A propos des P.E.R. : foire aux idées, foire aux « enseignements »

1. A propos des P.E.R. : foire aux idées, foire aux « enseignements » Maggy Schneider Université de Liège, Belgique INRP, Journées « Ampères », 20 et 21 mai 2010

2. Pour commencer … « Un matin Rabbi David parcourut les rues de la ville en criant : ’’J’ai une réponse, j’ai une réponse, qui a une question ?’’  » Histoire juive

3. La question des questions … … n’est pas nouvelle • Histoire juive en exergue d’une conférence de Bkouche en 82 • « De question en question », série de manuels belges sous la direction de Rouche, dans les années 90 • « Faire des mathématiques : le plaisir du sens » (Bkouche, Charlot, Rouche, 1991) • Les travaux des IREM Courage des didacticiens (Chevallard, …) qui adoptent une posture prescriptive au delà d’un discours descriptif

4. Un propos sur les P.E.R. fermés • Le créneau visé : améliorer « l’ordinaire » des cours de mathématiques en se donnant un minimum de liberté pour interpréter les programmes • Quelques « craintes » sur les dispositifs didactiques plus inhabituels tels que les P.E.R. ouverts et codisciplinaires • Quid d’une ‘solidarité didactique’ au quotidien ?

5. Ai-je participé à des P.E.R ? • OUI : réponse qui n’engage pas à grand’chose en raison de l’actuelle instabilité de ce concept (Chevallard, 2009, EE de Clermont-Ferrand) • Quelques « enseignements » à propos de (? bonnes ?) idées; travaillées en tout cas dans une perspective de longue durée

6. Action, réflexion • Pragmatisme belge : on ne « s’offre pas » forcément des théories didactiques, certains diront qu’on ne « s’en encombre pas » • Nécessité de prendre du recul, en particulier vis-à-vis de ce « qui n’a pas marché » : rôle des théories comme réseaux conceptuels favorisant l’analyse

7. Quelles théories ? • TSD et TAD dans leur solidarité et leur complémentarité • Distinction entre caractère fondamental d’une question et possibilités de dévolution (1ère rencontre « culturelle mimétique ») • Nécessité de plusieurs moments de l’étude et d’une « boucle » entre la 1ère rencontre et l’évaluation • Polarisation sur des praxéologies dont les tâches ont un caractère fondamental • Au delà du formalisme et du vocabulaire de la TAD : posture de « dénaturalisation » des pratiques dominantes et retour à des développements antérieurs

8. Premier exemple : les vecteurs

9. Premier exemple : les vecteurs • Notions de sens, direction et longueur relatives à un repère • A-t-on besoin des vecteurs pour s’orienter ? • Que fera-t-on avec les vecteurs au niveau de scolarité concerné ? Dans le cours de mathématique ? Dans d’autres cours ? • Hiérarchie à établir : faire de la « géométrie calculatoire »

10. Calculer les coordonnées du 4e sommet d’un parallélogramme Stratégie gagnante : yB - yA = yC - yD etxB - xA = xC - xDque l’on résume par B - A = C - D. Premier exemple : les vecteurs

11. Calculer les coordonnées du point C situé par rapport à deux points A et B avec lesquels il est aligné En particulier, le milieu C de AB : C = (A + B) / 2 Premier exemple : les vecteurs

12. Un quadrilatère est un parallélogramme ssi ses diagonales se coupent en leurs milieux Calculs pour aller de B - A = C - D à (A + C) / 2 = (D + B) / 2 et vice versa Premier exemple : les vecteurs

13. La propriété du point de rencontre des médianes d’un triangle Premier exemple : les vecteurs

14. Premier « enseignement » • Cohérence entre la question (le projet) qui introduit le chapitre et les tâches à propos desquelles les élèves seront entraînés et évalués • Se méfier du « Mythe du concret » et de l’illusion du « vécu » des élèves • Equilibre à trouver dans les relations avec d’autres disciplines

15. Evaluer l’aire d’un terrain triangulaire au milieu duquel il y a une mare Tracé d’une maquette sur laquelle les élèves sont autorisés à mesurer Discours tenu : volonté de remplacer progressivement les mesures sur la maquette par des calculs Deuxième exemple : les grandeurs inaccessibles

16. Discours sur les triangles semblables et le souhait de contrôler a priori qu’ils le sont à partir d’un minimum d’informations Jeu de communication présenté comme un artifice didactique : reconnaître si deux reproductions représentent la même parcelle Deuxième exemple : les grandeurs inaccessibles

17. Deuxième « enseignement » • La pertinence de la question mise à l’étude vaut plus que son originalité • Les tâches dévolues aux élèves s’intègrent dans un discours qui situe la portée du projet pour leur rendre « intelligible » et souligne le caractère artificiel éventuel de certains dispositifs didactiques • La question des grandeurs inaccessibles est très générative et permet un brassage de techniques diverses

18. Troisième exemple : transformations vs cas d’égalité des triangles • Questions de professeurs sur l’intérêt d’une approche par les transformations par opposition à une approche via les critères d’isométrie et de similitude • Questions concernant la noosphère. « Très contestés dans les années 60, les cas d’égalité ont disparu depuis la réforme. Ce point nous semble un contresens, même si l’on pense la géométrie en termes de transformations » (rapport Kahane, 2002) « PER » pour professeurs sur des questions épistémologiques et didactiques dans le cadre d’une formation continuée (Cojerem)

19. Instrumentalité des inversions Méthode de transformation par rayons vecteurs réciproques pour construire un cercle tangent à trois cercles donnés

20. Sortir d’une géométrie La concourance des médianes d’un triangle quelconque « découle » de celle des hauteurs Elle peut être démontrée analytiquement en choisissant les points (0,0), (1,0) et (0,1) comme sommets

21. Traiter un cas particulier « générique » au sein d’une même géométrie Le théorème de Pascal : les paires de côtés opposés d’un hexagone inscrit à une conique se rencontrent en des points alignés Extension du cercle aux coniques par projectivité

22. Construire le plus court chemin pour aller de A en B en passant par d Travailler « à une symétrie orthogonale près » Travailler « à une transformation près »

23. Travailler à « une homothétie près » ou, par exemple, « à une symétrie centrale près » en se ramenant au problème du « parallélogramme tronqué » (Chevallard et Matheron) Soit 0 le point d’intersection des deux droites. Tracer 0I. (Robert et Tenaud, 1989) Travailler « à une transformation près »

24. Les constructions géométriques • Une classe de problèmes « faisant P.E.R. » : les « constructions graphiques tronquées » dont la question génératrice est « Comment réaliser une construction graphique exacte définie par des éléments dont certains sont extérieurs à la feuille de dessin ? » • Mais que faire quand on a suffisamment de papier ? • Le Cojerem s’est basé sur une question plus générative encore : « comment construire un objet géométrique satisfaisant certaines contraintes  ? » Constructions géométriques via la méthode des deux lieux (Petersen)

25. Méthode des deux lieux • Tracer un triangle dont on donne les longueurs des trois côtés : Placer les 2 sommets A et B et tracer C à l’intersection de deux cercles de centres respectifs A et B et dont les rayons égalent deux côtés du triangle • « D’abord ramener le problème à la construction d’un seul point. Puis diviser la conditions en deux parties telles que chacune d’elles fournit un lieu géométrique pour le point inconnu; chaque lieu étant soit une droite, soit un cercle » (Polya)

26. Construire un triangle dont on connaît le périmètre et la mesure des angles Travailler à une « similitude » près en laissant tomber la condition relative au périmètre Méthode des deux lieuxétendue à la méthode des figures semblables

27. Construire un triangle dont on donne les longueurs des 3 médianes Modèle des 2 lieux, recherche de 2 lieux pour E, un lieu étant l’image d’un lieu de D par une homothétie Lorsqu’un des lieux cherchés est l’image d’un autre lieu par une transformation

28. Lorsqu’un des lieux cherchés est l’image d’un autre lieu par une transformation

29. Le travail de réflexion sous-jacent • Prise en compte vs exclusion de l’expérimental et de l’idée de mouvement en géométrie • Réflexion sur les limites d’un développement axiomatique à la manière d’Euclide; réplique rigoureuse de Hilbert dans laquelle les critères de congruence restent un élément fondamental • Rôle des transformations dans les problèmes de constructions (Petersen) • Caractérisation des transformations en jeu à partir d’une définition en termes d’invariants et nécessité de considérer les transformations comme affectant le plan entier

30. Le travail de réflexion sous-jacent • Rôle des transformations dans la classification des géométries (programme d’Erlangen de Klein) et retombées en termes d’économie de pensée à un certain niveau d’étude • Etude du caractère transitif du groupe ou caractérisation des orbites d’ensembles privilégiés : cas d’isométrie et de similitude de triangles • Difficultés d’apprentissage des démonstrations basées sur les invariants des transformations

31. Les retombées de ce travail de réflexion • Ecriture d’un P.E.R. de la géométrie au collège et au début du lycée basée sur des choix « éclairés » pas toujours politiquement corrects : • Prendre comme point de départ l’idée des figures superposables et introduire les transformations comme règles de passage d’une figure à une autre superposable • « Redorer le blason » des cas d’égalité et de similitude des triangles comme première méthode de démonstration • Redonner vie aux transformations via la méthode des deux lieux • Professeurs devenus interlocuteurs crédibles • Guide méthodologique utile à la formation; manuel pour l’élève qui n’a pas été un succès commercial

32. Troisième « enseignement » • Les théories didactiques ne fournissent pas toujours les idées pour enseigner • Chaque sujet suppose une réflexion épistémologique et didactique menée à un haut niveau de co-détermination didactique : celui du domaine mathématique. Sinon, la transposition habituelle « naturalisée » fait écran aux nouvelles idées • Partage des théories et de la réflexion entre formés et formateur pour éviter une réception du discours du formateur sur le mode normatif • Distinguer temps d’action et temps de formation

33. Quatrième exemple : les nombres relatifs « Justifier » les règles de multiplication dans les relatifs par le souhait d’avoir une seule formule : P = 3 t P = - 3 t

34. Quatrième « enseignement » : savoir lire (entre les lignes) du programme Programme de 6ème : Organisation et gestion de données. Fonctions • La résolution de problèmes de proportionnalité est déjà travaillée à l’école primaire. […] Elle fait l’objet d’un apprentissage continu et progressif sur les 4 années du collège. […] A l’école primaire , les élèves ont été mis en situation de prendre de l’information à partir de tableaux, de diagrammes ou de graphiques. Le travail se poursuit au collège […] en liaison avec d’autres disciplines • Propriété de linéarité et tableau de proportionnalité en lien avec un contexte

35. Quatrième «  enseignement  » : savoir lire (entre les lignes) du programme Programme de 5ème : Organisation et gestion de données. Fonctions • La résolution de problèmes a pour objectifs […] d’initier les élèves au repérage sur une droite graduée ou dans le plan muni d’un repère, […] • Compléter un tableau de nombres représentant une situation de proportionnalité […] • Il est possible d’envisager, dans une formule, des variations d’une grandeur en fonction d’une autre grandeur mais toute définition de la notion de fonction est exclue. • Utiliser une expression littérale. De nombreux thèmes du programme, notamment dans le domaine des grandeurs et mesures, conduisent à utiliser des expressions littérales (formules) • Activités graphiques : […] repérage dans le plan à relier avec des situations de la vie quotidienne. Le vocabulaire n’est pas un objet d’apprentissage pour lui-même

36. Quatrième «  enseignement  » : savoir lire (entre les lignes) du programme Programme de 5ème : Nombres et Calculs • La notion de nombre relatif est introduite à partir d’un problème qui en montre la nécessité […] Une relation est faite avec la possibilité de graduer entièrement la droite, puis de repérer dans le plan Programme de 4ème : Grandeurs et mesures et résolution de problèmes • Les notions de mouvement uniforme et de vitesse ont été travaillées en classe de 5ème dans le cadre de la proportionnalité. La notion de vitesse en tant que grandeur quotient est abordée pour la 1ère fois en classe de 4ème. • Grandeurs quotients courantes. Calculer des distances parcourues, des vitesses moyennes et des durées de parcours en utilisant l’égalité d = vt

37. En guise de conclusion Pénurie de propositions qui se situent dans la « zone proximale de développement » … des professeurs !