Expresiones Algebraicas

1. Expresiones Algebraicas • Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número finito de operaciones de suma, resta, producto, cociente, potencia y raíz. • Ejemplos

2. Expresiones Algebraicas

3. Expresiones Algebraicas comunes • El doble o duplo de un número: 2x • El triple de un número: 3x • El cuádruplo de un número: 4x • La mitad de un número: x/2 • Un tercio de un número: x/3 • Un cuarto de un número: x/4 • Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x... • Un número al cuadrado: x²

4. Expresiones Algebraicas comunes • Un número al cubo: x³ • Un número par: 2x • Un número impar: 2x + 1 • Dos números consecutivos: x y x + 1 • Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2 • Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3 • Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x

5. Expresiones Algebraicas comunes • La suma de dos números es 24: x y 24 − x • La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x • El producto de dos números es 24: x y 24/x • El cociente de dos números es 24: x y 24 · x

6. Tipos de Expresiones Algebraicas Expresiones Algebraicas Racionales Irracionales Enteras Fraccionarias

7. Expresión Algebraica Racional • Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación • Ejemplo

8. Expresión Algebraica Irracional • Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación • Ejemplo

9. Expr.Algebraica Racional Entera • Una expresión algebraicas es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural. • Ejemplo

10. Expresión Algebraica Racional Fraccionaria • Una expresión algebraicas racional es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador. • Ejemplo

11. Polinomios • Son las expresiones algebraicas más usadas. • Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma: a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn

12. Ejemplos de polinomios A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).

13. Términos • Monomio : polinomio con un solo término. • Binomio : polinomio con dos términos. • Trinomio : polinomio con tres términos. • Cada monomio aixi se llama término. • El polinomio será de grado n si el término de mayor grado es anxn con an0. • A a0 se lo llama término independiente. • A an se lo llama término principal.

14. Ejemplos

18. Ejercicio • Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios. En este último caso indicar su grado.

19. Suma de Polinomios • Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes. • Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1 Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

20. Propiedades de la Suma • Asociativa • Conmutativa • Existencia de elemento neutro • Existencia de elemento opuesto

21. Resta de Polinomios • Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x). P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ] • Ejemplo: Restar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1 Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2

22. Multiplicación de Polinomios • Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado. • Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1 Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2 P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

23. Propiedades del Producto • Asociativa • Conmutativa • Existencia de elemento neutro.

24. Algunos productos importantes • (x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2 • (x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2-2ax + a2 • (x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3 • (x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3 • (x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2

25. Ejercicio • Escribir los desarrollos de

26. Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios cuadrados perfectos como el cuadrado de un binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos como el cubo de un binomio.

27. Ejercicio: La expresión x2 - a2 es una diferencia de cuadrados. Escribir las siguientes diferencias como producto de binomios.

28. División de polinomios • Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros. • Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.

29. División entre números enteros • En el conjunto de números enteros, si D es el dividendo y d0 es el divisor, existen y son únicos dos enteros c (cociente) y (r (resto) tales que D = d . C + r 0 ≤ r < |d| • Si r=0 se dice que D es divisible por d.

30. División entre números enteros • Ejemplo: Realizar las siguientes divisiones enteras: • 29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues 29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6 • 29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6| ¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?

31. División de polinomios • Dados los polinomios D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8 d(x) = 3x – 4 determinar, si es posible, dos polinomios c(x) y r(x) tales que D(x) = d(x). C(x) + r(x) de modo que el grado de r(x) sea menor que el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)

32. 0x3 - 9x2+ 15x 9x2- 12x 0x2+ 3x - 8 -3x + 4 0x - 4 Ejemplo 6x3 – 17x2 + 15x – 8 3x – 4 -6x3 + 8x2 2x2 - 3x + 1 6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4

33. Ejercicios • D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x d(x) = x2 – 3x • D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4 d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2 • D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2 d(x) = x-2

34. División de Polinomios • Dados los polinomios D(x) y d(x); d(x)Op(x), diremos que d(x) divide a D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) tal que D(x) = d(x) . c(x)

35. Ejercicios • Dados los polinomios P(x) y Q(x) indica si alguno de ellos es divisible por el otro • P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1 Q(x) = x3 + x2 + x + 1 • P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16 Q(x) = x5 - 32

36. Regla de Ruffini 3 -2 -5 -9 2 -3 División de un polinomio por otro de la forma (x-a) 3x3 – 2x2 – 5x – 9 x – 2 - 3x3 + 6x2 3x2 + 4x + 3 4x2 – 5x - 4x2 + 8x 3x – 9 -3x + 6 -3 6 8 6 3 4 3 3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)