Lógica de Predicados

1. Lógica de Predicados Semântica

2. Interpretações mais elaboradas do que as da Lógica Proposicional • De novo, associar significados a símbolos sintáticos • Como fica isso, com variáveis, quantificadores, predicados, funções?? • H=(x)(y)p(x,y) • De que depende a interpretação da fórmula acima?

3. Interpretações em Lógica de Predicados - Predicados • Em 1º. lugar, do predicado p • Se I[p]= < (“menor que”), então I[p(x,y)]=T DI[x]<I[y] DxI < yI • Interpretando informalmente os quantificadores, temos que • I[H]= “para todo xI”, “existe um yI” • tal que xI<yI • I[H] é verdadeira ou falsa??

4. Interpretações em Lógica de Predicados - Domínios • Ainda não dá pra determinar... • Quais os xI e yI a ser considerados? • Ou seja, que domínio U de xI e yI? • Se U =[0,) então I[H]=T • “para todo xI”, xIU, “existe um yI”, xIU, tal que xI<yI • E a interpretação J, com U=(-,0], J[p]= < , J[H]=???

5. Interpretações • Falsa! Porque se xJ=0, não existe yJ tal que xJ,yJ U e xJ<yJ • Não é preciso ter as interpretações de xJ e yJ para se ter I[H] e J[H] • Por quê??

6. Interpretações e símbolos livres • Porque x e y não são símbolos livres em H • Só precisamos definir a interpretação do símbolo livre p • E se G=(x)p(x,y), J[G]=???

7. Interpretações e símbolos livres (cont.) • Para determinar J[G]... • dependemos de J[p] e J[y] • y é um símbolo livre • Se J[p] =  e J[y]=-5 => J[G]= F • “para todo xJ”, xJ(-,0], xJ-5 • Porém, se yJ=0 => J[G]=T • ... Dependemos do • Domínio de interpretação • Valor das interpretações dos símbolos livres

8. Formalizando: Interpretação de váriáveis e funções • Extensão da interpretação proposicional • Há interpretações para termos e expressões • Se U é um conjunto não-vazio, uma interpretação I na Lógica de Predicados é uma função tal que: • O domínio de I é o conjunto de símbolos de função, predicados e expressões • Para toda variável x, se I[x]=xI, então xIU • Para todo símbolo de função n-ário f, se I[f]=fI, então fI é uma função n-ária em U • fI: U**n  U

9. Interpretação de predicados, constantes e símbolos • Analogamente, para todo símbolo de predicado n-ário p, se I[p]=pI, então pI é um predicado n-ário em U • pI: U**n  {T,F} • A interpretação de um predicado zero-ário é igual à interpretação de seu símbolo • Se I[P] = PI, então PI  {T,F} • A interpretação de uma função zero-ária é igual à interpretação de uma constante • Se I[b] = bI, então bI  U

10. Interpretação de fórmulas –não-quantificadas • Se E é uma expressão, I uma interpretação sobre o domínio U. I[E] é dada por: • Se E=false, I[E]=I[false]=F (o mesmo com true) • Se E = f(t1,t2,...,tn) (um termo), então • I[E]= I[f(t1,t2,...,tn)]=fI(tI1,tI2,...,tIn), • onde I[f]=fI e para todo ti, I[ti]=tIi • Se E = p(t1,t2,...,tn) (um átomo), então • I[E]= I[p(t1,t2,...,tn)]=pI(tI1,tI2,...,tIn), • onde I[p]=pI e para todo ti, I[ti]=tIi

11. Interpretação de fórmulas –não-quantificadas (cont.) • Se H é uma fórmula e E=H, então • I[E]=I[H]=T se I[H]=F e • I[E]=I[H]=F se I[H]=T • Se H e G são fórmulas, e E=(HvG), então • I[E]=I[HvG]=T se I[H]=T e/ou I[G]=T e • I[E]=I[HvG]=F se I[H]=F e I[G]=F

12. Interpretação de Expressões • Dados H=(p(x,y,a,b))  r(f(x),g(y)) e G= p(x,y,a,b)  (q(x,y)^r(y,a)) • A interpretação I, onde U=[0,) • I[x]=3,I[y]=2,I[a]=0,I[b]=1 • I[p(x,y,z,w)]=T D xI*yI>zI*wI • I[q(x,y)]=T D xI<yI, I[r(x,y)]=T sse xI>yI • I[f(x)]=xI+1, I[g(x)]=xI-2, • Lembrar que I[x]=xI • o objeto xI é o significado de x em I e xIN

13. Interpretação de Expressões – Tabela verdade • Observe que I[x]=3,..., I[H]=T,I[G]=T • As interpretações de f e g são elementos do domínio de I (N) • As interpretações de H e G e dos átomos p(x,y,a,b), q(x,y) e r(y,a) são valores de verdade

14. Domínio de Interpretação • Seja I uma interpretação sobre N onde • I[a]=25, I[b]=5, I[f(x,y)]=xI/yI • I interpreta a constante a como 25 • I interpreta f como a função divisão • Então I[f(a,b)]=5, pois I[f]=fI, onde fI: U*U  U • Porém, se I[c]=0, I[f(x,c)] não está definida! Então o domínio de f é NxN*  Q (racionais) • => Se o domínio de I for N, I[f] não pode ser a função divisão • E para raiz quadrada??

15. Interpretação de fórmulas –quantificadas • Se H é uma fórmula, x uma variável e I uma interpretação sobre U • I[(x)H]=T DdU;<x <- d>I[H]=T • I[(x)H]=F DdU;<x <- d>I[H]=F • I[(x)H] =T DdU;<x <- d>I[H]=T • I[(x)H] =F DdU;<x <- d>I[H]=F • Onde <x <- d> significa “interpretação de x como d” ou <x <- d>I[x]=d

16. Exemplo de Interpretação de fórmulas quantificadas • I é uma interpretação sobre o conjunto de alunos do CIn (aluno-CIn) tal que • I[p(x)]=T D xI é inteligente • H1= (x)p(x). O que é I[H1]=T? • I[H1]=T D I[(x)p(x)]=T Ddaluno-CIn; d é inteligente Ddaluno-CIn;pI(d)=T Ddaluno-CIn;<x <- d>I[p(x)]=T • daluno-CIn, se x é interpretado como d • Então p(x) é interpretado como T

17. Exemplo de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) • I[H1]=F? • I[H1]=F D I[(x)p(x)]=F Ddaluno-CIn; d é burro Ddaluno-CIn;pI(d)=F Ddaluno-CIn;<x <- d>I[p(x)]=F • Nem todo aluno-CIn é inteligente • daluno-CIn;<x <- d>I[p(x)]=F • daluno-CIn, se x é interpretado como d • Então p(x) é interpretado como F

18. Exemplo 2 de Interpretação de fórmulas quantificadas • H2= (x)p(x). O que é I[H2]=T? • I[H2]=T D I[(x)p(x)]=T Ddaluno-CIn; d é inteligente Ddaluno-CIn;pI(d)=T Ddaluno-CIn;<x <- d>I[p(x)]=T • daluno-CIn, se x é interpretado como d • Então p(x) é interpretado como T

19. Exemplo 2 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) • I[H2]=F? • I[H2]=F D I[(x)p(x)]=f Ddaluno-CIn; d é burro Ddaluno-CIn;pI(d)=F Ddaluno-CIn;<x <- d>I[p(x)]=F • Não existe aluno-CIn inteligente • daluno-CIn;<x <- d>I[p(x)]=F • daluno-CIn, se x é interpretado como d • Então p(x) é interpretado como F

20. Exemplo 3 de Interpretação de fórmulas quantificadas • Se I uma interpretação sobre N, tal que • I[x]=3,I[a]=5, I[y]=4,I[f]=+,I[p]=< • G=(x)p(x,y) • “Todo natural é menor que 4”

21. Exemplo 3 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) • I[G]=F D I[(x)p(x,y)]=F DdN;<x <- d>I[p(x,y)]=F DdN;d<4 é F, que é verdadeira DI[G]=F é verdadeira • A interpretação de G segundo I é falsa • Não foi usada I[x]=3, • E sim a versão estendida <x <- d>

22. Exemplo 4 de Interpretação de fórmulas quantificadas • E=(x) (y)p(x,y) • “Para todo natural x, existe outro natural y tal que y>x” • I[E]=T D I[(x)(y)p(x,y)]=T DdN;<x <- d>I[(y)p(x,y)]=T DdN, cN;<y <- c><x <- d>I[p(x,y)]=T D “dN, cN; d<c é verdadeiro”, que é verdadeira DI[E]=T é verdadeira

23. Exemplo 4 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) • I[E]=F D I[(x) (y)p(x,y)]=F DdN;<x <- d>I[(y)p(x,y)]=F DdN, cN;<y <- c><x <- d>I[p(x,y)]=F DdN, cN; d<c é falso DdN, cN; d>=c é verdadeira, que é falsa! (não existe um no. maior que todos!) DI[E]=F é falso DI[E]=T

24. Ordem • A ordem das extensões é o inverso da ordem dos quantificadores sintáticos na fórmula • A ordem dos quantificadores semânticos é a mesma dos sintáticos • Não é preciso usar as interpretações I[x]=3 e I[y]=4, pois x e y são ligadas • Usa-se a interpretação estendida • <y <- c><x <- d>I[p(x,y)] que não usa I[x] ou I[y]

25. Interpretação de conjunções de fórmulas quantificadas • E1=E^G anteriores • I[E1]=F, pois I[G]=F e I[E]=T • Resolve-se I[E] e I[G] primeiro

26. Exemplo 5 de Interpretação de fórmulas quantificadas • I em Q* (racionais, exceto o zero) • I[a]=1,I[b]=25,I[x]=13,I[y]=77,I[f]=/,I[p]=< • H1= (x)p(x,y) • I[H1]=T D I[(x)p(x,y)]=T DdQ*<x <- d>I[p(x,y)]=T D “dQ*, d<77 é verdadeiro”, ou “d<77 é verdadeirodQ*”, que é falsa! D I[H1]=T é falsa D I[H1]=F

27. Exemplo 5 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) • I[H1]=F D I[(x)p(x,y)]=F DdQ*<x <- d>I[p(x,y)]=F D “dQ*, d<77 é falso”, ou “d<77 é falsopara algumdQ*”, que é verdadeira! D I[H1]=F é verdadeira D I[H1]=F

28. Exemplo 6 de Interpretação de fórmulas quantificadas • H2= (x)p(x,y) • I[H2]=T D I[(x)p(x,y)]=T DdQ*<x <- d>I[p(x,y)]=T D “dQ*, d<77 é verdadeiro”, ou “d<77 é verdadeirodQ*”, que é verdadeira! D I[H2]=T é verdadeira D I[H2]=T

29. Exemplo 6 de Interpretação de fórmulas quantificadas (cont.) • I[H2]=F D I[(x)p(x,y)]=F DdQ*<x <- d>I[p(x,y)]=F D “dQ*, d<77 é falso”, ou “d<77 é falsopara tododQ*”, que é falsa! D I[H2]=F é falsa D I[H2]=T

30. Exemplo 7 de Interpretação de fórmulas quantificadas • G=(x)(y)p(x,y) p(b,f(a,b)) • Para provar que I[G]=T por absurdo • I[G]=F D I[(x)(y)p(x,y) p(b,f(a,b))]=F D I[(x)(y)p(x,y)]=T e I[p(b,f(a,b))]= F • Mas I[p(b,f(a,b))] sse (25<(1/25)) que é falsa • E I[(x)(y)p(x,y)]=T DdQ*, <y <-c><x <- d>I[p(x,y)]= T DdQ*, dQ*; d<c, que é verdadeira D I[(x)(y)p(x,y)]=T realmente • Então I[G]=F realmente • Não usamos I[x] e I[y] já que x e y estão ligadas em G

31. Exemplo 8 de Interpretação de fórmulas quantificadas • H=(x)(y)p(x,y) p(f(a,b),b) • Para provar que I[H]=T por absurdo • I[H]=F D I[(x)(y)p(x,y) p(f(a,b),b)]=F D I[(x)(y)p(x,y)]=T e I[p(f(a,b),b)]= F • Mas I[p(f(a,b),b)] sse ((1/25)<25) que é verdadeira e contradiz I[p(f(a,b),b)]= F • que contradiz I[H]=F. Então I[H]=T

32. Exemplo 9 de Interpretação de fórmulas quantificadas • H3= (x)(y)p(x,y) p(x,y) • Só há variáveis livres de em H3 (x e y) • É preciso usar as interpretações • I[x]=13 e I[y]=77 • I[p(x,y)]=T => I[H3]=T

33. Exemplo 10 de Interpretação de fórmulas quantificadas • H4= (x)((y)p(x,y) p(x,y)) • Só y é livre em H4 • É preciso usar a interpretação I[y]=77 • I[H4]=F D I[(x)((y)p(x,y) p(x,y))]=F DdQ*<x <- d>I[(y)p(x,y)]=T e<x <- d> I[p(x,y))]=F DdQ*,cQ*<y <-c><x <- d>I[p(x,y)]=T e<x <- d>I[p(x,y))]=F DdQ*,cQ*(d<c) é verdadeiro e (d<77) falso • I[H4]=F realmente

34. Exemplo 11 de Interpretação de fórmulas quantificadas • E=(x)(y)p(x,y) p(f(a,b),x) • Note que xI tal que (1/25)<xI • I[p(f(a,b),x)]=T e I[E]=T • Para provar que I[E]=T por absurdo • I[E]=F D I[(x)(y)p(x,y) p(f(a,b),x)]=F • Mas I[(x)(y)p(x,y)]=T (exemplo anterior) • e I[p(f(a,b),x)] equivale a (1/25)<xI

35. Exemplo 11 de Interpretação de fórmulas quantificadas - Conclusão • Nos casos em que (1/25)<xI • I[p(f(a,b),x)]=T, e temos uma contradição (era F) • I[E]=T • Nos casos em que (1/25)>=xI • I[E]=F

36. Façam os exercícios do livro!!