Unidad de competencia IV Inferencias para la media y proporción Prueba de hipótesis

1. Unidad de competencia IV Inferencias para la media y proporción Prueba de hipótesis

2. Prueba de hipótesis. Verificación de hipótesis sobre los parámetros poblacionales. La palabra hipótesis se define como: 1. Una afirmación que está sujeta a verificación o comprobación. 2. Una suposición que se utiliza como base para una acción. El punto clave de estas definiciones está en que una hipótesis es una afirmación o suposición y no un hecho establecido. De esta manera al, no existir un conocimiento previo sobre la efectividad de

3. Prueba de hipótesis. dos métodos de enseñanza, un investigador puede proponer la hipótesis de que para la enseñanza de lectura a estudiantes de primer año, el método A es superior al método B. Un director de una escuela primaria supone que el peso promedio de los alumnos de tercer año es de 35 kgs. Las hipótesis establecidas en esta forma proporcionan con frecuencia motivo para realizar una investigación. Por esta razón podemos denominarlas hipótesis de investigación. Generalmente hay que volver a plantear las

4. Prueba de hipótesis. hipótesis de investigación antes de verificarlas estadísticamente. Cuando ya se han planteado en forma conveniente, de tal forma que se pueden comprobar por medio de métodos estadísticos, las hipótesis reciben el nombre de hipótesis estadísticas. Las hipótesis estadísticas son afirmaciones sobre uno o más parámetros de una o más poblaciones. Las hipótesis estadísticas son de dos tipos. Primero está la hipótesis nula, que se simboliza Ho y que es la hipótesis que se debe comprobar. Es

5. Prueba de hipótesis. una afirmación en la que dice que no hay diferencia entre dos poblaciones o entre el valor verdadero de algún parámetro y su valor hipotético. En el caso de la hipótesis de investigación sobre los métodos de enseñanza de la lectura a alumnos de primer año, supongamos que el criterio de efectividad con que se va a comparar los dos métodos es el puntaje obtenido en una prueba de rendimiento en la lectura hecha al terminar el año. La hipótesis nula apropiada sería, que el puntaje

6. Prueba de hipótesis. promedio obtenido en la prueba por los estudiantes que aprendieron según el método A es igual al puntaje promedio de los estudiantes que aprendieron según el método B. Se puede expresar la hipótesis en forma compacta como: Para el caso de la hipótesis de investigación que supone que los alumnos de tercer año de primaria de una escuela, tiene un pesos promedio de 35 Kg., se puede expresar la hipótesis nula como:

7. Prueba de hipótesis. Para verificar una hipótesis nula, examinamos los datos de la muestra tomada de la población y determinamos si son o no compatibles con la hipótesis nula. Si los datos no son compatibles con la hipótesis nula, entonces H0, se rechaza. Si los datos son compatibles con la hipótesis nula, entonces H0 se acepta. Si la hipótesis nula se acepta, decimos que los datos no dan suficiente evidencia como para que se concluya que la hipótesis nula es falsa. Si la hipótesis nula se rechaza, decimos que los datos

8. Prueba de hipótesis. dan suficiente evidencia para concluir que la hipótesis nula es falsa y que una segunda hipótesis es verdadera,a esta segunda hipótesis se le llama hipótesis alterna y se representa con el símbolo H1. Refiriendonos a las hipótesis que se plantearon anteriormente, para establecer en cada caso cuál sería la hipótesis nula y la hipótesis alterna. 1. El método A es superior al método B para la enseñanza de la lectura a alumnos de primer año:

9. Prueba de hipótesis. 2. El verdadero peso promedio de los alumnos de tercer año es de 35 kgs.

10. Prueba de hipótesis. Para verificar una hipótesis, se puede seguirse el siguiente procedimiento: 1. Planteamiento de la hipótesis. 2. Selección del nivel de significación. 3. Especificación del estadístico de prueba. 4. Especificación de las regiones de rechazo y aceptación. 5. Decisión estadística. 6. Conclusiones.

11. Prueba de hipótesis. 1. Planteamiento de la hipótesis. Anteriormente se revisaron las diferentes clases de hipótesis que se pueden hacer y la forma en que se expresan. 2. Selección del nivel de significación. Teniendo en cuenta los resultados que se obtienen en el análisis de los datos de la muestra, rechazamos o no la hipótesis nula y con esto, se corre el riesgo de equivocarse. Aunque generalmente no sabemos si en una determinada

12. Prueba de hipótesis. acción (rechazo o no rechazo de Ho) cometamos un error o no, podemos indicar los dos tipos de errores posibles, de la manera siguiente: a. Rechazo de una hipótesis nula verdadera. Este error se denomina error de tipo I y se representa con . Con frecuencia a se le llama nivel de significación. b. Aceptación de una hipótesis nula falsa. Este error se denomina error de tipo II y se representa con .

13. Prueba de hipótesis. Para la verificación de una hipótesis determinada preferimos que y fueran pequeños. Pero, estas dos probabilidades están relacionadas, una disminución de tiene como contraparte un aumento de y viceversa. Siendo esto así, parece prudente que, en una situación determinada, tratemos de minimizar la probabilidad de cometer el error más serio. Desafortunadamente, es difícil o imposible, evaluar los dos tipos de errores en cuanto a la seriedad de cada uno de ellos. Lo que se hace en

14. Prueba de hipótesis. estas situaciones es seleccionar algún valor pequeño para , digamos 0.10, 0.05 ó 0.01. La elección de refleja la opinión que tiene el investigador sobre la seriedad del error tipo I. Mientras mas serias se consideren las consecuencias de cometer un error tipo I, menor será el valor que se le asigne a . 3. Especificación del estadístico de prueba. Un estadístico de prueba es una cantidad numérica que se calcula a partir de los datos de

15. Prueba de hipótesis. una muestra y que se utiliza para tomar la decisión de rechazar o no rechazar una hipótesis nula. Cuando la población está normalmente distribuida, con varianza conocida, el estadístico de prueba que se usa para verificar una hipótesis sobre la media poblacional es:

16. Prueba de hipótesis. 4. Especificación de las regiones de rechazo y aceptación. En la verificación de una hipótesis, la región de rechazo consta de todos aquellos valores del estadístico de prueba que son de tal magnitud que, de ser el valor observado del estadístico de prueba igual a uno de ellos, la hipótesis nula se rechaza. La región de aceptación es el complemento de la región de rechazo. Los tamaños de las regiones de rechazo y de aceptación están determinados por Para ello, hay que calcular según

17. Prueba de hipótesis. sea el caso. Las regiones de rechazo, pueden ser: a) de dos lados, colas o bilateral y, b) de un lado, cola o unilateral. Esto lo determina la hipótesis alterna. Pruebas de hipótesis de dos lados o colas. Si las hipótesis nula y alterna se plantean de la siguiente forma: Se rechaza la hipótesis nula Ho en favor de la alterna H1, si o si

18. Prueba de hipótesis. Las regiones de aceptación y rechazo se muestran gráficamente a continuación: 0 Valor crítico Valor crítico Región de aceptación Región de rechazo Región de rechazo Región de rechazo de dos lados.

19. Prueba de hipótesis. Prueba de hipótesis de un lado o cola. Si las hipótesis nula y alterna se plantean de la siguiente forma: Se rechaza la hipótesis nula Ho en favor de la alterna H1, si Si las hipótesis nula y alterna se plantean de la siguiente forma:

20. Prueba de hipótesis. Se rechaza la hipótesis nula Ho en favor de la alterna H1, si 5. Decisión estadística. Se compara el valor real calculado del estadístico con el valor crítico de éste. Si el valor calculado está en la región de rechazo, entonces se rechaza Ho. 6. Conclusiones. En tanto que la decisión se expresa en función del

21. Prueba de hipótesis. estadístico de prueba, la conclusión se expresa en función del parámetro y/o la población a que se refiere la prueba. Verificación de una hipótesis sobre una media poblacional única: población normalmente distribuida, conocida. Explicaremos el procedimiento que se usa para la verificación de hipótesis cuando el parámetro de interés es la media poblacional.

22. Prueba de hipótesis. Ejemplo 2. El director de una universidad, afirma que el cociente intelectual medio entre sus alumnos es de 100 puntos o más. Para corroborar la afirmación el departamento de Psicología de la universidad toma una muestra aleatoria de 25 estudiantes y obtiene una media de 93 puntos. El departamento supone que los puntajes de cociente intelectual se distribuyen de manera normal, con una desviación estándar de la población de 15 puntos. Para realizar la prueba, utiliza = 0.05. Solución: Para resolver este problema, haremos los 6 pasos que se describieron anteriormente. Los datos son:

23. Prueba de hipótesis. • Solución: • Planteamiento de la hipótesis: se quieres probar que el cociente intelectual (CI) medio entre los alumnos es de 100 o más, la hipótesis nula y alterna que se plantea es: • Nivel de significancia: para esta prueba es , el cuál esta dado en el problema. • Calcular el estadístico de prueba: en este caso, como se conoce la desviación estándar de la población y los puntaje de los CI se distribuyen normalmente, es estadístico es:

24. Prueba de hipótesis. • Solución: • así, • Establecer la región de aceptación y rechazo: como la hipótesis alterna H1 es, • Se tiene una prueba de una sola cola, cola del lado izquierdo y para establecer el límite (valor crítico) que separa la región de aceptación y de rechazo, calculamos , que es este caso es: • que se obtiene de buscar 0.450 en la tabla I.

25. Prueba de hipótesis. • Solución: • gráficamente las regiones son • El valor del estadístico que obtuvimos en el paso 3 fue z = -2.33 y el valor crítico, 0

26. Prueba de hipótesis. Solución: el valor del estadístico es menor que el valor crítico, es decir, el valor del estadístico cae en la región de rechazo, esto es, por lo que se rechaza Ho y se acepta H1. 6. Conclusión: La hipótesis que se planteó fue de que el director de una escuela afirmó que el puntaje del CI entre sus alumnos era de 100 o más, por lo que se concluye que no hay evidencia que apoye la afirmación del director, por lo que el CI entre sus alumnos es menor.

27. Prueba de hipótesis. Ejercicio 2. La experiencia ha demostrado que, el tiempo promedio de reacción a determinado estímulo en sujetos normales que están dentro de cierto límite de edad es de 65 milisegundos con una desviación estándar de 15 milisegundos. Un equipo de investigaciones psicológicas cree que si los individuos reciben cierto tiempo de entrenamiento muestran entonces, en promedio un tiempo de respuesta más corto. Con el fin de aclarar si esta opinión se puede probar, el equipo tomó una muestra de 20 sujetos que participaron en el experimento y obtuvieron una tiempo promedio de reacción de 55.5 milisegundos, además establecieron un nivel de significancia de 0.01. Nota. Hipótesis:

28. Prueba de hipótesis. Población distribuida normalmente, desconocida Cuando resulta apropiado verificar una hipótesis sobre una media poblacional, la varianza poblacional generalmente es desconocida y en consecuencia no se puede determinar el error estándar . Si la muestra es grande, se pude hacer una estimación satisfactoria de con los datos de la muestra. Si la población de interés está normalmente distribuida, las medias muestrales los estarán también y se podrá utilizar

29. Prueba de hipótesis. el estadístico de prueba z. Inclusive cuando la población no está normalmente distribuida, la distribución de la media distribuida en aproximadamente normal como consecuencia del teorema de límite central, y por tanto, se puede utilizar a z como estadístico de prueba. Por lo que podemos utilizar el estadístico

30. Prueba de hipótesis. Ejemplo 3. En departamento de deportes de una universidad, desea saber si el peso de sus jugadores de basquetbol de los últimos10 años difiere de 162.5 libras. El departamento desea basar su conclusión en una muestra de tamaño 50, cuya media resultó de 169.7 y su desviación estándar de 22. También establecen que la probabilidad de cometer el error tipo I será . Solución: Datos: 1. Establecimiento de hipótesis

31. Prueba de hipótesis. • Solución: • 2. Nivel de significancia: • Cálculo del estadístico: • Establecer las regiones de rechazo y aceptación: Como la hipótesis alterna es, , se tiene una prueba de dos colas. Calculamos , así, • que se obtiene de un valor de 0.495 de la tabla I. Puesto que es una prueba de dos colas se tiene una región de la siguiente manera

32. Prueba de hipótesis. • Solución: • El valor del estadístico que obtuvimos en el paso 3 fue z = 2.28 • y el valor crítico, , como • cae en la zona de aceptación, por lo que se acepta Ho. 0

33. Prueba de hipótesis. • Solución: • Conclusión: El peso de los jugadores de basquetbol de los últimos 10 años es de 162.5 libras. • Ejercicio 3. • Una persona afirma que el índice de masa corporal (IMC) promedio de los estudiantes de una preparatoria es mayor que el índice ideal sugerido por los centros de control de peso (IMC de 25). A partir de los datos de una muestra aleatoria de 170 estudiantes de esa preparatoria se obtuvo su IMC promedio que fue de 27.6 kilogramo por metro cuadrado, con una desviación estándar de 0.9. ¿Estás de acuerdo con esta persona? Utilice un nivel de significancia de 0.05.

34. Prueba de hipótesis. Verificación de una hipótesis sobre la proporción poblacional. Ahora plantearemos el problema de verificar hipótesis sobre la proporción poblacional p. Si po representa la proporción poblacional, las tres formas de una prueba de hipótesis para la proporción poblacional son:

35. Prueba de hipótesis. La primera forma es una prueba de la cola inferior o izquierda, la segunda es una prueba de la cola superior o derecha y la tercera es una prueba de dos colas. Las pruebas de hipótesis para la proporción poblacional se basan en la diferencia entre la proporción muestral y la proporción poblacional hipotética po. Los métodos para realizar la prueba de hipótesis son semejantes a los usados para las pruebas de hipótesis para la media poblacional.

36. Prueba de hipótesis. Estadístico de prueba en las pruebas de hipótesis para la proporción poblacional Ejemplo 4. En el campo del club de Golf el 20% de los jugadores son mujeres. Para aumentar la proporción de mujeres, se lanzó una promoción especial. Un mes después el gerente solicita un estudio para determinar si la proporción de

37. Prueba de hipótesis. Mujeres ha aumentado. Si de una muestra de 400 jugadores 100 son mujeres, ¿la promoción resultó efectiva?. Use un nivel de significancia de . Solución Datos: la proporción de mujeres golfistas en la muestra es , la proporción hipotética y el tamaño de la muestra n es 400. 1. Hipótesis

38. Prueba de hipótesis. 2. Nivel de significancia 3. Estadístico de prueba 4. De acuerdo con la hipótesis alterna, es una prueba de una solo cola (derecha), por lo que el valor crítico es:

39. Prueba de hipótesis. 5. Decisión, como el valor del estadístico es mayor que el valor crítico z= 2.50 >z0.05 = 1.645 cae en la zona de rechazo, por lo que se rechaza Ho. 6. Conclusión: Como se rechaza la hipótesis nula, se acepta la hipótesis alterna. Esto quiere decir que el porcentaje de mujeres que asisten a jugar después de la promoción es mayor, por lo que la promoción si resultó efectiva.

40. Prueba de hipótesis. Verificación de una hipótesis sobre la diferencia entre dos medias poblacionales, poblaciones normalmente distribuidas, conocidas. Ahora plantearemos el problema de verificar hipótesis sobre la diferencia entre dos medias poblacionales. Por ejemplo un sociólogo podría estar interesado en saber si el promedio en años de educación es diferente en dos poblaciones. El procedimiento para realizar este tipo de hipótesis es similar al anterior, nada mas que el

41. Prueba de hipótesis. estadístico a utilizar es el siguiente: donde Las hipótesis para este caso, se pueden describir de la siguiente manera:

42. Prueba de hipótesis. Bilaterales o de dos colas: o Unilaterales o una cola: o y o

43. Prueba de hipótesis. Ejemplo 5. En una escuela, se seleccionó al azar una muestra de 25 alumnos de quinto año (grupo 1) de una población de estudiantes, pertenecientes a familias en que ambos padres trabajan. Se seleccionó también una muestra al azar de 15 estudiantes (grupo 2) del mismo grado pertenecientes a familias en que solamente el padre trabaja. El puntaje de rendimiento promedio del grupo 1 fue de 78 y el del grupo 2 de 85. La experiencia muestra que ambas poblaciones de puntajes se distribuyen normalmente, con varianzas 81 para el grupo 1 y 25 para el grupo 2. Con el fin de determinar si se puede concluir, con base en estos datos, que la media de la población de la que se seleccionó el grupo 1 es inferior a la media de la población del grupo 2, se puede llevara a cabo la siguiente verificación de hipótesis. Use un nivel de significancia de 0.05.

44. Prueba de hipótesis. Solución: Datos 1. Hipótesis 2. Nivel de significancia 3. Estadístico para calcular z, primero debemos obtener

45. Prueba de hipótesis. • Solución: • así, • por lo que • Es una prueba de una solo cola (izquierda), por lo que el valor crítico es: • Decisión, como el valor del estadístico es menor que el valor crítico z = -3.15 < z0.05 = -1.645 • cae en la zona de rechazo, por lo que se rechaza Ho.

46. Prueba de hipótesis. Solución: 6. Conclusión: Como se rechaza la hipótesis nula, se acepta la hipótesis alterna. El rendimiento promedio de los alumnos del grupo 1 donde ambos padres trabajan es menor que el rendimiento promedio de los alumnos del grupo 2 donde sólo el padre trabaja.

47. Prueba de hipótesis. Poblaciones normalmente distribuidas, desconocidas pero iguales. Como son desconocidos, se puede estimar estos parámetros mediante para obtener Si se utiliza n1 y n2 grandes, se puede utilizar el estadístico z, apoyado del teorema de límite central.

48. Prueba de hipótesis. El estadístico sería entonces: donde

49. Prueba de hipótesis. Ejercicio 4. Un equipo de consejeros de rehabilitación juvenil tiene la impresión de que los jóvenes reincidentes y los no reincidentes son diferentes en cuanto al promedio de edad en que caen en poder de las autoridades. Con el objeto de ver si pueden tener evidencias para corroborar esta idea, el equipo saca una muestra aleatoria de 50 registros de reincidentes y se obtiene un promedio de edad de 14.9 con una varianza de 4; otra de 60 de no reincidentes y obtiene un promedio de edad de 12.3 con una varianza de 6.25. Use = 0.05.