O Modelo de Interação do Multiplicador e Acelerador de Samuelson (1939)

1. O Modelo de Interação do Multiplicador e Acelerador de Samuelson (1939) Prof. Giácomo Balbinotto Neto UFRGS

2. Bibliografia Chiang (1982, cap. 14) Dowling (1981, cap. 20) Burda & Wyplosz (2005, cap. 14.3.2) Samuelson, P. (1939). Interactions Between the Multiplier Analysis and the Principles of Acceleration. Review of Economics Statistics: 75-78.

3. O Modelo de Interação do Multiplicador e Acelerador de Samuelson (1939) Maybe the most famous second-order difference equation in economics is the one associated with Samuelson’s multiplier accelerator model. Thomas Sargent (1979, p. 184)

4. O Modelo de Interação do Multiplicador e Acelerador de Samuelson (1939) O modelo de Samuelson (1939)[Samuelson Oscilator] nos mostra, de modo simples, como a interação entre o multiplicador e o acelerador é capaz de gerar flutuações cíclicas endogenamente. Paul Samuelson credits Alvin Hansen rather than Harrod for the inspiration behind his seminal 1939 contribution. The original Samuelson multiplier-accelerator model (or, as he belatedly baptised it, the "Hansen-Samuelson" model) relies on a multiplier mechanism which is based on a simple Keynesian consumption function with a Robertsonian [http://cepa.newschool.edu/het/essays/multacc/samacc.htm]

5. A Estrutura do Modelo - A renda nacional Yt é composta por três fluxos de gastos: Ct – consumo; It – investimento; Gt – gastos do governo.

6. A Estrutura do Modelo O consumo corrente [Ct] é assumido ser uma função da renda do período anterior [Yt-1]. Aqui assumimos que Ct seja estritamente proporcional a Yt-1. O investimento é assumido ser do tipo induzido, sendo uma função da tendência vigente dos gastos de consumo. É através deste investimento induzido que o princípio da aceleração entra no modelo de Samuelson (1939). Os gastos do governo [Gt] são assumidos serem exógenos. Aqui, por simplificação, supomos que sejam constantes e iguais a Go.

7. A Estrutura do Modelo: As Equações Yt = Ct + It + Go Ct = Yt-1 , 0 <  < 1 - propensão marginal a consumir It = (Ct – Ct-1) ,  > 0 - é o acelerador

8. A Estrutura do Modelo: As Equações Dada a equação do consumo, pode-se expressar a equação do investimento como: It = (Yt-1 –  Yt-2) =  (Yt-1 – Yt-2)

9. A Estrutura do Modelo: As Equações Substituindo a equação do investimento e a equação do consumo na equação da renda, obtemos: Yt -  (1 +) Yt-1 + Yt-2 = Go ou Yt+2 -  (1 +) Yt+1 + Yt = Go

10. A Estrutura do Modelo: As Equações Yt+2 -  (1 +) Yt+1 + Yt = Go esta é uma equação em diferenças de segunda ordem com termo e coeficientes constantes, que pode ser resolvida encontrado-se a integral particular e a função complementar. [cf. Chiang (1982, cap. 17)] A solução deste modelo consiste em achar a integral particular e a função complementar.

11. A Solução do Modelo A integral particular representa o nível de equilíbrio intertemporal do Yp. A função complementar, Yc, especifica, para cada período de tempo, o desvio em relação ao equilíbrio.

12. A Solução do Modelo:#1 – A Integral Particular A integral particular, que em termos do modelo de Samuelson (1939) equivale ao nível de equilíbrio da renda no longo prazo é resolvido estabelecendo-se que: Yt = Yt+1 = Yt+2 = Yp

13. A Solução do Modelo:#1 – A Integral Particular A integral particular é dada por: Yp = Go/ [1-  (1 + ) + ] = Go/(1- ) [1/ /(1- )] é simplesmente o multiplicador keynesiano simples que prevaleceria na ausência do investimento induzido. Assim, [Go/(1- )] – o gasto exógeno vezes o multiplicador da renda, nos dá a renda de equilíbrio do modelo, no sentido de que este nível de renda satisfaz a condição de equilíbrio [renda = demanda agregada].

14. A Solução do Modelo:#2 – A Função Complementar e a Estabilidade do Equilíbrio A equação [Yt+2 -  (1 + ) Yt+1 + Yt = Go] possui a seguinte equação característica: 2 b -  (1 + )b +  = 0 a qual pode ser resolvida para duas raízes b1 e b2. Contudo, visto que a convergência ou divergência dependem dos valores de b1 e b2, que por sua vez dependem dos valores dos parâmetros  e , as condições para convergência ou divergência devem ser expressas em termos dos valores de  e .

15. A Solução do Modelo:#2 – A Função Complementar e a Estabilidade do Equilíbrio A resolução da equação de segundo grau é dada pela fórmula de Bhaskara: 2½ r1,r2 = b  (b – 4ac) /2a

16. A Solução do Modelo:#2 – A Função Complementar e a Estabilidade do Equilíbrio As duas raízes b1 e b2 são sempre relacionadas entre si pelas seguintes equações: b1 + b2 =  (1 + ) b1.b2 = 

17. A Solução do Modelo: #2 – A Função Complementar e a Estabilidade do EquilíbrioCaso #1 – Raízes Reais e Distintas Dado que  e  são ambos positivos, isto implica que b1 e b2 são também positivos. Como  (1+) > 0, temos que b1 e b2 precisam ser positivos. Isto implica que, no caso #1, a trajetória temporal de Yt não admite oscilações.

18. Caso #1 – Raízes Reais e Distintascombinações possíveis dos valores de b1 e b2 (i) 0 < b2 < b1 < 1   <1 ;  < 1; (ii) 0 < b2 < b1 = 1   = 1 (iii) 0 < b2 < 1 < b1  > 1 ; (iv) 1 = b2 < b1  <1 ;  < 1; (v) 1 < b2 < b1   <1 ;  > 1

19. Caso #1 – Raízes Reais e DistintasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2e suas implicações Para a situação (i), onde b1 e b2 têm, ambos, valores fracionários e positivos, o produto (1-b1)(1-b2) é positivo. Isto pode ser escrito como: 1-b1-b2 + b1b2 = 1 -  (1+) +  = 1 -  Isto por sua vez implica que  < 1, que é consistente com a especificação do modelo.

20. Caso #1 – Raízes Reais e DistintasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2e suas implicações Contudo, as possibilidades (ii), (iii) e (iv) violam, todas, a especificação do modelo, pois implicam num valor de  1. Assim, elas devem ser eliminadas pois não satisfazem, do ponto de vista teórico, as exigências estabelecidas no modelo. [cf. Chiang (1982,p.516)]

21. Caso #1 – Raízes Reais e DistintasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2e suas implicações Já a possibilidade (v) é admissível do ponto de vista teórico. Neste caso temos que b1 e b2 são ambas maiores do que 1; portanto, o produto (1-b1)(1-b2) = 1- , sendo o produto de dois termos negativos, é novamente positivo, implicando que  < 1. Assim, para o caso #1, temos duas possibilidades teóricas plausíveis.

22. Caso #1 – Raízes Reais e DistintasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2e suas implicações Na possibilidade (i) – que envolve raízes fracionárias, temos que a trajetória temporal gerada será convergente em relação a Y. Já na possibilidade (v), onde as raízes são maiores que 1, obtemos uma trajetória temporal divergente. No que se refere aos valores de  e , a questão da convergência ou divergência depende de se  < 1 ou  > 1, pois  = b1b2 é menor (maior) do que a unidade quando b1 e b2 são ambos frações positivas (maiores do que 1).

23. Caso #2 – Raízes RepetidasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2e suas implicações As raízes são iguais a b = [(1+)/2] com sinal positivo porque  e  são positivos. Portanto, temos que, novamente, não são geradas oscilações neste caso. O valor de b gera três possibilidades teóricas: (vi) 0 < b < 1   <1 ;  < 1; (vii) b = 1   = 1 (viii) b > 1   > 1 ;  > 1

24. Caso #2 – Raízes RepetidasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2e suas implicações Na possibilidade (vi), b é uma fração positiva, o que implica que: 2 2 (1-b) = 1 – 2b+ b = 1 - [(1+)] +  = 1 -  > 0   <1 2 Na possibilidade (viii) temos que (1-b), temos que  > 0. Por fim, quando b=1, na possibilidade (vii), temos que: 2 (1-b) = 0 , de modo que =1, o que viola a especificação do modelo, indicado que ela não é teoricamente plausível e deve ser eliminada.

25. Caso #2 – Raízes RepetidasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2e suas implicações O caso # 2 (de raízes repetidas) gera dois casos teoricamente admissíveis – as possibilidades (vi) e (viii). Na possibilidade (vi) é gerada uma trajetória temporal convergente, ao passo que na possibilidade (viii) – gera-se uma trajetória divergente.

26. Caso #3 – Raízes complexasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2 e suas implicações No caso de raízes complexas, temos uma flutuação escalonada (visto que estamos lidando com um modelo com equações a diferenças) que apresenta ciclos econômicos endógenos. Neste caso temos que buscar o valor absoluto de: 1/2 R = (a) para verificar se a trajetória é convergente ou divergente.

27. Caso #3 – Raízes complexasAs combinações possíveis dos valores de b1 e b2 e suas implicações O modelo gera três possibilidades teóricas para este caso, onde: ½ R = () (ix) R < 1   <1 (x) R = 1   = 1 (xi) R > 1   > 1

28. Resumo dos Casos

29. Resumo dos Casos Se as raízes características forem complexas conjugadas, a trajetória no tempo oscilará, isto é, teremos ciclos econômicos regulares.

30. Resumo Gráfico dos Resultados  2  = [4/(1+) ]  = 1 

31. Sites Recomendados http://cepa.newschool.edu/het/essays/multacc/samacc.htm http://www.eumed.net/cursecon/textos/samuelson/index.htm http://www.econlib.org/library/Enc/bios/Samuelson.html

32. Curiosidade Bhaskara é o autor de um dos mais importantes livros de história da Matemática que tem o nome de sua única filha Lilavati. Conta a lenda que a única maneira de uma mulher ter uma alma era através do casamento, mas por causa de um incidente isto não foi possível, foi quando Bhaskara resolveu honrar a filha dando-lhe uma segunda chance. Escreveu um livro e deu o nome de Lilavati. Um casamento teria dado a Lilavati uma alma, mas o amor de Bhaskara pela filha deu a ela a eternidade. Este é o mundo que rodeia estes homens, um mundo de mistérios, descobertas, paixões e magia.

33. FIM Prof. Giácomo Balbinotto Neto UFRGS