Distribuzioni di variabili aleatorie

1. Distribuzioni di variabili aleatorie Argomenti Variabili aleatorie discrete e continue, Distribuzione Normale, Distribuzione Normale Standardizzata

2. Concetti di base DISTRIBUZIONE DI PROBABILITA’. Modello matematico che collega i valori di una variabile alle probabilità che tali valori possano essere osservati. Le variabili casuali (o aleatorie) che osserviamo possono essere: • DISCRETE: possono assumere un numero finito o un’infinità numerabile di valori • CONTINUE: possono assumere un qualsiasi valore reale all’interno di un certo intervallo di estremi finiti o infiniti Processo di conteggio Processo di misurazione

3. Variabile aleatoria discreta La distribuzione di probabilità di una v.a. discreta è rappresentata dall’elenco dei valori che la variabile può assumere a cui viene associata la relativa probabilità di verificarsi. FUNZIONE DI PROBABILITA’ FUNZIONE DI RIPARTIZIONE Fornisce la probabilità che la v.a. X assuma valori ≤ ad un particolare valore xi

4. Variabile aleatoria continua • Per quanto riguarda le variabili aleatorie continue si può determinare la probabilità che esse assumano valori compresi in un intervallo. • La probabilità che la variabile assuma un particolare valore è pari a zero • Non si parla più di funzione di probabilità, ma di funzione di densità Proprietà della funzione di densità Funzione di ripartizione

5. Media e varianza delle variabili aleatorie La media (μ) e la varianza (σ) di una variabile aleatoria X sono i parametri più importanti della distribuzione di probabilità di X, in quanto rappresentativi della tendenza centrale e della variabilità della variabile. DISCRETA CONTINUA

6. La distribuzione Normale La distribuzione normale (o Gaussiana) è la distribuzione continua più utilizzata in statistica. Le sue proprietà principali sono: • ha forma campanulare • le sue misure di posizione centrale (media, mediana e moda) coincidono • ha due punti di flesso in μ-σ e in μ+σ • assume valori compresi tra -∞ e +∞ • ha come asintoto orizzontale l’asse delle ascisse

7. La distribuzione Normale La funzione di densità di probabilità della normale è data dalla seguente espressione: Dove: e = costante matematica (Nepero) approssimata a 2,21828 π= costante matematica approssimata a 3,14159 μ= valore atteso della popolazione σ= scarto quadratico medio della popolazione x = valori assunti dalla variabile aleatoria

8. La distribuzione Normale Essendo e e πdelle costanti matematiche, le probabilità di una distribuzione normale dipendono soltanto dai valori dei due parametri μe σ. Diverse combinazioni di questi parametri danno luogo a differenti distribuzioni normali.

9. La distribuzione Normale Distribuzione normale al variare di μ. Distribuzione normale al variare di σ.

10. La distribuzione Normale Gli intervalli tipici di scarto sono i seguenti:

11. La distribuzione Normale Esempio. Il tempo medio di permanenza in un ospedale per anziani è di 38 giorni con uno scarto quadratico medio di 12 giorni. La distribuzione dei tempi di permanenza è una normale. Sappiamo quindi che il 68,27% degli ospiti resta in ospedale tra 26 e 50 giorni La probabilità che un ospite resti 62 giorni è del 2,275%, infatti: la coda a destra μ+2σdi in una distribuzione Normale sottende un area di 0,02275.

12. La distribuzione Normale La funzione di ripartizione di una Normale è data da: Funzione di ripartizione per una distribuzione Normale con media pari a 2 e deviazione standard pari a 1

13. Distribuzione Normale Standardizzata L’utilizzo delle funzioni di densità per il calcolo di probabilità relative ad una v.a. con distribuzione Normale è complesso. Per questo motivo si ricorre all’impiego di tavole in grado di fornirci le probabilità desiderate. Visto che il numero di combinazioni tra μeσ è infinito conviene far uso di una trasformazione lineare in grado di standardizzare la generica v.a. normale per poi ricavare le probabilità dalle tavole della distribuzione Normale Standardizzata. La variabile aleatoria standardizzata Z ha valore atteso nullo e scarto quadratico medio unitario. La sua funzione di densità è:

14. Distribuzione Normale Standardizzata STANDARDIZZAZIONE Consideriamo Z come la variabile ottenuta sottraendo ad X il suo valore atteso e rapportando il risultato alla deviazione standard

15. Distribuzione Normale Standardizzata Tavola dei valori di una Normale Standardizzata

16. Esempi ESEMPIO 1. Supponiamo che il tempo necessario per caricare la homepage del sito Unica sia distribuito normalmente con μ=7 secondi e σ=2 secondi. A ciascun valore della variabile X (tempo di caricamento) è associato il corrispondente valore della variabile standardizzata Z.

17. Esempi Supponiamo di voler determinare la probabilità che il tempo di caricamento della homepage sia inferiore ai 9 secondi. (P(X<9)) Il primo passo è quello di riportare il valore di X=9 secondi al valore della Z standardizzandolo: Infine si utilizza la tavola dei valori per determinare l’area cumulata fino al valore Z=1

18. Esempi Ricaviamo allo stesso modo le seguenti probabilità: • P(X<7 o X>9) • P(5<X<9)

19. Esempi La tavola dei valori della distribuzione Normale Standard è stata fin qui utilizzata per calcolare l’area sottesa dalla funzione di densità fino ad un certo valore della v.a. X. In molti casi (ad esempio in una logica VaR) si è interessati al procedimento opposto, ossia determinare il valore della v.a X a cui corrisponde una certa probabilità cumulata. Supponiamo di voler calcolare il tempo massimo di caricamento per almeno il 10% delle sessioni. Primo passo è quello di cercare nella tavola dei valori un un’area cumulata il più vicino possibile allo 0,1 e da questo ricavare il valore di Z. Z = -1,28

20. Esempi Il secondo passo consiste nel ricavare il valore di X invertendo la relazione che abbiamo precedentemente utilizzato per la standardizzazione

21. Esempi Supponiamo (ancora) di voler trovare i valori estremi dell’intervallo centrato sulla media a cui appartiene il 95% delle osservazioni.

22. Esercizio ESERCIZIO 1. Il responsabile dell’assemblaggio in una società che fabbrica automobili si propone di ridurne il tempo necessario. Nell’attuale processo i lavoratori sono addestrati individualmente. Dopo aver raccolto informazioni il responsabile stabilisce che il tempo di assemblaggio segue approssimativamente una distribuzione normale con valore atteso pari a 75 secondi e scarto quadratico medio pari a 6 secondi. a) Supponiamo che il responsabile dell’assemblaggio voglia determinare la probabilità che un addetto scelto a caso impieghi un tempo compreso fra 75 ed 81 secondi per assemblare il pezzo. Come si procede? b) Qual è la probabilità che un addetto selezionato a caso impieghi al massimo 81 secondi per completare il lavoro? In questo caso guardo la tavola delle probabilità cumulate. c) Quanto tempo deve passare perché il 10% degli addetti abbia completato l’assemblaggio? [Risultati a)=0,3413 ; b)=0,8413 ; c)=67,32]

23. Distribuzione di Poisson La distribuzione di Poisson è anche detta distribuzione degli eventi rari. Se abbiamo un evento E, magari relativo a verificarsi di una specifica perdita operativa, il numero di volte che E si verifica è una variabile aleatoria discreta. Una variabile aleatoria X (numero di volte che si verifica E), che può assumere i valori 0,1,2,…, è detta variabile aleatoria di Poisson con parametro λse la sua distribuzione di probabilità per λ>0 è: Dove: λparametro della Poisson x numero di volte che si verifica l’evento E x! fattoriale di x (es. se x=4 allora x!=4*3*2*1=24)

24. Distribuzione di Poisson Una delle caratteristiche principali della variabile aleatoria di Poisson è che il suo valore atteso e la sua varianza coincidono e sono uguali al parametro λ della distribuzione. In base al valore assunto dal parametro λ la distribuzione acquisisce differenti forme

25. Distribuzione di Poisson Esercizio Ad una guardia medica arrivano in media 3,5 richieste ogni ora di interventi urgenti a domicilio. Calcolare la probabilità che in una stessa ora arrivino 3, 4, oppure 5 chiamate urgenti. Il fenomeno può essere descritto utilizzando la formula di Poisson, con λ = 3,5. Si ha:

26. Distribuzione di Poisson Esercizio Supponiamo che il numero di errori tipografici di una singola pagina del libro di testo abbia una distribuzione di Poisson di parametro λ=1/2. Calcolare la probabilità che in una pagina ci sia almeno un errore:

27. Distribuzione di Poisson – Tavole -

28. Distribuzione di Poisson – Tavole -

29. Distribuzione di Poisson – Tavole -

30. Distribuzione di Poisson – Tavole -

31. Distribuzione Lognormale Si dice che una variabile aleatoria X segue una distribuzione log-normale quando Y=ln(X) segue una distribuzione normale. Si ha quindi per Y la seguente funzione di densità: Dove:

32. Distribuzione Lognormale Analizziamo l’andamento della funzione di densità di una lognormale con deviazione standard pari a 2 al variare della media.

33. Distribuzione Lognormale Analizziamo l’andamento della funzione di densità di una lognormale con media pari a 2 al variare della deviazione standard.

34. Distribuzione Lognormale Con la distribuzione Lognormale si possono modellizzare gli importi delle perdite operative semplicemente basandoci sulla media e la varianza desunte dai dati storici. Una volta ottenuti i parametri della distribuzione possiamo ragionare nell’ottica del VaR per determinare qual è l’importo massimo di una perdita con un certo livello di confidenza. Esempio Ipotizziamo di avere la seguente situazione; una banca vuole determinare il VaR ad un livello di confidenza del 97,5% relativamente all’importo delle perdite operative dovute ad episodi di frode interna compiute dai suoi dipendenti. La banca sa che frodi di questo genere si distribuiscono secondo una lognormale e hanno un impatto medio di 2500 euro e una deviazione standard di 1875 euro. I passaggi per trovare il VaR sono: • abbiamo i parametri μxeσx (della variabile X distribuita lognormalmente) • troviamo con questi parametri μYeσY (della variabile Y=lnX distribuita normalmente) • troviamo il valore di Y=lnX corrispondente al 97,5% con la normale standardizzata • ricaviamo il corrispondente valore della perdita X facendo X=exp(Y)

35. Distribuzione Lognormale I parametri della lognormale sono: Per trovare il VaR al 97,5% dobbiamo riportare la distribuzione Lognormale ad una distribuzione Normale sulla quale siamo in grado di individuare il valore corrispondente al livello di confidenza desiderato. Sappiamo che se X si distribuisce lognormalmente ci sarà una Y=lnX che si distribuisce normalmente con media pari a μY e varianza pari a σY. Dove:

36. Distribuzione Lognormale Adesso dobbiamo trovare il valore, con un intervallo di confidenza del 97,5%, della variabile Y che si distribuisce come una Normale con media pari a 7,6009 e varianza pari a 0,4463 (ossia con SQM pari a 0,6680). Il valore di Y lo troviamo utilizzando la standardizzazione della Normale, come fatto nella scorsa lezione. Vi ricordo che il valore di Z corrispondente ad un livello di confidenza del 97,5% è 1,96. Nell’ultimo passaggio noi dobbiamo convertire Y=lnX (dove X rappresenta l’importo della perdita). Questa cifra è il nostro VaR al 97,5%.