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ESQUEMA. f(x) = x 2. R. f(2) = 4. f(2,3) = 5,29. f(5) = 25. Una función real de variable real es una aplicación de un conjunto D  R, en el conjunto R. R. 2 2,3 5. 2 2 5. Recorrido. 4 5,29 25. Dominio. Funciones reales: Definición.

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Presentation Transcript

  1. ESQUEMA

  2. f(x) = x2 R f(2) = 4 f(2,3) = 5,29 f(5) = 25 Una función real de variable real es una aplicación de un conjunto D  R, en el conjunto R. R 2 2,3 5 • 2 • 2 • 5 Recorrido • 4 • 5,29 • 25 Dominio Funciones reales: Definición • Para que sea aplicación ha de cumplir dos condiciones: • Todo elemento de D ha de tener imagen. • Esta imagen ha de ser única.

  3. 2R x 90º y 2R x x Superficie del rectángulo inscrito en la circunferencia } S = x . y x2 + y2 = (2R)2 Funciones definidas por fórmula D = (0, 2R)

  4. Un cardiograma normal de un joven de 20 años Funciones definidas por su gráfica

  5. 46 T = 4t + 20 30 6.5 2.5 Funciones definidas por tablas Interpolación T(2.5) = 4 . 2.5 + 20 = 30ºC Extrapolación T(6.5) = 4 . 6.5 + 20 = 46

  6. Y f(D) = [0, 2 ] X D = [-2, 2] Funciones reales: Dominio y recorrido

  7. g f R R R x 2x = t sen t = sen 2x x sen 2x g(x) = 2x Salida 2x Entrada x Salida sen t = sen 2x f(t) = sen t Entrada t= 2x h2(x) = f(g(x)) • La función h1(x) = sen 2x es la composición de dos funciones: • g(x) = 2x = t • f(t) = sen t Función compuesta h1(x) = f(g(x)) = f(2x) = sen 2x

  8. f g R R R x sen x = t g(t) = 2 sen t = 2 sen x x 2 sen x Salida sen x f(x) = sen x Entrada x Salida 2 t = 2 sen x f(t) = 2t Entrada t= sen x h2(x) = g(f(x)) • Función h2(x) = g(f(x)) • f(x) = sen x = t • g(t) = 2 t La composición de funciones no es conmutativa h2(x) = g(f(x)) = g(sen x) = 2 sen x

  9. Asíntotas verticales X=0 X=0

  10. Asíntotas horizontales

  11. y = mx + n f(x) – (mx + n) m = tg a • La pendiente de la asíntota oblicua y las pendientes de las tangentes a la curva tienden a coincidir para x+ Asíntotas oblicuas • [f(x) – (mx + n)]  0 para x +

  12. (p, f(p)) p p p f(p) Continuidad. Puntos de discontinuidad Una función es continua en un intervalo I = (a, b) si I está en el dominio de f y f es continua en todos los puntos del intervalo I

  13. Discontinuidad evitable } x=2 discontinuidad evitable

  14. Discontinuidad inevitable: Salto finito x=1 salto finito

  15. Gráfica de la función Y x - 1 si x >0 1 x + 1 si x  0 -1 X 1 -1 Continuidad en un punto -1 1 f(x) no es continua en el punto xo = 0 IMAGEN FINAL

  16. Discontinuidad inevitable: Salto infinito x=1 salto infinito

  17. En la medida en que x toma valores cada vez más próximos a “a”, ¿a quién se acerca f(x)? Límites de funciones en un punto

  18. Significado del límite infinito de una función para x  a

  19. En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x)? Límites de funciones en el infinito En la medida en que x se hace muy grande, con valores negativos ¿a quién se acerca f(x)?

  20. Significado geométrico del límite finito de una función, para x  + 

  21. No hay indeterminación Cálculo de límites (I) 1

  22. 1 Cálculo de límites (II) 2

  23. 2 1 Cálculo de límites (III) –1

  24. Término general: f(n) = a +(n-1).d Sucesión aritmética Sucesiones de números reales Sucesión geométrica Término general: f(n) = a .rn

  25. En la medida en que n toma valores cada vez mayores, ¿a quién se acerca an? Límites de sucesiones

  26. a96 a50 a20 Funciones: límites y continuidad a1 a2 Representación de los términos de la sucesión an = 1/n a3 IMAGEN FINAL

  27. a20 a50 a96 Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión an = 2n/(n + 1) a3 a2 a1 IMAGEN FINAL

  28. a90 a50 a20 a5 Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión an = n2 + 1 IMAGEN FINAL

  29. a90 a50 a20 a5 Funciones: límites y continuidad Representación de los términos de la sucesión an = -n2 + 1 IMAGEN FINAL

  30. a44 a10 a23 Funciones: límites y continuidad Esta sucesión no tiene límite a1 Representación de los términos de la sucesión an = (-1)n . n2 IMAGEN FINAL

  31. El número e

  32. a20 a50 a96 Representación de los términos de la sucesión an = (1+1/n)n a3 a2 a1

  33. Límites de funciones trigonométricas

  34. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 10 5 5 10 - - 0.2 - Funciones: límites y continuidad • La función no está definida en 0. • Pero está definida en las proximidades del punto 0 IMAGEN FINAL

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