Programação não-linear (aula 2)

1. Profa Ana Carla Bittencourt Reis Programação não-linear(aula 2)

2. Exemplos de aplicações • 1- PROBLEMA DO MIX DE PRODUTOS COM ELASTICIDADE DE PREÇOS Objetivo: determinar o mix ótimo de níveis de produção para os produtos de uma empresa, dadas as limitações sobre os recursos necessários para fabricar esses produtos, de modo a maximizar o lucro total da empresa. *Em alguns casos há um lucro unitário fixo associado a cada produto, o que implica em uma FO linear Maio/2010 2 Profa Ana Carla Bittencourt Reis

3. p(x) Preço c custo unitário Demanda x 1- PROBLEMA DO MIX DE PRODUTOS COM ELASTICIDADE DE PREÇOS • Na curva preço-demanda p(x) é o preço necessário para se vender x unidades • Se o custo unitário para produzir e distribuir é fixado em “c” o lucro da empresa é obtido pela produção e venda de “x” unidades, conforme a função não linear P(x): • P(x)=xp(x)-cx Maio/2010 3 Profa Ana Carla Bittencourt Reis

4. 1- PROBLEMA DO MIX DE PRODUTOS COM ELASTICIDADE DE PREÇOS • Se cada um dos n produtos da empresa tiver uma função de lucro similar, Pj(xj), para produzir e vender xj unidades do produto j (j=1,2,3,...,n), então a FO é uma soma de funções não-lineares: • Outra razão para o surgimento de não-linearidade na FO é o custo marginal para produzir outra unidade do produto • Pode haver não-linearidade nas restrições, especialmente quando o emprego de um recurso não for estritamente proporcional aos níveis de produção Maio/2010 4 Profa Ana Carla Bittencourt Reis

5. 1- PROBLEMA DO MIX DE PRODUTOS COM ELASTICIDADE DE PREÇOS P(x) Lucro Quantidade x Maio/2010 5 Profa Ana Carla Bittencourt Reis

6. 2- PROBLEMA DE TRANSPORTE COM DESCONTOS NOS CUSTOS DE TRANSPORTE PARA GRANDES VOLUMES Objetivo: determinar um plano ótimo para o transporte de mercadorias de várias origens para vários destinos, dadas as restrições de oferta e demanda, de modo a minimizar o custo total de transporte. • Em alguns casos os custos por unidade transportada não são fixos: são dados descontos por volume • Desta forma, o custo marginal de transportar mais uma unidade pode seguir o padrão a seguir: Maio/2010 6 Profa Ana Carla Bittencourt Reis

7. 6,5 5 4 Custo marginal 3 0,6 1,5 2,7 4,5 Volume remetido 2- PROBLEMA DE TRANSPORTE COM DESCONTOS NOS CUSTOS DE TRANSPORTES PARA GRANDES VOLUMES • Esta função representa o custo marginal para remessa Maio/2010 7 Profa Ana Carla Bittencourt Reis

8. 2- PROBLEMA DE TRANSPORTE COM DESCONTOS NOS CUSTOS DE TRANSPORTES PARA GRANDES VOLUMES O custo resultante, C(x), de se remeter x unidades é dado então por uma FNL 18,6 13,2 Custo total 8,4 Custo marginal = 5 3,9 0,6 1,5 2,7 4,5 Volume remetido Maio/2010 8 Profa Ana Carla Bittencourt Reis

9. 2- PROBLEMA DE TRANSPORTE COM DESCONTOS NOS CUSTOS DE TRANSPORTES PARA GRANDES VOLUMES • Se cada combinação origem-destino tiver uma função de custo em que o custo de transportar xij unidades da origem i (i=1,2,3,...,m), para o destino j (j=1,2,3,...,n), é dado por uma função não-linear Cij(xij), então a função objetivo global é minimizada por: • Mesmo com essa FO não-linear, as restrições deste problema geralmente são lineares Maio/2010 9 Profa Ana Carla Bittencourt Reis

10. 3- SELEÇÃO DE CARTEIRAS COM TÍTULOS DE ALTO RISCO Foco: retorno esperado e risco associado Objetivo: determinar uma carteira que, sob certas hipóteses, forneça uma relação ótima entre esses dois fatores. Suponha que sejam consideradas n ações/títulos para inclusão nesta carteira e façamos que as variáveis de decisão xj (j=1,2,3,...,n) representem o número de cotas das ações j a serem incluídas. Estipula-se que µj e σjj sejam, respectivamente, a média e a variância, estimadas, do retorno sobre cada cota da ação j, em que σjj mede o risco desta ação. Para i=1,2,3,...,n (i≠j), façamos que σijrepresente a covariância do retorno sobre cada ação i e j. Maio/2010 10 Profa Ana Carla Bittencourt Reis

11. 3- SELEÇÃO DE CARTEIRAS COM TÍTULOS DE ALTO RISCO Como seria difícil estimar todos os valores σij, parte-se de certas hipóteses sobre o comportamento do mercado para que se possa calcular σij diretamente de σii e σjj. A seguir, o valor esperado R(x) e a variância V(x) do retorno total de toda a carteira são: • V(x) mede o risco associado à carteira Maio/2010 11 Profa Ana Carla Bittencourt Reis

12. b1 b2 ≤ . . . = ≥ bj 3- SELEÇÃO DE CARTEIRAS COM TÍTULOS DE ALTO RISCO V(x) é utilizada como FO a ser minimizada e R(x) é imposta como restrição, de forma que não seja menor que um retorno mínimo esperado aceitável. Dificuldade: é difícil escolher L de modo a obter a melhor relação custo-benefício entre R(x) e V(x). Onde: L é o retorno mínimo esperado aceitável Pj é o preço para cota de ação j B é o volume de dinheiro previsto para carteira Maio/2010 12 Profa Ana Carla Bittencourt Reis

13. EXERCÍCIO: Formule um modelo de PNL para cada um dos seguintes problemas: Problema do mix de produtos com elasticidade de preços Problema de transporte com descontos nos custos de transportes para grandes volumes Maio/2010 13 Profa Ana Carla Bittencourt Reis