Kómár Péter témavezető: Dr. Vattay Gábor 2008. 11. 29.

1. Klasszikus mechanikai kéttestproblémaés merev test szabad mozgásaállandó pozitív görbületű sokaságon Kómár Péter témavezető: Dr. Vattay Gábor 2008. 11. 29.

2. Az előadás vázlata • Görbült Univerzum • Háromgömb (S3) • Kéttestprobléma S3-on • Számítógépes szimuláció • Merev test mozgása S3-on • Következtetés

3. B A R t I. Görbült Univerzum • Kozmológiai elv • Homogenitás • Izotrópia • Kozmológiai modellek • 3+1 dimenziós sokaságok • Asztrofizikai mérések → görbület  0 ( hiba)

4. I. Görbült Univerzum w H3 R3 x S3 • Sokaság(3+1) = térbeli(3) × időbeli(1) • Homogén és izotróp geometriák: • S3 – szférikus • R3 – euklideszi • H3 – Bolyai-féle • Reprezentáció: z y

5. II. Háromgömb • Definíció: • „A négydimenziós gömb felszíne” • Tulajdonságai: • Minden irányban „körbeér”, főkörök mentén • Térfogata véges (22R3), de nincs határa • Szimmetriái: SO(4)

6. d r1 r2 III. Kéttestprobléma S3-on • Mozgásegyenletek • 4 komponensű vektorok + kényszer • U*(d) = U(r1r2) kölcsönhatási potenciál d: invariáns távolság: • Hamilton-elvből: (és ugyanez 12 cserével)

7. III. Kéttestprobléma S3-on r2 D Q r1 • Tömegközépponti és relatív koordináta: • Kényszerek (Q, D) • Mozgásegyenletek (Q, D) • DE nincs Galilei-invariancia Nem szeparálható a mozgás! • Perturbációs közelítés: • együttmozgó koordinátarendszer • kis méret, gyors belső forgás  tehetetlenségi erők 

8. , ahol IV. Számítógépes szimuláció • Gravitációs kölcsönhatás: • Algoritmus: • Cél: Negyedrendű Runge-Kutta max. 5%-os energia hibával Görbület + transzláció → TKP mozgás perturbációja

9. IV. Számítógépes szimuláció D egyenlítő Belső forgás Transzláció É • TKP mozgása: • Speciális eset: • TKP pályasugara, rTKP(R) S2-re korlátozott mozgás

10. V. Merev test mozgása S3-on • 4D-s forgómozgás: • Pozíció: • Duális szögsebesség: • Duális tehetetlenségi nyomaték: 3D-s merev test S3-on = 4D-s m. t. egy ponton rögzítve

11. V. Merev test mozgása S3-on • Főtengely rendszer: • Euler-egyenletek: diagonalizálható „diagonalizálható” (a. és b. tengelyek síkjában történő forgás) Impulzusmomentummegmaradás: Főtengely rendszerbeli derivált (6 csatolt, elsőrendű, nemlineáris diff. egy. * 6 komponensére)

12. V. Merev test mozgása S3-on       • Euler-szögek: • SO(4) paraméterezése 6 szöggel: • 4D + 3D + 2D polár rendszer egymásban • Szimmetrikus merev test mozgása S3-on: • „Szimmetria”: 1= 2= 3 4 • 2 Euler-szög változik, egyenletesen Keringés + Forgás

13. VI. Következtetés • Perturbációs közelítés: • Számítógépes szimuláció: • Merev test: A TKP pályáját eltérítő „tehetetlenségi” erő. S2-re korlátozott esetben a TKP egy <R sugarú körön mozog. Szimmetrikus eset: Forgás és keringés, egyenletesen. Univerzalitás:(Kis méretű pontrendszerekre)Belső paraméterek → TKP mozgás perturbációja(belső forgás) (oldalirányú eltérítés)

14. Összefoglalás • Görbült Univerzum • Háromgömb • Kéttestprobléma S3-on • Számítógépes szimuláció • Merev test mozgása S3-on • Következtetés (tehetetlenségi erők) (rTKP , R) (4D-s forgás, Főtengely renszer, Euler-egyenletek, Euler-szögek, Szimmetrikus eset) (univerzalitás)

15. Köszönöm a figyelmet!

16. II. Háromgömb R (,) O (kép: Claudio Rocchini) • Szférikus koordináták: Jacobi-determináns:

17. III. Kéttestprobléma S3-on J(3) p S3 • Megmaradó mennyiségek: • Energia: (időeltolás) • 4D-s impulzusmomentum: (SO(4)) pl.: (0,0,0,R) helyen lévő pontrendszerre: Rotáció Transzláció

18. IV. Számítógépes szimuláció Kepler-törvény: = 2/3 • Belső mozgás: • Relatív távolság szélső értékei (Dmax, Dmin) • Közöttük eltelt idő (T/2) • Az  kitevő R függése: (minden Ek és Eb –re)