INTRODUCCIÓN A FUNCIONES

1. INTRODUCCIÓN A FUNCIONES ¡¡Llegó el momento de estudiar!!

2. PULSE EN LOS CONTENIDOS 1 2 Sistema de coordenadas Coordenadas en el plano 4 3 Relación dada por gráficas Relación dada por tablas 5 6 Relación dada por formulas Idea de función 7 Representación gráfica de funciones 8 Función lineal 10 Funciones cuadráticas Funciones afines 9 12 11 Funciones de proporcionalidad inversa Resolución de problemas

3. CONTENIDO Eje de ordenadas Origen Eje de abscisas Coordenadas en el plano Este plano es el de una ciudad. Observa: – La catedral está en el punto (1, 3). – La alcaldía en el punto (4, 1). – El jardín botánico en el punto (7, 2). Para situar un punto en el plano se necesitan dos rectas perpendiculares que se llaman ejes de coordenadas. El punto de corte de los ejes se llama origen. Cualquier punto tiene dos coordenadas. • La primera se mide sobre el eje horizontal o de abscisas; se llama abscisa del punto. O • La segunda se mide sobre el eje vertical o de ordenadas; se llama ordenada del punto.

4. Sistema de coordenadas Tomamos una cuadrícula y trazamos los ejes de coordenadas. Se tendrá: Eje de ordenadas I cuadrante II cuadrante Eje de abscisas O Origen III cuadrante IV cuadrante

5. Sistema de coordenadas Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro cuadrantes. Y • Los puntos del primer cuadrante tienen abscisa y ordenada positivas. Segundo cuadrante Primer cuadrante • Los del segundo cuadrante tienen abscisa negativa y ordenada positiva. (– , +) (+, +) • Los del tercer cuadrante tienen abscisa y ordenada negativas. O X Tercer cuadrante Cuarto cuadrante • Los del cuarto cuadrante tienen abscisa positiva y ordenada negativa. (– , – ) (+, – )

6. CONTENIDO O Sistema de coordenadas Cada punto del plano se designa por un par ordenado de números que se llaman coordenadas del punto. El primer número se llama abscisa; el segundo, ordenada. Así: A (4, 1); B (-2, 1); C (0, 5); D (-3, -4); E (5, -5) C(0, 5) B(-2, 1) A(4, 1) Las abscisas positivas están a la derecha del origen. Las negativas, a la izquierda. Las ordenadas positivas están por encima del origen. Las negativas, por debajo. E(5, -5) D(-3, -4)

7. Relación dada por tablas Una función puede darse mediante una tabla. Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses). A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. (2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm. (6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm. La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

8. CONTENIDO Relación dada por tablas El nivel de agua que se alcanza en un recipiente depende del tiempo que el grifo esté goteando. Esta dependencia o relación se expresa en la siguiente tabla: A la variable tiempo se le llama variable independiente, y a la variable nivel de agua, variable dependiente. La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una tabla.

9. Cuando llevan 100 km recorridos es cuando están a mayor altitud. Relación dada por gráficas En una etapa de la vuelta ciclista, a cada distancia del punto de salida le corresponde una determinada altitud. Esta dependencia o relación se expresa por la siguiente gráfica: A la variable kilómetros recorridos se le llama variable independiente, y a la variable altura en metros, variable dependiente. La dependencia entre dos variables puede expresarse mediante una gráfica.

10. CONTENIDO Relación dada por gráficas Una función puede darse mediante una gráfica. Ejemplo: En la gráfica siguiente se da el consumo de gasolina de un coche según la velocidad a la que circula. Si el coche va a 130 km/h, consume, aproximadamente, 8 litros cada 100 km El consumo mínimo se consigue a 60 km/h: punto (60, 4) El consumo de gasolina depende (o estáen función) de la velocidad del coche.

11. CONTENIDO l cm 3 cm 2 cm 1 cm l 2 cm2 9 cm2 4 cm2 1 cm2 Relación dada por formulas Si conoces el lado de un cuadrado puedes hallar su área. Lado S = l 2 A cada valor del lado le corresponde un área. El área es función del lado: S = l 2 Área A la variable lado l se le llama variable independiente, y a la variable área, variable dependiente.

12. Idea de función Consideremos otra relación dada por una fórmula: y = 2x +1 Si x vale -2, y = 2·(-2) +1 = -3. Par (-2, -3) Las relaciones de este tipo se llaman funciones. Si x vale -1, y = 2·(-1) +1 = -1. Par (-1, -1) Si x vale 2, y = 2·2 +1 = 5. Par (2, 5) Observa que a cada número x le corresponde un único número y. El número ydepende del valor dado a x. O también: y está en función de x. En una función, la correspondencia entre las variables debe ser única A x se le llama variable independiente. En este caso puede tomar cualquier valor A y se le llama variable dependiente. Toma valores que dependen de la x: y = 2x +1

13. CONTENIDO x es la variable independiente f(x) es la variable dependiente Idea de función • Función: es una relación o correspondencia entre dos magnitudes, de manera que a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda, que llamamos imagen o transformado. • Variable independiente: la que se fija previamente. • Variable dependiente: la que se deduce de la variable independiente. La fórmula f(x) = 3x2 + 1 define una función. f(x) = 3x2 + 1 Fijada la variable independiente, por ejemplo x = 5, el valor que toma la variable dependiente es f(5) = 3 · 52 + 1 = 76. (La imagen de 5 es 76; y es única, pues la operación 3 · 52 + 1 es única.) Si x = 0, f(0) = 1. Si x = 1, f(1) = 4. Si x = –2, f(–2) = 13. En toda función a cada valor de la variable independiente le corresponde un solo valor de la variable dependiente.

14. Representación gráfica de funciones Ejemplo: La fórmula que expresa el área de un cuadrado en función de su lado es S = l 2 Para representarla gráficamente: Primero: formamos la tabla de valores Segundo: representamos los pares asociados, uniendo los puntos. (4, 16) (3, 9) (2, 4)

15. Representación gráfica de funciones El precio del revelado de un carrete de 36 fotos es de 1,50 bolivianos y por cada foto cobran 0,35 bolivianos. Representa la gráfica de esta función. Ejemplo: Segundo: representamos los pares asociados. Primero: formamos la tabla de valores Variable dependiente (En este caso no tiene sentido unir los puntos: no se revelan fracciones de fotos.) Variable independiente

16. Representación gráfica de funciones La planta de Macinto ha ido creciendo con el tiempo según se indica en la tabla: Para representarla gráficamente: representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas y obtenemos distintos puntos de la gráfica. (6, 26) (2, 11) Uniendo los puntos se obtiene la gráfica de la función.

17. CONTENIDO Representación gráfica de funciones Consideremos la función f que asigna a cada número entero el doble más 1. Es decir, f(x) = 2x + 1. Para representarla gráficamente: 1. Formamos la tabla de valores. 2. Representamos los pares de valores sobre unos ejes de coordenadas (2, 5) O En este caso no se pueden unir los puntos ya que la función está definida únicamente para los números enteros. (–3, –5)

18. Función lineal Ejemplo: Si el precio de un kilo de naranjas es de 1,2 euros: (a) forma una tabla que relacione peso con precio. (b) representa la gráfica de la función asociada. Multiplicando por 1,2 el número de kilos, se tiene: Trazando los pares (1, 1,2), (2, 2,4), … (7, 8,4), se tiene: La fórmula de esta función es: y = 1,2x Las funciones cuyas gráficas son rectas que pasan por el origen se llaman funciones lineales o de proporcionalidad directa

19. x y x y x y x y Función lineal Vamos a representar gráficamente otras funciones lineales. Representa las siguientes funciones: a) y = x; b) y = –5x; c) y = 2x ; d) y = –x y = – x y = 5x 1 5 4 – 4 –1 –5 –3 3 y = 0,2x y = 2x 1 2 0 0 2 4 5 1

20. CONTENIDO Peso en kg Precio por kg en Bs. Total en Bs. 7 6 5 4 3 2 1 1,5 1 0,5 Función lineal Al comprar en el supermercado un trozo de queso nos hemos fijado en la etiqueta del paquete que reproducimos: 0,820 5,12 4,20 Las magnitudes precio y peso son directamente proporcionales. Si x es el peso en kg, e y el precio, la expresión que da el precio en euros es y = 5,12x. Bolivianos y = 5,12x Calculamos valores, representamos y unimos los puntos. Las funciones se la forma y = mx se llaman funciones lineales. Son rectas que pasan por el origen. · m es la pendiente o inclinación de la recta. Peso (kg)

21. x y x y x y x y Funciones afines Representa las siguientes funciones: a) y = x +1 ; b) y = x – 3; c) y = 2x +3; d) y = 2x – 4 y = x + 1 y = x – 3 0 –3 0 1 4 1 3 4 y = 2x + 3 y = 2x – 4 0 –4 0 3 3 2 –3 –3

22. CONTENIDO 24 18 12 6 400 800 1200 O Funciones afines Cuando un espeleólogo se adentra hacia el interior de la tierra, la temperatura aumenta con arreglo a la siguiente fórmula: t = 0,01 d + 15, (t es la temperatura en ºC; d, la profundidad en m) Formamos la tabla de valores: Representamos gráficamente la función: t = 0,01d + 15 Temperatura (ºC) Las funciones de la forma y = mx + n (n  0) se llaman funciones afines. Son rectas que no pasan por el origen. · m es la pendiente o inclinación de la recta. ·n es la ordenada para x = 0, y se llama ordenada en el origen. Profundidad (m)

23. 0 5 10 15 20 Funciones cuadráticas Con una cuerda de 40 cm se pueden formar distintos rectángulos. ¿Cuánto valdrá su área? Perímetro: 2x + 2h = 40 x + h = 20 h = 20 – x h Área: A = xh = x(20 – x) A = 20x – x2 x Formamos la tabla de valores: (al área le llamamos y) Representamos los pares obtenidos: Unimos los puntos y se obtiene la gráfica.

24. CONTENIDO Funciones cuadráticas Las funciones y = 20x – x2, vista anteriormente, se llama función cuadrática. Las funciones cuadráticas son de la forma y = ax2 + bx + c con a  0. La gráfica de las funciones cuadráticas se llama parábola. Si a > 0 la parábola está abierta hacia arriba. Si a < 0 la parábola está abierta hacia abajo. a > 0 a < 0 y = –x2 + 2 y = x2 y = –x2 y = x2 – 4x y = –x2 – 3

25. Funciones de proporcionalidad inversa Si el producto de dos números es 24, ¿qué valores pueden tomar esos números? Representamos los pares obtenidos y unimos los puntos: x · y = 24 Formamos la tabla de valores:

26. CONTENIDO Las funciones de la forma se llaman funciones de proporcionalidad inversa. Funciones de proporcionalidad inversa Si el producto de los valores correspondientes de dos magnitudes x e y es constante, se dice que las magnitudes son inversamente proporcionales. o bien x · y = k La gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa se llama hipérbola.

27. Tiempo (min): 1 2 3 4 5 6 … Espacio (cm): 5 10 15 20 25 30 … Resolución de problemas Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de 5 cm por minuto. (a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo. (b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm? 1º. Hacemos la tabla 1 5 1 por 5 2º. Observamos que las magnitudes son directamente proporcionales: 2 por 5 2 10 x 5x x por 5 y = 5x es una función de proporcionalidad directa. 3º. La fórmula de esta función es: y = 5x

28. CONTENIDO Resolución de problemas Problema: Un caracol se desliza por el borde de una piscina a razón de 5 cm por minuto. (a) Encuentra la ecuación asociada a las magnitudes espacio recorrido y tiempo. (b) representa esta función. (c) ¿cuánto tiempo tardará en recorrer 23 cm? Ya hemos visto que la función asociada es y = 5x 23 4ª Representamos los puntos: (1, 5), (2, 10)... espacio Observa que las escalas de los ejes son distintas (2, 10) 5º. En recorrer 23 cm tardará 23 : 5 = 4,6 min (1, 5) Si y = 23, entonces 23 = 5x, luego x = 23 : 5 tiempo 4,6