Fraktale

1. Fraktale

2. Co to jest fraktal? • Fraktal to zbiór o skomplikowanejbudowie, ale opisanyprostymirównaniami, którepowtarzasięwielerazy. • Wielefraktalikryje w sobiezadziwiającątajemnicę • jaką jest ichnieskończone samopodobieństwo. • Oznacza to, żedowolniemałyjegokawałek, • odpowiedniopowiększony, przypomina do • złudzeniacałyzbiórlubjegoznacznączęść. • Fraktal oznacza zwykle obiekt samo-podobny czyli taki, którego części są podobne do całości, ukazujące subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu. • Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów fraktal można określić jako zbiór który: • ma nietrywialną strukturę w każdej skali, • jest samo-podobny, • ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" i) wygląd.

3. Fraktal - Historia • Pojęcie fraktala zostało wprowadzone do matematyki przez francuskiego informatyka • i matematyka polskiego pochodzenia Benoîta Mandelbrotaw latach siedemdziesiątych XX wieku. Odkryty przez niego zbiór Mandelbrota nie był jednak pierwszym przykładem fraktala. Wcześniej istniała już cała gama zbiorów o niecałkowitym wymiarze - Hausdorffa, postrzeganych jednak głównie jako kontrprzykłady pewnych twierdzeń. • Szczególny wkład w rozwój geometrycznej teorii miary wniósł Abraham Bezikowicz, który skonstruował również wiele konkretnych fraktali o paradoksalnych własnościach. • Również zbiór Julii, ściśle związany ze zbiorem Mandelbrota, był badany w latach 20 zeszłego wieku. • Mandelbrot używając komputera do wizualizacji uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O ważności tego zagadnienia zadecydowały zastosowania w różnych dziedzinach, zwłaszcza poza matematyką, np. • obecnie prawie każdy telefon komórkowy korzysta • z wbudowanej anteny fraktalnej • liczne odpowiedniki fraktali istnieją też w naturze • grafika komputerowa, • projektowania bezpiecznych mostów, samolotów, itp. • umożliwiają przewidywanie pęknięć podczas przyszłej • eksploatacji nowych konstrukcji

4. Fraktal w przyrodzie Na Ziemi nie ma tych lądów, rzek i mórz! To sztuczne obrazy! Matematycy wymyślili, jak opisać spotykane w przyrodzie kształty. Wymyślone do tego wzory matematyczne mogą służyć m.in. do tworzenia pięknej grafiki komputerowej, przypominającej kolorami i kształtami np. geometryczne wzornictwo starożytnych greków.

5. Odłam cząstkę z kalafiorai przyjrzyj się jej! Czyż nie przypomina całego kalafiora, tylko o mniejszym rozmiarze? Popatrz na kształt fiordów! Czy widać w nim jakąś regularność? Raczej nie!

6. Trudno nie zauważyć, że fragmenty kwiatów są powtarzalne, podobne jeden do drugiego! Czy można kwiaty opisać wzorem matematycznym?

7. Fraktale - Samo-podobieństwo Przyjrzyj się animacji (z lewej), by zobaczyć jak powstaje fraktal zwany Smokiem Heighwaya. Z prawej widzisz Smoka w kolorach. Zwróć uwagę na podobieństwo tworzących go fragmentów. Smok Heighwaya pojawiłsię w powieści Michaela Crichtona Jurassic Park

8. Zwróć uwagę na podobieństwo fragmentów kolejnego fraktala. Porównaj z prawej fragment niebieski z czerwonym i granatowym. Paproć Barnsleya (liść paproci) - fraktal znany ze względu na uderzające podobieństwo do liści paproci występujących w naturze.

9. Bardziej skomplikowany i „nieregularny” jest fraktal zwany zbioremMandelbrota, ale o tym za chwile. Tutaj znajdziesz podobieństwa. Obejrzyj cztery różne powiększenia jego fragmentów. Podobne? Podobne? Pierwsze przybliżenie fragmentu zbioru Fragment zbioru powiększony 4x Fragment zbioru powiększony 30x Fragment zbioru powiększony 350x

10. FraktaleMandelbrota • Benoît B. Mandelbroturodził się 20 listopada 1924 • w Warszawie, zmarł 14 października 2010 w Cambridge. • Zajmował się szerokim zakresem problemów matematycznych, znany jest przede wszystkim jako ojciec geometrii fraktalnej, opisał zbiór Mandelbrota oraz wymyślił samo słowo „fraktal”. • Mandelbrot dotarł do prac dwóch francuskich matematyków: • Gastona Julii • Pierre'a Fatou • Badali oni zachowanie się iteracji pewnych funkcji zespolonych. Mandelbrot wykorzystał do tego celu komputery. Uzyskane przez niego wykresy zostały nazwane fraktalami.

11. Zbiór Mandelbrota Zbiór ten jest uznawanyzanajbardziejskomplikowanąstrukturąznanączłowiekowi !

12. Konstrukcja Zbioru Mandelbrota

13. Zbiór Mandelbrota - jako mapa zbiorów Julii Zbiór M jest nie tylko samopodobny, ale lokalnie jest podobny do odpowiedniego zbioru Julii! To niezwykły rezultat dowiedziony niedawno przez chińskiego matematyka Tan Lei.

14. FraktaleJuli Gaston Maurice Julia (1893-1978) – Francuski matematyk urodzony w Algierii, badał układy dynamiczne, w szczególności iteracje funkcji kwadratowej na płaszczyźnie zespolonej. W czasie pierwszej wojny światowej został ranny w twarz, od tego czasu nosił maskę zakrywająca nos.

15. Zbiory Juli

16. Spójność zbiorów Julii Kiedy zbiór Julii składa się z jednego kawałka? Matematycznie: Kiedy zbiór Julii jest spójny? Zbiór spójny : “Istnieje łamana, zawarta całkowicie w tym zbiorze, łącząca dowolne dwa jego punkty”. Przykład 1. Zbiór niespójny: Przykład 2. Zbiór spójny: Przykład 3. Zbiór całkowicie niespójny – pojedyncze punkty

17. Fraktale Sierpińskiego Wacław Sierpiński - polski matematyk, jeden z czołowych przedstawicieli warszawskiej szkoły matematycznej. Był jednym z twórców polskiej szkoły matematycznej. FraktalamiSierpińskiegonazywamy:- DywanSierpińskiego- TrójkątSierpińskiego- PiramidęSierpińskiego Z czasempowstałowielewariacjitychfigur i powstałyzbiory o bardziejskomplikowanejbudowie.

18. DywanSierpińskiego Otofigurapo 5 krokach Krok 1: Kwadrat o boku„a”dzielimyna 9 części i usuwamyśrodkowączęśc. Krok 2 i dalsze: Postępujemytaksamo z kolejnopowstającymikwadratami.

19. TrójkątSierpińskiego Krok 1 :Najpierw rysujemy trójkąt równoboczny o długości boku np. 1.Środki boków trójkąta łączymy odcinkami. Otrzymaliśmy cztery trójkąty równoboczne, każdy o długości boku. Usuwamy środkowy trójkąt. Oto figura po 5 krokach Krok 2:Każdy z pozostałych trzech mniejszych trójkątów dzielimy znowu na cztery równe trójkąty. Ich wierzchołkami są środki boków trójkątów otrzymanych w pierwszym kroku. Usuwamy środkowe trójkąty.

20. PiramidaSierpińskiego Krok pierwszyNajpierw rysujemy czworościan. Łączymy odcinkami środki krawędzi czworościanu. Usuwamy bryłę, której krawędziami są te odcinki. Czym jest usunięta bryła? Zbiór, który otrzymamy po nieskończenie wielu krokach nazywa się piramidą Sierpińskiego. Krok drugiZ każdego małego czworościanu usuwamy bryłę, której krawędziami są odcinki łączące środki krawędzi czworośćianów otrzymanych w pierwszym kroku. Powstanie piramida, która ma 5 dziur.

21. FraktaleKoha Helge von Koch (ur. 1870, zm. 1924). Szwedzki matematyk, twórca jednego z najbardziej znanych i zarazem jednego z pierwszych fraktali – krzywej Kocha (opisana w1906 roku). Napisał wiele prac na temat teorii liczb, zajmował się hipotezą Riemanna. Zajmował się nieskończonymi wyznacznikami, Płatek Kocha wynalazł w 1904 r.

22. PłatekKoha Krok I Rysujemy trójkąt równoboczny o długości boku np. 1. Każdy bok trójkąta dzielimy na trzy równe części i doklejamy do części środkowej.. KrokIII W kolejnych krokach postępujemy podobnie jak poprzednio. Rysunek pokazuje gwiazdkę po 5 krokach konstrukcji. Płatek ten ta 3072 boki. Krok II Każdy bok gwiazdy dzielimy znowu na trzy równe części i do części środkowej doklejamy trójkąt równoboczny o boku trzy razy krótszym niż poprzednio.

23. Dziękujemy za uwagę