Lezione IV: Giochi e Strategie

1. Lezione IV: Giochi e Strategie Una decisione può essere definita strategi-ca se è basata su di un’ipotesi relativa al comportamento di altri soggetti e/o mira ad influenzarlo. Ex: la scelta dei titoli di prima pagina del-l’edizione di domani del Corriere della Sera. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

2. GIOCO: Modello stilizzato di comportamento strategico, nel quale i risultati (payoff) di un soggetto decisore (giocatore) dipendono dalle sue azioni ma anche dalle azioni di altri soggetti (ed essi sono consa-pevoli di tale interazione). In generale, il comportamento ottimale di un gio-catore dipende dunque dalle sue congetture circa il comportamento altrui. Ex: i comportamenti degli oligopolisti (decisioni di prezzo, qualità, quantità, etc.) IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

3. Elementi di un Gioco nella sua “Forma Normale”: • 1) Insieme dei giocatori • 2) Insieme delle “Regole” (chi può fare co-sa, quando e con quali informazioni) • 3) Insieme delle funzioni di payoff, ovvero dei valori di utilità che i giocatori ottengono in funzione dei vari risultati possibili (combinazioni strategiche) IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

4. Ex: Dilemma del Prigioniero Regola: scelte “simulta-nee” Le righe sono intestate al giocatore 1 (cui si riferisce il primo valore di cella) e le colonne al giocatore 2 (cui si riferisce il secondo valore di cella). Si noti che i risultati di-pendono dalle azioni di entrambi i giocatori IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

5. Nel caso del Dilemma del Prigioniero (DP): 1) due giocatori: 1 e 2 2) S e D: strategie del giocatore 2 A e B: strategie del giocatore 1 (A, S), (A, D), (B, S) e (B, D): “combinazioni strategiche” cui sono associati i 4 risultati possibili 3) (5, 5), (3, 6), (6, 3) e (4, 4): valori dei payoff IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

6. Per esempio: (3, 6) significa che se 1 scegliesse A e 2 scegliesse D, cosicché a realizzarsi sarebbe la combinazione strategica (A, D) con le conseguenze materiali che ne derivano, la valutazione di tali risultati in termini di uti-lità individuale sarebbe di 3 per il gioca-tore 1 e di 6 per il giocatore 2. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

7. Si noti che: • La regola della simultaneità delle scelte non deve essere necessariamente interpretata in senso stretto. • Vale piuttosto come “assenza di informazio-ni sul comportamento della controparte nel momento in cui si deve decidere”. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

8. Come scegliere? • Un caso semplice (e improbabile): le Strategie Dominanti (SD) • Una strategia si dice dominante se fornisce i risultati migliori indipendentemente da quanto fanno gli altri giocatori! • Ex: B è una strategia dominante per 1 nel DP (e D è una SD per 2 nello stesso gioco, che è simmetrico). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

9. Ne segue che la combinazione strate-gica (B, D) è un Equilibrio in Stra-tegie Dominanti, ed è ovviamente la soluzione del DP (ogni decisore razio-nale dovrebbe adottare la sua strategia dominante, se questa esiste (se esiste una SD per un giocatore in un certo gioco, allora questa è unica, a meno che ne esistano altre sostanzialmente coincidenti)). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

10. Il DP ha una soluzione ovvia. • Perché è così famoso? • Perché illustra chiaramente la tensione tra l’interesse individuale e i risultati collettivi. Infatti (B, D) è l’unica combinazione strate-gica Pareto-inefficiente nel DP! • Si tratta di una caso analogo a quello del cosiddetto “free riding”: IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

11. Ex: La costruzione della Scuola IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

12. v = valore individuale della Scuola c = costo di costruzione della Scuola c/2 = suddivisione del costo Regola: si costruisce se almeno uno dei giocatori si dichiara interessato alla costruzione, dividendo la spesa tra questi. Assunzione: c > v > c/2 Risultato: (NI, NI) è un equilibrio in SD ed è Pareto inefficiente! La costruzione della Scuola IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

13. Strategie Dominate: un esempio (_, ) : “risposta ottima” giocatore 1; ( ,_) : “risposta ottima” giocatore 2; M è dominata IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

14. Nel gioco precedente non ci sono strategie dominanti. Ma ci sono strategie DOMINATE. In un certo gioco, per un certo giocatore, una strategia si dice dominata se ne esiste un’altra che gli permette di ottenere risultati migliori qualunque cosa facciano gli altri giocatori. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

15. Una strategia è una risposta ottima per un certo giocatore ad un dato comportamento degli altri giocatori se ottiene il risultato mi-gliore per il primo dato il comportamento dei secondi. Una strategia dominata non sarà mai (per nessun comportamento degli altri giocatori) una risposta ottima. Una SD è sempre (per qualunque comporta-mento degli altri giocatori) la risposta ottima. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

16. E’ facile vedere che nel gioco precedente M è una strategia dominata per 1. • Il punto importante è che una strategia domina-ta non dovrebbe MAI essere adottata da un giocatore razionale. • Dunque esse sono di fatto irrilevanti, sia per il giocatore per il quale sono disponibili, sia per gli altri giocatori, che non dovrebbero atten-dersi il loro utilizzo (questa affermazione si basa in realtà sull’assunzione che sia la forma normale del gioco che la razionalità di tutti giocatori sia di loro “conoscenza comune” secondo il linguaggio della logica formale). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

17. Dunque le strategie dominate possono esse-re eliminate da una forma normale, così op-portunamente “semplificando” il gioco, e-ventualmente secondo una procedura itera-tiva. • Ex: Se nel gioco precedente 2 è razionale, conosce i payoff, crede che anche 1 lo sia e che anche 1 conosca i payoff, allora dovreb-be dedurre che 1 non userà mai la strategia M. • In tal caso il gioco diviene il seguente: IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

18. Strategie Dominate: continuazione dell’esempio C è (ora) dominata per 2. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

19. Il processo può continuare: • Dopo l’eliminazione della strategia M per il giocatore 1, la strategia C per il gioca-tore 2 diviene dominata. • Se si è disposti ad assumere che il gioca-tore 1 è razionale, conosce i payoff e sa “che il giocatore 2 conosce i payoff e sa che il giocatore 1 è razionale e conosce i payoff”, allora C diviene irrilevante, e il gioco può essere di nuovo semplificato: IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

20. Strategie Dominate: continuazione dell’esempio A è (ora) dominata per 1; in effetti B è (ora) SD per 1 IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

21. Proseguendo ancora: • Continuando ad iterare le ipotesi di conoscenza comune della razionalità reciproca e dei payoff si giunge dunque al gioco semplificato: nel quale (B, D) è (banalmente) un equilibrio in strategie dominanti dopo aver iterativamente eliminato le strategie dominate. Se si è disposti a considerare le strategie dominate come irrilevanti, (B, D) è anche la SOLUZIONE del gioco originario. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

22. Le ipotesi sulla conoscenza comune della razionalità sono cruciali. Ex: D è SD per 2, ma voi giochereste B nei panni di 1? Bisognerebbe essere certi della razionalità di 2 e della sua conoscenza dei payoff! IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

23. Spesso non esistono strategie domina-te: cosa fare in tal caso? Ex: IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

24. 1) Ciascun giocatore “fa del suo meglio” sulla base delle sue congetture sul com-portamento degli altri (ovvero, utiliz-za una sua “risposta ottima”); 2) Le congetture di ciascun gioca-tore risultano coerenti col com-portamento degli altri giocatori. Ogniconcetto di soluzione dovrebbe avere al-meno 2 caratteristiche: IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

25. Una definizione alter-nativa è che un NE è una combinazione strategica tale che nessun giocatore possa migliorare unilateral-mente (cioè dato il comportamento degli altri) il proprio pay-off. Un’altra è che un NE è una combinazione strategica fatta di vicendevoli risposte ottime. (B, D) è un NE del gioco precedente, ed è l’unico. Ogni combinazione strategica che soddisfi le precedenti proprietà è detta Equilibrio di Nash (NE). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

26. Ogni NE è • 1) Internalmente coerente, come “previ-sione di comportamento” dei giocatori; • 2) Stabile, come indicazione di una “con-venzione comportamentale”. • Comunque, l’NE non è necessariamente UNICO. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

27. Ex: la Battaglia dei Sessi La battaglia dei sessi illustra un gioco di coordinamento con preferenze differenziate. Non esiste una soluzione ovvia ((A, S) e (B, D) sono entrambe NE), come nel caso di molti processi di standardizzazione. In questi contesti è talora il “caso”, o forse “la storia” a rendere “saliente” (“focale”) una certa combinazione (path dependency?) IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

28. Un caso più semplice: un gioco di PURO coordinamento: Tutte le combinazioni strategiche sulla diagonale maggiore sono NE. Ma (g, b) sembra il punto focale (è l’unica posizione Pareto efficiente). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

29. Le cose possono essere molto più complesse. Ex: la Caccia al Cervo (A, S) e (B, D) sono NE. (A, S) è Pareto efficiente e Pareto domina (B, D). Giochereste A (o S)? IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

30. Precisazioni: 1) Ogni Equilibrio in SD è anche un NE (si verifichi tale proprietà sui giochi considerati in precedenza). 2) Una strategia dominata non sarà mai parte di un NE. 3) Nonostante alcuni aspetti problematici so-pra menzionati, faremo sempre riferimento al NE. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

31. Giochi Sequenziali in Forma Estesa Nei giochi simultanei ciascun giocatore decide senza conoscere le scelte degli altri. In altri contesti, le scelte sono sequenziali, nel senso che i giocatori possono decidere in funzione delle scelte effettuate in precedenza dagli altri (se ne sono informati). Per illustrare questo tipo di giochi si può far ricor-so all’Albero delle Decisioni, ovvero alla cosid-detta Forma Estesa del gioco. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

32. 1 Mosse di 1 “Nodi decisionali” ne e Albero delle decisioni 1 = 0 2 = 50 2 nr r Mosse di 2 1 = -10 2 = -10 1 = 10 2 = 20 Payoffs Ex 1: un gioco di “entrata” sul mercato IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

33. Nell’esempio, le decisioni di 2 (impresa incum-bent) posso essere viste come funzioni delle deci-sioni di 1 (impresa “entrante”). Si noti che in un gioco in forma estesa, le strategie sono piani d’azione completi (“contingenti”). Coin-cidono con le mosse solo se i giocatori scelgono una volta sola (come nell’esempio del gioco di entrata). Ci sono due NE = {(e, nr), (ne, r)}, come può facil-mente essere verificato (per esempio usando la for-ma normale corrispondente, nella quale i giocatori scelgono simultaneamente le strategie). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

34. La forma normale del gioco d’entrata: Si noti che, nell’esempio, le strategie di 2 non producono effetti se 1non entra. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

35. Tuttavia l’NE (ne, r) appare insoddisfacente: • In effetti, la “mossa” r da parte del gioca-tore 2non è credibile, in quanto non sareb-be conveniente metterla davvero in pratica. • Si dice in gergo che la mossa r è basata su di una minaccia non credibile (rdopoe). • Un modo per vederlo è risolvere a ritroso il gioco (backward induction), sfruttando la forma estesa del gioco. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

36. 1 ne Payoffs “di continuazione” e 1 = 10 2 = 20 1 = 0 2 = 50 Dopo aver osservato la mossa e da parte di 1: • La mossa ottimale di 2 è chiaramente nr. • Ne segue che il gioco potrebbe essere “ri-solto a ritroso” riducendolo a: Dunque l’unica soluzione ragione-vole, ottenuta collezionando le mosse ottimali, è(e, nr)! IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

37. 1 Insieme Informativo (II) B A   2 2 S D D S 1, 2 0, 0 0, 0 2, 1 Ex 2: la Battaglia dei Sessi (statica) Il gioco è “simultaneo” nel senso che il giocatore 2 non può distinguere tra i nodi decisionali  e  che appartengono al medesimo II, poiché non sa cosa ha scelto 1 . Come sappiamo, NE = {(A, S), (B, D)}. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

38. 1 B A   2 2 S D D S 1, 2 0, 0 0, 0 2, 1 Ex 3: la Battaglia dei Sessi dinamica Gli II coincidono coi singoli nodi decisionali In questo caso il giocatore 2 quando sceglie sa esat-tamente cosa ha scelto il giocatore 1 (può distinguere tra  e  ). Si noti che perciò dispone di 4 strategie alternative: [S; S], [S; D], [D; S] e [D; D]. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

39. Sono combinazioni di mosse, una per ciascun insieme informativo al quale un giocatore è chiamato a compiere una scelta. Possono dunque essere indicate semplicemente tramite l’elenco delle mosse suddette. Le strategie, in quanto piani contingenti alle informazioni disponibili ai decisori: Si noti inoltre che ogni nodo decisionale corrisponde ad una precisa sequenza di azioni scelte dai giocatori in precedenza. Ancorare le strategie agli insiemi in-formativi è dunque un modo naturale di condizionar-le alle informazioni a disposizione dei giocatori (quando devono scegliere). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

40. La forma normale della battaglia dei sessi dinamica: Ci sono dunque 3 NE = {(A, [S; S]), (B, [S; D]), (B, [D;D])}. Ma l’unico sensato è naturalmente (B, [S; D]), nel quale il giocatore 2 “segue” 1, come si può vedere usando l’induzione a ritroso sulla forma estesa. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

41. In generale, è sempre possibile risolvere a ritroso un gioco in forma estesa. • Tuttavia, talora a una prima mossa seguono uno o più veri e propri “sottogiochi”. In tal caso risolve-re “per induzione a ritroso” significa trovare prima l’NE del sottogioco rilevante, e poi risalire. • Gli NE così determinati (un sottoinsieme di quelli che si potrebbero identificare usando la forma nor-male) si dicono “perfetti rispetto ai sottogiochi” (SPNE), e sono esemplificati da (e, nr) nel gioco d’entrata e da (B, [S; D]) nella battaglia dei sessi dinamica. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

42. Il risultato del gioco d’entrata suggerisce che la capacità di impegnarsicredibilmente (to commit) ad un certo comportamento possa avere un cruciale valore strategico. Supponiamo che il giocatore 2 possa predeterminare per sé stesso un costo se non dovesse decidere di rea-girenel caso di entrata del concorrente. Possiamo pensare per semplicità ad un impegno contrattuale (diciamo dal notaio). Sembra folle? È come bruciarsi i ponti alle spalle nella tattica militare … IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

43. 2 Supponendo che la penale sia – 40: ni i 1 1 ne e ne e 1 = 0 2 = 50 2 1 = 0 2 = 50 2 nr r nr r 1 = -10 2 = -10 1 = 10 2 = -20 1 = -10 2 = -10 1 = 10 2 = 20 Le mosse ottimali di 2 sono rispettivamente r e nr nel sot-togioco di sinistra e in quello di destra. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

44. Risolvendo a ritroso 2 ni i 1 1 ne e ne e 1 = 0 2 = 50 1 = 0 2 = 50 1 = -10 2 = -10 1 = 10 2 = 20 Payoffs di continuazione Le mosse ottimali di 1 sono rispettivamente ne e e nel sottogioco di sinistra e in quello di destra. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

45. 2 ni i 1 = 0 2 = 50 1 = 10 2 = 20 Payoffs di continuazione Dunque: Naturalmente, conviene (e molto) al giocatore 2 scegliere la mossai (ottiene un payoff di 50 inve-ce che di 20!). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

46. 2 Mosseottimali in linea continua: ni i 1 1 ne e ne e 1 = 0 2 = 50 2 1 = 0 2 = 50 2 nr r nr r 1 = -10 2 = -10 1 = 10 2 = -20 1 = -10 2 = -10 1 = 10 2 = 20 IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

47. Tirando le somme: Ne segue che l’SPNE di questo gioco è: ([ne; e], [i; r; nr]). Si noti che il giocatore 1 dispone di 4 stra-tegie (ogni combinazione delle mossee/ne nei due sottogiochi) e il giocatore 2 di 8 strategie (ogni combinazione delle mossei/ni e r/nr). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

48. (ne; e) è, per esempio, la strategia del giocatore 1 secondo la quale egli non entra se ha visto il gio-catore 1 impegnarsi (ovvero nel sottogioco di sini-stra) e invece entra in caso contrario (ovvero nel sottogioco di destra). Analogamente, (i; r; nr) è la strategia che detta al giocatore due di impegnarsi e reagire nel caso di entrata, e di non reagire nel caso in cui non si fos-se impegnato e vi fosse stata entrata (che il com-portamento debba essere definito anche in tale contesto controfattuale è parte della definizione di strategia come piano completo d’azione ed è ne-cessario per l’analisi giochistica). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

49. E’ facile verificare sulla forma normale che vi sono molti NE nel gioco in esame. • Ma, come abbiamo visto, uno solo risulta “credibi-le” (perfettorispetto aisottogochi). • Si tratta di un risultato “tipico”: la possibilità di utilizzare la forma estesa permette di ridurre un’immotivata molteplicità di risultati possibili (questo non sempre risolve il problema della mol-teplicità degli equilibri: per esempio, nella Batta-glia dei sessi “statica”, entrambi i NE sono tecni-camente SPNE poiché non ci sono di fatto veri e propri sottogiochi). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

50. La corrispondente forma normale: IO: IV Lezione (P. Bertoletti)