomocou znamienkového testu určite, či môžeme nasledovný časový rad považovať za realizáciu bieleho šumu. E(P) = 7.5 D(P) = 1.42 Pretože pre  = 0.05 je u(/2) = 1.96, na 5% hladine významnosti nemôžeme zamietnuť H0  časový rad je realizácia navzájom nekorelovaných rovnako rozdelených náhodných premenných.

6. V systéme Mathematica: Aby sme zistili, koľkokrát je ut> ut – 1 , t. j. ut- ut – 1 > 0, budeme robiť rozdiely ut – ut - 1. Tieto dostaneme rozdielom dvoch časových radov, kde v prvom odstránime prvý člen a v druhom posledný člen. Potom zistíme znamienka rozdielov funkciou signum: K= Sign[ Drop[u, 1] - Drop[u,-1] ] Teraz zistíme, koľkokrát sa vo vektore K nachádza 1, ktorá odpovedá kladnej hodnote rozdielu ut- ut – 1 : P = Count[ K, 1] Nakoniec vypočítame strednú hodnotu, smerodajnú odchýlku a testovaciu štatistiku:  = (n – 1)/2;  = Sqrt[ (n + 1)/12 ];Z = Abs [(P - )/ ]

7. Nech q1, ..., qn označujú poradia hodnôt daného časového radu. Spearmanov koeficient poradovej korelácie  počítame v tvare: Pre n >50 hypotézu H0 zamietame, ak kde u(/2) je kritická hodnota N(0, 1). Test založený na Spearmanovom koeficiente Tento test sa tiež používa na zistenie, či daný časový rad obsahuje lineárny trend (teda systematický posun smerom nahor alebo nadol).

8. qt t 1 16 2 4 11 3 1 4 7 5 6 9 10 7 3 8 9 15 5 10 8 11 12 12 2 13 14 14 6 15 13 16 ut ut 1.6 1.6 0.8 0.8 1.2 1.2 0.5 0.5 0.9 0.9 1.1 1.1 1.1 1.1 0.6 0.6 1.5 1.5 0.8 0.8 0.9 0.9 1.2 1.2 0.5 0.5 1.3 1.3 0.8 0.8 1.2 1.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Príklad: Pomocou testu Spearmanovho koeficientu  určite, či môžeme nasledovný časový rad považovať za realizáciu bieleho šumu.  = 0. 0735 Pretože pre  = 0.05 je u(/2) = 1.96, na 5% hladine významnosti nemôžeme zamietnuť H0  časový rad je realizácia navzájom nekorelovaných rovnako rozdelených náhodných premenných. V systéme Mathematica: q = Transpose[ Sort[ Table[{dáta[[ i ]], i}, {i, n}] ] ] [[2]] = 1 - 6/(n*(n^2 - 1))*Sum[(i - q[[ i ]])^2, {i, n}] *Sqrt[n - 1]

9. Test kritických hodnôt Bod ut nazveme kritickým bodom, ak ut1 ut ut+1 (tzv. horný kritický bod), resp. ut1 ut ut+1 (tzv. dolný kritický bod). Rovnaké susedné hodnoty znova až na jednu z časového radu vynecháme. Test kritických hodnôt je vhodný pri podozrení, že v časovom rade sa vyskytujú zmeny periodického charakteru (t. j., že obsahuje sezónnu alebo cyklickú zložku). Definujme náhodnú premennú: Nech M je náhodná premenná, ktorá označuje celkový počet kritických bodov v časovom rade. Potom:

10. Platí: Podrobné odvodenie všetkých vzťahov pre znamienkový test a test kritických hodnôt je v článku Komorník, Komorníková: Testy náhodnosti v analýze časových radov, ktorý vyšiel v zborníku konferencie PRASTAN 2001

11. t t 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15 16 16 ut ut 1.6 1.6 0.8 0.8 1.2 1.2 0.5 0.5 0.9 0.9 1.1 1.1 1.1 0.6 0.6 1.5 1.5 0.8 0.8 0.9 0.9 1.2 1.2 0.5 0.5 1.3 1.3 0.8 0.8 1.2 1.2 Mt 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 Príklad: Pomocou testu kritických hodnôt určite, či môžeme nasledovný časový rad považovať za realizáciu bieleho šumu. E(M) = 9.33 D(M) = 2.52 Pretože pre  = 0.05 je u(/2) = 1.96 > 1.05, na 5% hladine významnosti nemôžeme zamietnuť H0  časový rad je realizácia navzájom nekorelovaných rovnako rozdelených náhodných premenných.

12. V systéme Mathematica: Aby sme zistili počet kritických bodov, budeme robiť rozdiely ut + 1 – ut. Tieto dostaneme rozdielom dvoch časových radov, kde v prvom odstránime prvý člen a v druhom posledný člen. Potom zistíme znamienka rozdielov funkciou signum: K= Sign[ Drop[u, 1] - Drop[u,-1] ] Teraz zistíme, koľkokrát sa zmenila 1 na –1 a naopak tým, že vynásobíme všetky vedľa seba ležiace hodnoty vo vektore K a potom zistíme počet –1. M = Count[ Drop[K, 1] * Drop[K, -1], -1]

13. Mediánový test Najprv vypočítame výberový medián Me. V grafe časového radu to je priamka rovnobežná s časovou osou, ktorá má tú vlastnosť, že nad ňou aj pod ňou leží rovnaký počet pozorovaní. V ďalšom kroku vylúčime všetky pozorovania, ktoré ležia na tejto priamke (t. j. všetky pozorovania, ktorých hodnota je rovná mediánu). Ostatné pozorovania združíme do skupín tak, že všetky pozorovania v danej skupine ležia buď nad priamkou alebo pod ňou. Označme P počet týchto skupín a m celkový počet pozorovaní pod priamkou (alebo ekvivalentne nad priamkou). Hypotézu H0 zamietame (pre m > 100), ak kde u(/2) je kritická hodnota N(0, 1).

14. t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ut 1.6 0.8 1.2 0.5 0.9 1.1 1.1 0.6 1.5 0.8 0.9 1.2 0.5 1.3 0.8 1.2 Príklad: Pomocou mediánového testu zistite, či môžeme nasledovný časový rad považovať za realizáciu bieleho šumu. Medián Me (ktorý sme v systéme Mathematica vypočítali príkazom Median[data]) je rovný 1. Na priamke neleží ani jeden bod; pod aj nad priamkou je teda 8 pozorovaní (m = 8).

15. Počet skupín P = 13. Napriek krátkemu časovému radu použijeme aproximáciu kritickej hodnoty Na 5% hladine významnosti nemôžeme zamietnuť H0  časový rad je realizácia navzájom nekorelovaných rovnako rozdelených náhodných premenných.

16. V systéme Mathematica: Me = Median[data]; m = Length[ Select[data, # < Me& ] ]; s = Select[Table[Which[d[[i]]<Me,-1,d[[i]]>Me,1,True,0],{i,n}], #  0&]; P = Count[ Drop[s, -1] * Drop[s, 1], -1] + 1; N[ Abs[ P - (m + 1)] / Sqrt[ m* (m - 1)* (2m - 1)] ] Mediánový test je vhodný pri podozrení, že v časovom rade sa vyskytujú zmeny periodického charakteru.