A tiszta ész fényűzése

1. A tiszta ész fényűzése „A matematika a tiszta ész bátor fényűzése, egyike a keveseknek amely ma még létezik” Robert Musil: A matematikus ember

2. R. Musilfenykep „A sok badarság egyike, amely a matematikáról lényegének félreismerése miatt kering az, hogy nagy hadvezéreket a csatatér matematikusainak neveznek. ... Ez nem a hadvezéri lángész ellen szól, hanem a matematika sajátos természete mellett. Azt mondják, a matematika a gondolkodás végletes ökonómiája, és ez így is van. Ám a gondolkodás maga kiterjedt és bizonytalan dolog. Még ha egyszerű biológiai takarékoskodás gyanánt kezdődött is, régóta a takarékosság bonyodalmas szenvedélyévé vált, amelynek éppoly kevéssé fontos, meddig késlekedik a haszon, mint ahogy közömbösen érinti a fösvényt kéjesen az ellentmondásig késleltetett szegénysége.” R. Musil: A matematikus ember 567. Old.

3. R. Musil Csupán ha nem a kifelé hajtott hasznot, hanem a matematikában magában a kihasználatlan részek viszonyát tekintjük, ötlik szembe e tudomány másik, s egyszersmind igazi arca. S e szerint az nem célirányos, hanem gazdaságtalan és szenvedélyes. A mindennapi embernek nem sokkal van többre belőle szüksége, mint amennyit megtanul az elemi iskolában, a mérnöknek csak annyira amennyivel elboldogul egy technikai zsebkönyv szabálygyűjteményében, s ez nem sok, még a fizikus is többnyire kevéssé differenciált eszközökkel dolgozik. Ha egyszer mégis másra van szükségük, többnyire magukra vanak utalva, mert a matematikust ilyen alkalmazási munkák kevéssé érdeklik. Ez az oka, amiért a matematika némely gyakorlati szempontból fontos részterületének specialistái nem matematikusok.

4. R. Musil Melletük azonban mérhetetlen területek nyúlnak el, melyek csupán a matematikusok számára léteznek: néhány izom kiindulópontja körül roppant idegfonadék halmozódott fel. Valahol benn dolgozik a magányos matematikus és ablakai nem kifelé nyílnak, hanem a szomszéd helyiségekre. Specialista, mert nincs már olyan lángész, aki képes volna az egészet birtokában tartani. Hiszi, hogy amit művel, valamikor valamilyen praktikusan folyósítható hasznot fog hajtani, de nem ez sarkallja: Ő az igazságnak szolgál, azaz sorsának, és nem sorsa céljának. Legyen bár működésének hatása ezerszer is az ökonómia, immanens benne a mindent odaadás és szenvedély.

5. R. Musil A matematika a tiszta ész bátor fényűzése, egyike a keveseknek amely ma még létezik. Némely filológusok is foglalkoznak olyasmivel, melyek hasznát ők maguk aligha látják, s a bélyeggyűjtők meg a nyakkendőgyűjtők még inkább. De ezek ártalmatlan szenvedélyek, amelyek életünk komoly ügyeitől távol játszódnak, míg a matematika éppen ott kínálja az emberi lét egyik legcsípősebb kalandját. Egy kis példa hadd szolgáljon erre tanulságul: állíthatjuk, hogy gyakorlatilag mindenestül e tudomány – neki magának közömbössé vált – eredményeiből élünk. Általa sütjük kenyerünket, építjük házunkat és hajtjuk járműveinket. A kézzel előállított bútorok, ruhák, cipők fajtáin és a gyermekeinken kívül minden máshoz matematikai számítások segítségével jutunk.

6. R. Musil Ez az egész lét, mely körülöttünk rohan és áll, nemcsak felfoghatósága tekintetében függvénye a matematikának, hanem kifejezetten általa keletkezett, így vagy úgy meghatározott létében rajta nyugszik. Mert a matematika pionírjai bizonyos alapokra használható elképzeléseket emeltek, melyekből következtetések, számítási módszerek, eredmények adódtak, ezeket azután hatalmukba kerítették a fizikusok, hogy további új eredményekhez jussanak, s végül jöttek a technikusok, sokszor csupán az eredményeket vették át, újabb számításokat építettek rájuk és létrejöttek a gépek.

7. R. Musil És egyszer csak, mikor már minden szép rendben megvolt, rájöttek a matematikusok – azok, akik ott benn töprenkednek -- , hogy az egésznek az alapjaiban valami sehogyan sem akar rendbe igazodni. Csakugyan, belestek az építmény legalja alá, s úgy találták, hogy a levegőben lebeg. A gépek mégis működtek! Azt kell hinnie az embernek, hogy egész létünk halovány kísértet csupán, éljünk ugyan, de voltaképpen csak valami tévedés folytán, ami nélkül létre sem jött volna. Nincs ma még egy lehetőség olyan fantasztikus érzésre, amilyen a matematikusnak kínálkozik. R. Musil: A matematikus ember 568-570. Old.

8. J.W. Goethe A matematikusok olyasmik mint a franciák: ha az ember beszél velük, mindent a saját nyelvükre fordítanak le, és ezzel az mindjárt valami más lesz. Die Mathematiker sind eine Art Französen: Redet man zu ihnen, so übersetzen sie es in ihre Sprache, und dann ist es alsobald ganz etwas anderes. Johann Wolfgang von Goethe: Maximen und Reflexionen

9. Platon „Az a tudás, melyet a geometria célul tűz ki, az örökérvényűnek a tudása.” Platon: Állam, VII. 525

10. T. Hobbes A matematika „ ... Az egyetlen tudomány ... amellyel Istennek ez ideig az emberiséget megajándékoznia tetszett.” T. Hobbes: Leviathan (1970) 31. Old.

11. H. Weyl „... A tiszta matematikai kutatás önmagában – sok nagy gondolkodó véleménye szerint – speciális jellegénél, bizonyosságánál és szigorúságánál fogva az emberi gondolkodást közelebb viszi az istenihez, mint bármely más medium. A matematika a végtelen tudománya, célja a végtelen szimbolikus megértése emberi, azaz véges eszközökkel. A görögök nagy eredménye, hogy a véges és végtelen ellentétét gyümölcsözővé tették a valóság megismerése szempontjából. A végtelennek Keletről jövő vallásos intuiciója, az apeiron, megragadta a görögök lelkét. ... Ez a feszültség a véges és végtelen között, és összeegyeztetésük válik a görögök kutatásainak vezérmotívumává.” H. Weyl idézve:P.J. Davies, R. Hersh: A Matematika Élménye (Műszaki, 1984) /1981/ 128 .Old.

12. Novalis „Az Istenek élete a matematika.” „Das Leben der Götter ist Mathematik.” Novalis, idézve: P.J. Davies, R. Hersh: A Matematika Élménye (Műszaki, 1984) /1981/129. Old.

13. I. Lakatosfenykep Több mint kétezer éve vitatkoznak egymással a dogmatikusok és a szkeptikusok. A dogmatikusok azt állítják, hogy – emberi értelmünk és/vagy érzékszerveink segítségével – képesek vagyunk eljutni az igazsághoz, és meg is tudjuk állapítani, hogy eljutottunk hozzá. A szkeptikusok viszont azt állítják, hogy egyáltalán nem juthatunk el az igazsághoz (hacsak nem misztikus élményeken keresztül nem), vagy azt, hogy nem tudhatjuk, képesek vagyunk-e elérni avagy hogy elértük az igazságot. Ebben a nagy vitában, amelyben újra és újra korszerűsítik az érveket, a matematika a dogmatizmus büszke fellegvára volt. Lakatos Imre: Bizonyítások és Cáfolatok (Typotex, 18-19. old)

14. M. Kac, S. Ulam „A matematikai gondolkodásmód sajátos és egyedi jellege leginkább a lehetetlenségi bizonyításokban mutatkozik meg. Amikor kijelentjük, hogy a kockakettőzés (azazszerkesztése körzővel és vonalzóval) lehetetlen, akkor ez az állítás nem a képességeink vagy lehetőségeink átmeneti korlátozottságára utal. Ennél sokkal többet állít, azt mondja, hogy soha senki, semmilyen körülmények között sem lesz képes a -t megszerkeszteni vagy egy általános szöget harmadolni, ha csupán körző és vonalzó áll a rendelkezésére. Semmilyen más tudomány, sőt az emberi törekvések egyetlen más területe sem álmodozhat ilyen visszavonhatatlan véglegességről.” M. Kac, S. Ulam: Mathematics and Logic (The New American Library, 1969 Idézve: Laczkovics M.: Sejtés és bizonyítás (Typotex, 1998) 9. Old.

15. B. Russell Túl gyakran halljuk azt, hogy nincs abszolút igazság, csak vélekedés és egyéni ítélet, hogy világszemléletünk tekintetében mindannyian a magunk sajátosságaitól, a magunk ízlésétől és elfogultságától függünk, hogy nem létezik az igazság külső birodalma, ahová – türelemmel és fegyelemmel – végül bebocsátást nyerhetünk, hanem csak számomra meg számodra való igazság létezik: minden egyes személynek a maga külön igazsága. Ez a gondolkodásmód tagadja az emberi erőfeszítés egyik legfőbb végcélját, és erkölcsi szemléletünkből így eltűnik az elfogulatlanság páratlan erénye: a bátor elismerése mindannak, ami létezik. Az efféle szkepticizmussal szemben a matematika örökös szemrehányás: mert igazságainak építménye rendíthetetlenül és bevehetetlenül állja a kétkedő cinizmus minden fegyverének ostromát. B. Russell: A matematika tanulmányozása In Miszticizmus és Logika (Magyar Helikon, 1976) 114-115

16. B. Russellfenykep A tiszta matematika csupa ilyen értelmű kijelentésből áll: ha ez és ez az állítás igaz valamely tetszőleges dologra, akkor ez és ez a másik kijelentés szintén igaz erre a bizonyos dologra. Lényeges, hogy sem azt nem vizsgáljuk, hogy valóban igaz-e az első kijelentés, sem pedig azt nem mondjuk ki, hogy mi az a tetszőleges dolog, amelyre a feltételezések szerint a kijelentés igaz. A matematikát tehát úgy határozhatjuk meg, mint azt a tárgyat, amellyel kapcsolatban sem azt nem tudjuk, hogy miről beszélünk, sem azt, hogy igaz-e amit mondunk. B. Russell: A matematika és a metafizikusok In Miszticizmus és Logika (Magyar Helikon, 1976) 121

17. B. Russell A logika és matematika „ ... mindegyike fejlődött a modern időkben: a logika matematikaibb lett, a matematika logikaibb. Ennek az a következménye, hogy mostanra teljességgel lehetetlenné vált határvonalat húzni a kettő közé, és valójában a kettő egy. Mint fiú és férfi különböznek: a logika a matematika ifjúsága, a matematika a logika férfikora.” B. Russell: Introduction to Mathematical Philosophy (Dover, 1993) /first edition: 1919/ 194

18. H.B. Curry „A manapság folyónépszerű vitákban azt mondják hogy az intuícionizmus, formalizmus és logicizmus a három fő nézet a matematika természetével kapcsolatban. Az utóbbi az a nézet volna, hogy a matematika az logika. De nincs itt egy harmadik nézet párhuzamosan a másik kettővel, mert azt mondani, hogy a matematika logika, pusztán csak annyit jelent, hogy az egyik definiálatlan terminust egy másik definiálatlan szóval helyettesítettük.” H.B. Curry: Remarks on the definitiona and nature of mathematics Dialectica, 8 (1954) 228-233 In Philosophy of Mathematics. Selected Readings, P. Benacerraf, H. Putnam, Cambridge University Press, 1997) p. 206

19. H. Hahnfenykep „A matematikai állítások ugyanolyan típusúak mint a logikaiak: tautológikusak, egyáltalán semmit sem jelentenek ki a tárgyakról – amelyekről beszélni akarunk -- , hanem csak arról a módról szólnak, ahogyan ezekről beszélni akarunk” H. Hahn: Logika, matematika és természetismeret (1933) In A Bécsi Kör Filozófiája (Gondolat, 1972, 236. Old.)

20. P.J. Davis, R. Hersh „Ahogy a matematika minden ágában megnövekedett a hangsúlya a deduktív jellegnek, a XIX. Sz. Közepén C.S. Peirce kijelentette, hogy a ‘a matematika a szükségszerű következtetések levonásának tudománya‘. De mire vonatkoznak a következtetések? Mennyiségre? Térre? A matematika tartalmát nem fogalmaztuk meg ezzel a definícióval. A matematika „bármiről” szólhatna, amennyiben a tárgy eleget tesz a hipotézis-dedukció-konklúzió sémának. Scherlock Holmes jegyzi meg Watsonnak a The Sign of Four-ban, hogy ‘A nyomozás egzakt tudomány, vagy legalábbis annak kellene lennie, amelyet hideg és érzelemmentes módon kell kezelni. Ön romantikát próbál belevinni. Ez éppen olyan, mintha egy szerelem vagy egy nő megszöktetésének történetét próbálná Euklidesz ötödik tételébe beleszőni’.

21. Itt Connan Doyle leplezett gúnnyal jelenti ki azt, hogy a bűnügyi nyomozást teljes joggal lehetne a matematika egyik ágának tekinteni. És Peirce egyetértene. P.J. Davies, R. Hersh: A Matematika Élménye (Műszaki, 1984) /1981/ 30. Old.

22. I. Kant „A matematikai ítéletek mind szintetikusak. E tétel, úgy látszik, elkerülte az emberi ész taglalóinak figyelmét, sőt homlokegyenest ellenkezik vélekedésükkel, habár ellenmondhatatlanul bizonyos s a következőkben nagyon fontos. ... Mindenekelőtt megjegyzendő, hogy voltaképi matematikai tételek mindig a priori ítéletek, nem pedig empirikusak, mert szükségszerűséggel járnak, mely pedig tapasztalatból nem meríthető.

23. I. Kant „Első pillanatra azt gondolhatnók ugyan, hogy e tétel 7+5=12 csak analitikus tétel, mely hét meg öt összegének fogalmából az ellentmondás tétele alaján következik. De ha közelebbről tekintjük, azt találjuk, hogy 7 meg 5 összegének fogalma nem foglal magában egyebet, mint e két számnak egyetlen egyben való egyesítését, a mivel még nincs megmondva, melyik szám az, mely a kettőt egybefoglalja. Azzal, hogy a hét meg ötnek egyesítését gondolom, még éppenséggel nem gondoltam a tizenkettő fogalmát, s bármennyit taglaljam is ily lehető összegről való fogalmamat, a tizenkettőt azért nem találtam meg benne. „ Kant: a Tiszta ész kritikája, 36. Old.

24. I. Kant „A tiszta geometria alaptételei sem analitikusak. Hogy az egyenes vonal a legrövidebb két pont közt, szintetikus tétel. Mert fogalmam az egyenességről nem foglal magában mennyiséget, csak minőséget. A legrövidebb fogalma tehát egészen hozzákerül, nem vonható ki semmiféle találgatással az egyenes vonal fogalmából.” Kant: A tiszta ész kritikája 36-37 old.

25. B. Russell Annak bizonyítása, hogy az egész tiszta matematika – a geometriát is beleértve – semmi más, mint formális logika, végzetes csapást jelent a kanti filozófiára. ... Az a priori intuíciók egész doktrinája, amelynek révén Kant a tiszta matematika lehetőségére magyarázatot adott, teljességgel alkalmazhatatlan a matematikára annak jelenlegi formájában. B. Russell: A matematika és a metafizikusok In Miszticizmus és Logika (Magyar Helikon, 1976) 155

26. P.J. Davis, R. Hersh „Azt hallottuk, hogy az I. Világháború a vegyészek háborúja, a II. a fizikusoké volt, a III. pedig (bárcsak ne lenne) a matematikusoké lesz. Ezzel bekerült a köztudatba, hogy a matematika szükségszerűen összekapcsolódott az élet általános szerkezetével, jó vagy rossz attól függően, hogy az emberek milyenné teszik, és hogy az emberi értelem egyetlen tevékenysége sem mentes az erkölcsi problémáktól.” P.J. Davies, R. Hersh: A Matematika Élménye (Műszaki, 1984) /1981/ 117. Old.

27. Neumann János Hadd idézzem a német költő, Schiller egy epigrammáját. Leír egy elképzelt beszélgetést Arkhimedesz és egy tanítványa között. A tanítvány kifejezésre juttatja a Mester előtt csodálatát a tudomány iránt, s hogy szeretné, ha beavatnák ‘az isteni tudományba, amely éppen most mentette meg az Államot’, a technikát értve ezen, amely segített Szirakuza ostrománál. Úgy értem, a szirakuzaiakat segítette a római hadsereg ostromával szemben. Arkhimedesz erre egy kissé dagályos beszédet tart, amelyben figyelmezteti a csodálót, hogy a tudomány isteni, de isteni volt már azelőtt is, hogy az Államot segítette volna, és isteni függetlenül attól, hogy segíti-e az Államot vagy sem.

28. Neumann János Nos ez az álláspont nagyon fontos és helyes. A tudomány valószínűleg jottányival sem istenibb azért, mert segítette az államot vagy a társadalmat. Ám ha valaki csatlakozik ehhez az állásponthoz, rögtön számolnia kell a duális állítással, azaz ha a tudomány jottányival sem istenibb, mert segíti a táradalamat, talán jottányival sem kevésbé isteni azért, mert károsítja a társadalmat. A kérdés egyáltalán nem triviális. ... Azt hiszem, a legjobb, amit tíz perc alatt megtehetünk, ha hangsúlyozzuk, milyen nehéz és veszélyes gyors ítéletet alkotni ebben a kérdésben. Neumann János: A matematika szerepe a tudományban és társadalomban In Válogatott tanulmányok (Typotex, 2003) 105-106. Old.

29. J. Dieudonnefenykep Az alapokról szólva hiszünk a matematika realitásában, de természetesen, ha ránk támadnak a filozófusok a paradoxonjaikkal, akkor a formalizmus mögé rejtőzünk, és azt mondjuk, hogy „A matematika csak jelentés nélküli szimbólumok kombinációja” és előhúzzuk a halmazelmélet 1. és 2. Fejezetét. Végül békén hagynak bennünket, hogy visszamehessünk a matematikához, és azt tehessük, amit mindig is tettünk, azzal az érzéssel, amely minden matematikusban megvan, hogy valami reálissal dolgozik. Lehet, hogy ez az érzés csak illúzió, de nagyon kényelmes. Ez Bourbaki hozzáállása is az alapokhoz. J. Dieudonné: The Work of Nicholas Bourbaki American Mathematical Monthly 77 (1970) 145. Old.

30. P.J. Cohen „Az átlagos matematikus számára, aki csak abban szeretne biztos lenni, hogy munkája szilárd alapokra épül, a legvonzóbb választás az, ha Hilbert programja segítségével elkerüli a nehézségeket. Nála a matematika csak formális játék, amelyben mindössze a konzisztencia kérdésére kell ügyelni. ... Valószínűleg a realista (azaz platonista) helyzete az, amelyet a legtöbb matematikus előnyben részesítene, legalábbis addig, amíg tudatára nem ébred a halmazelmélet bizonyos nehézségeinek, amelyet meg kellene vizsgálnia. Ha ezek a nehézségek különösen nyugtalanítják, akkor a formalizmus fedezéke mögé rohan, miközben valódi helyzete valahol a kettő között lesz: megpróbálja mindkét világ áldásait élvezni.” P.J. Cohen: Comments on the Foundations of Set Theory in Axiomatic Set Theory, szerk. D. Scott (AMS, 1971)

31. P.J. Davis, R. Hersh „A legtöbb matematikus aki ezzel a témával foglalkozik, egyetért abban, hogy a tipikus alkotó matematikus a hétköznapokon realista, az ünnepnapokon formalista. Más szóval, amikor matematizál, akkor meg van győződve arról, hogy egy objektív realitással foglalkozik, és arra törekszik, hogy meghatározza ennek tulajdonságait. Amikor azonban arra kérik fel, hogy összegezze ennek a realitásnak a filozófiáját, akkor a legkönnyebbnek azt a színlelést találja, hogy végülis mégse hisz benne.” P.J. Davies, R. Hersh: A Matematika Élménye (Műszaki, 1984) /1981/ 338. Old.

32. R. Thomfenykep „Mindent összevéve, a matematikusoknak elég bátraknak kell lenniük ahhoz, hogy kimondják és megerősítsék legalapvetőbb meggyőződésüket, amely szerint a a matematikai formák valóban léteznek, függetlenül az őket vizsgáló értelemtől. ... Ugyanakkor bármely adott pillanatban a matematikusnak az ideák eme világáról csak egy nem teljes, töredékes képe lehet.” R. Thom: Modern mathematics: An educational and philosophical Error? American Scientist 59 (1971) 695-699

33. R. Feynmanfenykep „A nagy precizitású matematikai szigorúság nem nagyon hasznos a fizikában. De a matematikusokat nem kell emiatt kritizálni... Ők csak munkájukat végzik. Ha valami mást akarunk, akkor kidolgozzuk magunknak.” R. Feynman: The Character of Physical Law (MIT Press, Cambridge, Mass.) 1965

34. I. Lakatos „Azt is írja, hogy a cikkem [Bizonyítások és Cáfolatok] nem magyarázza meg `az alapvető különbséget a matematika és a kísérleti (empírikus) tudományok között’. Dehát az alapvető mondanivalóm pontosan az, hogy – legalábbis ami a bizonyosságot, az alapokat illeti --, nincs nagy különbség, egyik sem mentes tévedéstől, mindkettő sejtés-jellegű.” Lakatos I. levele H. Wang-hoz, Május 17, 1962

35. Neumann János „ ... A legjobb matematikai ihlet a tapasztalatból ered, s ... aligha lehet hinni a matematikai szigor abszolút, változatlan, minden emberi tapasztalattól elkülönült fogalmának létezésében. Magam nagyon földönjáró álláspontot próbálok elfoglalni ebben a kérdésben. Bármilyen filozófiai vagy ismeretelméleti ízlése legyen valakinek ebben a vonatkozásban, a matematikus céh tényleges tapasztalata saját tárgyával kapcsolatban nagyon kevéssé támasztja alá a matematikai szigor a priori fogalmának létezését.” Neumann János: A matematikus. In Válogatott tanulmányok (Typotex, 2003) 96. Old.

36. Neumann János „A matematika leginkább jellemző tulajdonsága, nézetem szerint, teljesen sajátos viszonya a természettudományokhoz, -- vagy általánosabban minden olyan tudományhoz, amely a puszta leírásnál magasabb fokon elemzi a tapasztalatot. ... Fejlődése ... igen szorosan kapcsolódik a természettudományokhoz. Egyik fő ága, a geometria, tapasztalati természettudományként indult. A modern matematika legjobb gondolatai közül sok (szerintem a legjobbak) világosan a természettudományokból ered.” Neumann János: A matematikus. In Válogatott tanulmányok (Typotex, 2003) 85. Old.

37. Neumann János (1903-1957)

38. Konklúzió: A matematikáról mindent, és mindennek az ellenkezőjét is mondták mar. Az egyik legizgalmasabb (filozófiai?) kérdés azt feszegetni, Mi a matematika?