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N úmeros Complejos

N úmeros Complejos. Presentación 4 MATE 3171. La unidad Imaginaria. La unidad imaginaria , denotada i , tiene las propiedades : i es la raiz cuadrada de -1, esto es , i 2 = -1 .

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N úmeros Complejos

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Presentation Transcript

  1. Números Complejos Presentación 4 MATE 3171

  2. La unidad Imaginaria • La unidadimaginaria, denotadai , tienelaspropiedades: • ies la raizcuadrada de -1, estoes, • i2 = -1 . • iNO es un número real. Esunanuevaentidadmatemáticaquenospermitedefinir el conjuntoℂde los númeroscomplejos.

  3. Los números complejos

  4. Parte real e imaginaria • Para un númerocomplejoa+ bi , llamamosala partereal ybla parte imaginaria. • Ejemplo: • Encontrar los valores de x y y, donde x y y son números reales para • Igualamos la parte real de ambos números 2x – 4 = 8 2x = 12 x = 6 • Luego la parte imaginaria: 9 = 3y y = 3

  5. Suma y multiplicación • Expresar en la forma a + bi , dondea y b son númerosreales. • Solución:

  6. EjemplosAdicionales • Expresar en la forma a + bi , dondea y b son númerosreales.

  7. EjemplosAdicionales • Expresar en la forma a + bi , dondea y b son númerosreales.

  8. EjemplosAdicionales Primeramenteestudiaremospotenciasconsecutivos de i. y luego el ciclo se repite.

  9. Conjugados • Si z = a + bies un númerocomplejo, entoncessuconjugado, denotado, ,esa – bi . • Sigueque el conjugadode a – biesa + bi

  10. Divisiónde NumerosComplejos • La división de números complejos implica utilizar la multiplicación por el conjugado del denominador para eliminar la parte imaginaria del denominador. • Expresar en la forma a + bi, donde a y b son reales.

  11. Ejemplo(continuación)

  12. Raíces de of NumerosComplejos • Si res un número real positivo, entonces la ecuaciónx2 = rtiene dos solucionesen los númeroscomplejos, , dondese llama la raiz principal.

  13. Precaución • La fórmulaesválidaparanúmerosrealespositivos, peroNOesválidacuandoa ybson ambosnegativos: • Si sólouno de los números,aób,esnegativo, entonces .

  14. Raícescuadradasde NúmerosNegativos Expresar en la forma a + bi, donde a y b son números reales

  15. Solucionescomplejas de ecuacionescuadráticas Resolver: Solución: Usaremos a=5, b=2, y c=1 Notemos que NO existen factores de 5 que sumen 2, por lo tanto la ecuación NO se puede expresar como el producto de dos factores lineales con coeficientes racionales.

  16. Solucionescomplejas de ecuacionescuadráticas (continuación) Solución: (continuación) Usaremos a=5, b=2, y c=1 con la fórmula cuadrática.

  17. MásSolucionesComplejas • Resolver: • Otras fórmulas especiales para factorización • Usando a=x y b=1 • Debemos resolver • y • Las soluciones son:

  18. MásSolucionesComplejas • Ejemplo: Las soluciones de una ecuación cuadrática son (1+3i ) y (1-3i ). Exprese la ecuación cuadrática en su forma general. • La fórmula general se obtiene multiplicando los factores lineales:

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