La relation de Pythagore

1. La relation de Pythagore Triangle rectangle : Un triangle est rectangle lorsque l’un des angles du triangle mesure 90°. Rappel : La somme des mesures des angles intérieurs d’un triangle est toujours de 180°.

2. B Hypoténuse c a A C b Cathètes Remarque : L’hypoténuse est toujours en face de l’angle de 900.

3. Cathètes : Ce sont les deux côtés du triangle formant l’angle droit. Hypoténuse : C’est le côté opposé à l’angle droit. L’hypoténuse est le plus long des trois côtés du triangle.

4. Pythagore, philosophe et mathématicien grec, a établi la relation suivante dans les triangles rectangles.

5. Avec un triangle rectangle dont les côtés mesurent 3, 4 et 5 unités, on construit des carrés avec chacun des côtés. 25 On calcule l’aire de chacun. 5 3 9 On constate que la somme des aires des deux carrés formés avec les cathètes est égale à l’aire du carré formé avec l’hypoténuse. 4 16 9 + 16 = 25 32 + 42 = 52 soit

6. En remplaçant par des lettres c2 c a a2 b b2 Relation de Pythagore : Le carré de la mesure de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des mesures des cathètes. c2 = a2 + b2

7. c a b Si on cherche la mesure de l’hypoténuse ( le plus long côté ) : c2 = a2 + b2 Si on cherche la mesure d’une cathète : a2 = c2 - b2 b2 = c2 - a2 Attention: Une fois le calcul terminé, il faut extraire la racine carrée de la réponse.

8. 1) ? a c 3 b 4 Exemples d’application : Trouve les mesures manquantes dans les triangles suivants: Ici, on cherche l’hypoténuse. c2 = a2 + b2 c2 = 32 + 42 c2 = 9 + 16 c2 = 25 c = 5 Réponse: La mesure manquante est de 5 unités ou 5u.

9. A 2) ? b C c 33,15 cm a 18,42 cm B m AC ≈ 27,56 cm Ici, on cherche une cathète. b2 = c2 - a2 b2=33,152 - 18,422 b2 = 1098,9225 - 339,2964 b2 = 759,6261 b ≈ 27,5613 Réponse:

10. Comment vérifier si un triangle est rectangle en connaissant uniquement la mesure des trois côtés? Par la relation de Pythagore. Exemple : À partir des mesures données, vérifie si les triangles forment un triangle rectangle. Hypoténuse 1) 11cm, 61cm,60cm 2) 63dm,33dm, 56dm c2 = a2 + b2 c2 = a2 + b2 612 = 112 + 602 632 = 332 + 562 3721 = 121 + 3600 3969 = 1089 + 3136 3721 = 3721 3969 ≠ 4225 Réponse : Le triangle 1) est un triangle rectangle.

11. B c a A C b 2 2 2 D soit (m AB)= (m BC) + (m AC) B 600 300 E C A Remarque : La relation de Pythagore peut s’écrire soit c2 = a2 + b2 Cette écriture est un peu plus longue, mais plus précise pour une figure complexe.

12. Remarques : Un triangle est rectangle seulement si le problème le mentionne ou si tu es capable de le prouver. La relation de Pythagore n’est vraie que dansles triangles rectangles.