Unidad de competencia V Inferencias para la media Estimaciones por intervalo

1. Unidad de competencia V Inferencias para la media Estimaciones por intervalo

2. Muestreo aleatorio simple. Recordemos que una población es el conjunto de elementos que interesan en un estudio. Una muestra es un subconjunto de la población. Para seleccionar una muestra de una población hay diversos métodos; uno de ellos es el muestreo aleatorio simple. En este tipo de muestreo cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. Para obtener una muestra aleatoria simple, se puede hacer utilizando número aleatorios o la función de Random de una calculadora.

3. Estimaciones puntual Para estimar el valor de un parámetro poblacional, se calcula con los datos de la muestra, a lo que se le conoce como estadístico muestral. Por ejemplo para estimar la media poblacional µ y la desviación estándar de la población σ, se calculan los estadísticos muestrales correspondientes; la media x y la desviación estándar muestral s. Con las siguientes fórmulas:

4. Estimaciones puntual • Ejemplo: • Los siguientes datos provienen de una muestra aleatoria simple: 5, 8, 10, 7, 10 y 14. • ¿Cuál es la estimación puntual de la media población µ? • Así, la estimación puntual de µ es 9. • El cálculo de la media muestralx, también se puede realizar con Excel.

5. Estimaciones puntual • b. ¿Cuál es la estimación puntual de la desviación estándar población σ? • El estimador puntual para la desviación estándar población σ es 3.098 • El cálculo de la desviación estándar muestral s, también se puede realizar con Excel.

6. Estimaciones puntual Para estimar la proporción de la población p, se usa la proporción muestral correspondiente p. Por ejemplo, sea x el número de atletas que han cumplido con la meta de saltar 3 metros de una muestra de tamaño n. Si 6 lograron la meta de una muestra de tamaño 20, la proporción muestral es esta es la estimación puntual para la proporción de la población p.

7. Estimaciones por intervalo. Una estimación por intervalo consta de dos puntos, definidores de un intervalo, que, según nuestras estimaciones, contienen el parámetro poblacional que nos interesa, ya sea la media µ, la desviación estándar σ o la proporción p. Se suele calcular una estimación por intervalo al sumar y restar al estimador puntual una cantidad llamada margen de error. La fórmula general es: Estimación puntual ± Margen de error

8. Estimaciones por intervalo. Intervalo de confianza del 100(1- )% para la media poblacional: desviación estándar de la población σ es conocida. En forma resumida, la manera de construir un intervalo de confianza es la siguiente: 1. Sacar una muestra aleatoria simple de tamaño n. 2. Calcular y . 3. Seleccionamos un coeficiente de confianza del 1 - . 4.Obtener el valor de z mediante la tabla apropiada, en base al valor (1- /2)

9. Estimaciones por intervalo. 5. Construir el intervalo. LS = LI = donde LS es el límite superior del intervalo, LI es el límite inferior y es el valor de z que deja un área de α/2 en la cola superior de la distribución normal estándar.

10. Estimaciones por intervalo. Ejemplo 1. El coordinador de la LDCFD, desea hacer una estimación del puntaje promedio en la prueba de aptitud de los alumnos admitidos a este programa educativo durante un determinado año, con un intervalo de confianza del 95%. El consejero supone la población se distribuye normalmente, con una desviación estándar de 15. Una muestra aleatoria de 100 admisiones arroja una media de 65. Solución: Para aplicar la fórmula para encontrar el intervalo de confianza, debemos obtener el valor de , este valor se obtiene de la tabla , de la siguiente manera:

11. Estimaciones por intervalo. entonces, Esta valor se debe buscar en las tablas para una probabilidad de 1- 0.025=0.975, su valor de z correspondiente es 1.96, así Utilizamos la fórmulas para encontrar el límite inferir (LI) y el límite superior (LS) del intervalo podemos concluir, que la media poblacional estará entre 62.06 y 67.94 con el 95% de confianza.

12. Estimaciones por intervalo. Con uso de Excel El ejemplo anterior también se puede resolver mucho más fácil, utilizando Excel. Utilizando la función INTERVALO.CONFIANZA, la cuál proporciona el margen de error, de la fórmula general para obtener e intervalo de confianza: Estimación puntual ± Margen de error La función INTERVALO.CONFIANZA(alfa, desv_estándar, tamaño) contiene tres campos, alfa se obtiene restando a 1 el coeficiente de confianza, la desv_estándar es la desviación estándar de la población y tamaño es el tamaño de la muestra. Así, para el ejemplo de Excel se tiene: =INTERVALO.CONFIANZA(0.05, 15, 100)=2.9399 El límite inferior sería: 65-2.9399 =62.0601

13. Estimaciones por intervalo. Ejercicio 1. En un experimento llevado a cabo en un departamento de educación física, se encontró que el puntaje medio de resistencia muscular tomado en una muestra aleatoria de 16 alumnos fue de 145. Si se sabe que los puntajes de resistencia muscular están normalmente distribuidos, con una desviación estándar de 40. Construir un intervalo de confianza del 90% para el puntaje promedio verdadero.

14. Estimaciones por intervalo. Proporción poblacional. Para obtener la estimación por intervalo de la proporción poblacional p, se utiliza la fórmula general p ± Margen de error La distribución muestral de p se aproxima mediante una distribución normal si np ≥ 5 y n(1-p) ≥ 5. El margen de error para un intervalo de confianza para la proporción poblacional es

15. Estimaciones por intervalo. Margen de error = Así, la estimación por intervalo de una proporción poblacional es Donde 1-α es el coeficiente de confianza y es el valor de z que deja un área de α/2 en la cola superior de la distribución normal estándar.

16. Estimaciones por intervalo. Ejemplo 2. Se entrevistó a 900 atletas de México para conocer su opinión acerca del apoyo económico que reciben por parte de la federación. En el estudio se encontró que 396 atletas estaban satisfechos con el apoyo económico. Encuentre un intervalo de confianza para la proporción de población con respecto a la satisfacción del apoyo económico que reciben, con un coeficiente de confianza del 95%.

17. Estimaciones por intervalo. Solución: La estimación puntual de la proporción poblacional de atletas satisfechos con el apoyo económico que reciben es 396/900=0.44. Utilizando la fórmula se tiene Para una coeficiente de confianza del 95%, el valor de es de 1.96, calculado previamente.

18. Estimaciones por intervalo. Solución: La estimación por intervalo con una confianza del 95% de la proporción poblacional es de 0.4076 a 0.4724. Empleando porcentajes, se puede decir que entre el 40.47 y el 47.24% de los atletas de México están satisfechos con el apoyo económico que reciben.