Przekształcenie Hilberta

1. Przekształcenie Hilberta • David Hilbert • Przestrzeń euklidesowa i przestrzeń Hilberta • Definicja przekształcenia Hilberta • Przekształcenie Hilberta w dziedzinie częstotliwości • Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu • Transformaty Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

2. Przekształcenie Hilberta • Sygnał analityczny • Obwiednia, kąt fazowy i częstotliwość sygnału • Wykres wskazowy sygnału • Sygnał wąskopasmowy • Filtracja sygnału modulacji amplitudy • Sygnały przyczynowe • Podsumowanie "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

3. David HILBERT (1862 - †1943) Matematyk niemiecki, profesor uniwersytetu w Getyndze. Autor prac z teorii liczb, równań różniczkowych i całkowych, rachunku wariacyjnego, logiki matematycznej, topologii oraz analizy funkcjonalnej (przestrzeń Hilberta). Na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu (1900) przedstawił sławne do dzisiaj 23 problemy, które w nadchodzącym wieku powinny zostać rozwiązane (obecnie 17 problemów jest rozwiązanych, 3 nadal są otwarte, 3 zostałyuznane za nieciekawe). Hilbert głęboko wierzył, że w matematyce nie ma miejsca dlaignoramus et ignorabimus (nie wiemy i nie będziemy wiedzieć), a więc nieistnieje możliwość, że coś na zawsze pozostanie nieznane. Wiarę Hilberta zniszczył Kurt Gödel, który udowodnił, że dla każdej teorii aksjomatycznej można zbudować takie zdanie, którego prawdziwości lub prawdziwości jego negacji nie można udowodnić. Hipoteza o nierozstrzygalności jest uznawana za jeden z najgłębszychwyników w historii myśli ludzkiej. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

4. David HILBERT Uniwersytet w Getyndze, na którym w połowie XIX wieku nauczał "książę matematyków" Carl F. Gauss, miał szczęście do wielkich uczonych. W 1886 roku katedrę matematyki objął tam Felix Klein oraz zapoczątkował odbywające się co tydzień seminaria, w czasie których dyskutowano o najnowszych wynikach. Hilbert był "czystym" matematykiem i pogardzał "technikami", którzy dążyli do praktycznego wykorzystania odkryć matematycznych. Felix Klein natomiast zawsze interesował się zastosowaniami matematyki w technice. Raz na rok Klein spotykał się z inżynierami i przemysłowcami. Pewnego razu zdarzyło się, że w ostatniej chwili przed spotkaniem Klein zachorował i rozpaczliwie szukał zastępstwa. Hilbert zgodził się zastąpić Kleina, który solennie mu przykazał wypowiedzenie przychylnej opinii na temat związków matematyki z techniką. Przemówienie Hilberta było dość lakoniczne: Szanowni panowie - matematyka i technika..., matematyka i technika..., matematyka i technika są w najlepszej zgodzie teraz i pozostaną także w przyszłości, ponieważ - proszę panów - nie mają one niczego z sobą wspólnego. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

5. Felix Klein (1862 - †1943) Butelka Kleina Butelka Kleina jest przykładem powierzchni bez orientacji, gdyż nie można wskazać co jest jej wnętrzem, a co zewnętrzem. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

6. Przestrzeń euklidesowa i Hilberta Odległość pomiędzy punktamiw przestrzeni euklidesowej: Odległość pomiędzy punktami w przestrzeni euklidesowej możnawyznaczyć korzystając z pojęcia iloczynu skalarnego: "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

7. Właściwości iloczynu skalarnego Przemienność Rozdzielność - dodawania Definicja iloczynuskalarnego dla funkcjiwg. Hilberta Skalowanie Zerowanie "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

8. Przestrzeń euklidesowa i Hilberta Przestrzeń Hilberta - przestrzeń w której odległość mierzymy za pomocą iloczynu skalarnego. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

9. Zagadnienie najlepszej aproksymacji funkcji w przestrzeni Hilberta Szereg Fouriera "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

10. Definicja przekształceniaHilberta sygnał w kwadraturze Filtr Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

11. 1 Definicja przekształceniaHilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

12. Przekształcenie Hilbertaw dziedzinie częstotliwości "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

13. Przekształcenie Hilbertaw dziedzinie czasu "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

14. Przekształcenie Hilbertaw dziedzinie czasu "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

15. Transformaty Hilberta Sygnał x(t) jest sygnałem dolnopasmowym o szerokości widma g < 0. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

16. 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 2t/T 1 -3 -2 -1 0 2 3 -1.5 -2 Transformaty Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

17. Sa(Wt) H{Sa(Wt)} Transformaty Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

18. Sygnał analityczny "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

19. Sygnał analityczny "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

20. rodzina parabol obwiednia Obwiednia sygnału Obwiednia jest krzywą styczną do krzywychnależących do rodziny krzywych. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

21. Obwiednia sygnału Obwiednia sygnału jest krzywą ograniczającą inną krzywą lub rodzinę krzywych. f0/fm = 10 Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0t obwiednia e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

22. Obwiednia sygnału Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0t f0/fm = 100 obwiednia e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

23. obwiednia e(t) Obwiednia sygnału Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0t f0/fm = 1000 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

24. Obwiednia sygnału Definicja obwiedni e(t): "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

25. Obwiednia sygnału (zdudnianie częstotliwości) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

26. Obwiednia sygnału fonii stereo "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

27. Pewna właściwość obwiedni Sygnał: jest sygnałem analitycznym, a więc: "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

28. Obwiednia generatorem sygnału Wartości sygnału mogą być wyznaczone poprzezwartości obwiedni sygnału (obwiednia generuje sygnał). "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

29. Detektorobwiedni Obwiednia generatorem sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

30. Obwiednia generatorem sygnału Detektorobwiedni "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

31. Kąt fazowy sygnału Definicja kąta fazowego (t): "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

32. Częstotliwość chwilowa sygnału Definicja częstotliwości chwilowej (t): "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

33. Częstotliwość chwilowa sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

34. Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

35. Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

36. T Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska Częstotliwość fourierowska pokrywa się z częstotliwościąchwilową tylko wtedy, gdy szybkość zmian tej ostatniejjest niewielka (przez pewien okres czasu jesteśmy w stanie obserwować drganie harmoniczne). "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

37. Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska T 30T "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

38. 0 A0  Wykres wskazowy sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

39. 0 e(t)  Wykres wskazowy sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

40. x+(t) e(t) (t) Wykres wskazowy sygnału "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

41. W Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

42. Sygnał wąskopasmowy Stereofonia FM: B = 200 kHz, f0 100 MHz, B/f0= 0,002 CATV: B = 8 MHz, f0 500 MHz, B/f0= 0,016 SAT TV: B = 40 MHz, f0 4 GHz, B/f0= 0,01 Transmisja światłowodowa: III okno 1550 nm, szerokośćokna 30 nm, B/f0 = 0,02 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

43. Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

44. Sygnał wąskopasmowy Składowa synfazowa (I) oraz kwadraturowa (Q) I - inphase Q - quadrature "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

45. Sygnał wąskopasmowy Widma składowej synfazowej xI(t) orazkwadraturowej xQ(t) są dolnopasmowe. Widma składowej kwadraturowej xQ(t) znika,gdy widmo sygnału X() jest osiowosymetrycznewzględem prostej  = 0. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

46. Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

47. Dolnopasmowa reprezentacjasygnału wąskopasmowego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

48. x(t) xQ(t) xI(t) t = const Wykres wskazowy sygnału wąskopasmowego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

49. 2 1 Wykres wskazowy gaussowskiegoszumu wąskopasmowego n = 10 n = 100 n = 1000 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir

50. Realizacja gaussowskiego szumu wąskopasmowego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir