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Mise en oeuvre des MMCs. L'utilisation des MMCs en reconnaissance des formes s'effectue en trois étapes : définition de la topologie de la chaîne de Markov, ce qui équivaut à construire un graphe dépendant de l'application visée (vocabulaire, syntaxe pour la RAP),
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Mise en oeuvre des MMCs L'utilisation des MMCs en reconnaissance des formes s'effectue en trois étapes : • définition de la topologie de la chaîne de Markov, ce qui équivaut à construire un graphe dépendant de l'application visée (vocabulaire, syntaxe pour la RAP), • apprentissage du modèle : un des grands avantages de l'approche markovienne réside dans l'utilisation d'un apprentissage automatique des paramètres d'un modèle donné - quelle que soit la nature des observations (continues ou discrètes) -, ses paramètres sont optimisés de manière à maximiser la probabilité d'émission des observations données, une fois définie la topologie du modèle,
Mise en oeuvre des MMCs 3. reconnaissance : il s'agit, pour une suite Y= d'observations et un modèle donné de définir : • soit la vraisemblance d'une suite d'observations par rapport à un modèle , • soit de retrouver le chemin optimal , au sens probabiliste, c'est à dire la suite d'états cachés qui a vraisemblablement généré ces observations, parmi toutes les séquences s d'états possibles, soit :
D'après la formule de Bayes on a : Remarquons que Pr(Y) ne dépend pas de la suite d'états s ; par conséquent la séquence qui donne la meilleure probabilité est celle qui maximise la probabilité conjointe Pr(Y,s) : Pour résoudre les problèmes posés dans ces deux dernières étapes, deux algorithmes ont été développés, - l'algorithme de Baum-Welch pour calculer la vraisemblance d'une suite d'observations, - l'algorithme de Viterbi pour le calcul du chemin optimal.
Algorithme de Baum-Welch "avant-arrière" • Soient une suite d'observations et soit un modèle donné, on définit deux variables et - La variable avant (forward en anglais) représente la probabilité d'observer les t premières observations et d'aboutir dans l'état au temps t. - La variable arrière (backward en anglais) représente la probabilité d'observer les t+1 dernières observations sachant que l'on part de l'étatau temps t
Les variables forward et backward sont initialisées, pour tous les états par : La règle de Bayes permet un calcul récursif de ces deux variables : pour t=2,...,T et pour t=T-1,T-2,..,1et
la vraisemblance de la suite d'observations par rapport au modèle
Algorithme de Viterbi • l'algorithme de Viterbi est utilisé pour la recherche du meilleur chemin, dans un graphe, ayant généré une suite d'observations selon un modèle Il permet une réduction importante des calculs Le chemin optimal recherché est défini par :
Détermination du chemin optimal Soit la variable le maximum, sur tous les chemins partiels possibles de longueur t et aboutissant à l'étatdes probabilités d'émission des t premières observations la probabilité d'émission le long du chemin optimal recherché La règle de Bayes nous donne la formule récurrente suivante pour t =1,...,T et pour j=1,...,N .
Détermination du chemin optimal Pour déterminer le chemin optimal, on utilise une variable supplémentaire pour mémoriser, à chaque itération l'état correspondant au maximum : l'état final du chemin optimal la variablepermet de retrouver les états précédents par une récurrence arrière : ….. …
Sélection d'un chemin dans le treillis entre les instants t - 1 et t t-1 t
Procédure d'apprentissage • L'apprentissage est une opération d'importance capitale pour un système de reconnaissance, car le soin apporté à cette opération conditionne les performances du système. Un apprentissage incorrect ou insuffisant ne peut être compensé par la puissance des méthodes mises en jeu lors de la phase de reconnaissance. La procédure d'apprentissage se déroule en deux temps : • le réseau markovien est construit c'est à dire que la structure du modèle, le nombre d'états ; les transitions entre états et le type de lois de probabilité définies pour les observations sont spécifiés a priori, • la deuxième phase consiste à introduire dans les modèles markoviens les informations nécessaires contenues dans l'ensemble d'apprentissage, pour apprendre précisément les lois. • Cette deuxième phase de la procédure d'apprentissage se réalise également en deux étapes : - Initialisation des paramètres du modèle, - Ré-estimation de ces paramètres, à l'aide d'un procédé itératif.
Ré-estimation des paramètres • L'estimation des paramètres des MMC la plus souvent utilisée en RAP, est l'estimation par maximum de vraisemblance, elle utilise la procédure de Baum-Welch ou celle de Viterbi. • D'autres critères d'apprentissage existent, • critères MAP (Maximum A Posteriori), • MMI (Maximum Mutuel Information) mais leur mise en oeuvre est généralement plus difficile.
Méthode de Baum-Welch Étant donné l'ensemble d'apprentissage La procédure de Baum-Welch consiste à maximiser la vraisemblance de ces observations par rapport aux paramètres du modèle. Les paramètres optimaux du modèle sont ceux qui maximisent la probabilité d'émission de l'ensemble des observations Pour la détermination des paramètres optimaux, on introduit une fonction auxiliaire Q(.,.) définie par :
Méthode de Baum-Welch • et deux modèles, • chemin quelconque du réseau • La formule de ré-estimation prend en considération pour chaque observation les informations le long de tous les chemins du réseau.
