1 / 37

Sissejuhatus andmeturbesse

Sissejuhatus andmeturbesse. Kristina Kallaste. Ülesanded monoalfabeedilistest šifritest. Ülesanne 1. Murda järgmine afiinse šifri abil moodustatud krüptogramm. PGTOGBZGPPGTOPJMPQIPJOUWOIPQGZ. Tähtede sagedused krüptogrammis on järgmised:. PGTOGBZGPPGTOPJMPQIPJOUWOIPQGZ P = 7 J = 2

shaun
Download Presentation

Sissejuhatus andmeturbesse

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Sissejuhatus andmeturbesse Kristina Kallaste

  2. Ülesanded monoalfabeedilistest šifritest

  3. Ülesanne 1 • Murda järgmine afiinse šifri abil moodustatud krüptogramm. PGTOGBZGPPGTOPJMPQIPJOUWOIPQGZ

  4. Tähtede sagedused krüptogrammis on järgmised: PGTOGBZGPPGTOPJMPQIPJOUWOIPQGZ P = 7 J = 2 G = 5 M = 1 T = 2 Q = 2 O = 4 I = 2 B = 1 U = 1 Z = 2 W = 1 P,G,O -> E,T,A Hüpoteesid: 1. P->E, G ->T 2. P->E, O->T 3. P->E, G->A 4. P->E, O->A 5. P->T, G->E 6. P->T, O->E 7. P->T, G->A ....

  5. Hüpotees 1 : P(15) tähendab e(4)-d, G(6) tähendab t(19)-d (P->E, G ->T) Saame võrrandisüsteemi: 4a+b=15 19a+b=6 millest järeldub, et (arvuvallas Z26) a=15, b=7 P->E G->T T(19)-> G15x+7=19 (mod26) x=6 (G) O(14)-> X 15x+7=14 (mod26) x=23 (X) B(1)-> K 15x+7=1 (mod26) x=10 (K) Z(25)-> W 15x+7=25 (mod26) x=22 (W) J(9)-> O 15x+7=9 (mod26) x=14 (O) M(12)-> J 15x+7=12 (mod26) x=9 (J) Q(16)-> L 15x+7=16 (mod26) x=11 (L) I(8)-> H 15x+7=8 (mod26) x=7 (H) U(20)-> N 15x+7=20 (mod26) x=13 (N) W(22)-> B 15x+7=22 (mod26) x=1 (B) ETGXTKWTEETG…. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425

  6. Hüpotees 2 : P(15) tähendab e(4)-d, O(14) tähendab t(19)-d (P->E, O ->T) Saame võrrandisüsteemi: 4a+b=15 19a+b=14 millest järeldub, et (arvuvallas Z26) a=19, b=17 P->E O->T T(19)-> W19x+17=19 (mod26) x=22 (W) G(6)-> J 19x+17=6 (mod26) x=9 (J) B(1)-> G 19x+17=1 (mod26) x=6 (G) Z(25)-> K 19x+17=25 (mod26) x=10 (K) J(9)-> Q 19x+17=9 (mod26) x=16 (Q) M(12)-> X 19x+17=12 (mod26) x=23 (X) Q(16)-> P 19x+17=16 (mod26) x=15 (P) I(8)-> F 19x+17=8 (mod26) x=5 (F) U(20)-> H 19x+17=20 (mod26) x= 7 (H) W(22)-> D 19x+17=22 (mod26) x=3 (D) EJWTJGKJEEJW…. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425

  7. Hüpotees 6 : P(15) tähendab t(19)-d, O(14) tähendab e(4)-d (P->T, O ->E) Saame võrrandisüsteemi: 19a+b=15 4a+b=14 millest järeldub, et (arvuvallas Z26) a=7, b=12 P->T O->E T(19)->B 7x+12=19 (mod26) x=1 (B) G(6)->O7x+12=6 (mod26) x=14 (O) B(1)->R7x+12=1 (mod26) x=17 (R) Z(25)->N7x+12=25 (mod26) x=13 (N) J(9)->H7x+12=9 (mod26) x=7 (H) M(12)->A7x+12=12 (mod26) x=0 (A) Q(16)->I7x+12=16 (mod26) x=8 (I) I(8)->S7x+12=8 (mod26) x=18 (S) U(20)->Q7x+12=20 (mod26) x= 16 (Q) W(22)->U7x+12=22 (mod26) x=20 (U) TOBEORNOTTOBETHATISTHEQUESTION A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425

  8. Ülesanded polüalfabeedilistest šifritest

  9. Ülesanne 2 • Murda järgmine Vigenere šifri abil moodustatud krüptogramm. CHREEVOAHMAERATBIAXXWTNXBEEOPHBSBQMQEQERBWRVXUOAKXAOSXXWEAHBWGJMMQMNKGRFVGXWTRZXWIAKLXFPSKAUTEMNDCMGTSXMXBTUIADNGMGPSRELXNJELXVRVPRTULHDNQWTWDTYGBPHXTFALJHASVBFXNGLLCHRZBWELEKMSJIKNBHWRJGNMGJSGLXFEYPHAGNRBIEQJTAMRVLCRREMNDGLXRRIMGNSNRWCHRQHAEYEVTAQEBBIPEEWEVKAKOEWADREMXMTBHHCHRTKDNVRZCHRCLQOHPWQAIIWXNRMGWOIIFKEE

  10. Vigenere’i šifri murdmine • Kõigepealt leitakse võtmemärkide arv m statistiliste meetoditega. • Seejärel leitakse (ka statistiliste meetoditega) võtmemärkide (k1,…,km) vahed (m-1 tükki). • Avaldatakse kõik võtmemärgid üheainsa võtmemärgi kaudu. • Proovitakse sagedusanalüüsi abil saadavaid võtmekandidaate. Sissejuhatus andmeturbesse. Loeng 5

  11. Kasiski test • Idee: kaks identset avateksti lõiku krüpteeritakse identseteks lõikudeks, kui nende lõikude alguspunktide vahe jagub m-ga. • Vastupidi: Kaks identset krüptogrammi lõiku pikkusega vähemalt kolm annavad suure tõenäosusega identsed avateksti lõigud.

  12. Samm 1 Leiame võtmemärkide arvu m CHREEVOAHMAERATBIAXXWTNXBEEOPHBSBQMQEQERBWRVXUOAKXAOSXXWEAHBWGJMMQMNKGRFVGXWTRZXWIAKLXFPSKAUTEMNDCMGTSXMXBTUIADNGMGPSRELXNJELXVRVPRTULHDNQWTWDTYGBPHXTFALJHASVBFXNGLLCHRZBWELEKMSJIKNBHWRJGNMGJSGLXFEYPHAGNRBIEQJTAMRVLCRREMNDGLXRRIMGNSNRWCHRQHAEYEVTAQEBBIPEEWEVKAKOEWADREMXMTBHHCHRTKDNVRZCHRCLQOHPWQAIIWXNRMGWOIIFKEE Alguspunktid: 1, 166, 236,276 ja 286 Lõikude alguspunktide vahe (esimesest) on 165,235,275 ja 285 süt(165,235,275,285)=?

  13. süt(165,235,275,285)=5 => suure tõenäosusega on võtmemärkide arv 5. (Kasiski test: kaks identset avateksti lõiku krüpteeritakse identseteks lõikudeks, kui nende lõikude alguspunktide vahe jagub m-ga)

  14. Samm 2Jagame krüptogrammi veergudeks: Y1:CVABWEBQBUAWWQRWWXANTBDPXXRDWBFAXCWMNJJFAIACNRNCATBWKDMCDCQQXWK Y2:HOEITESEWOOEGMFTIFUDSTNSNVTNDPASNHESBGSEGEMRDRSHEAIEORTHNHOANOE Y3:RARANOBQRASAJNVRAPTCXUGRJRUQTHLVGRLJHNGYNQRRGINRYQPVEEBRVRHIRIE Y4:EHAXXPQEVKXHMKGZKSEMMIMEEVLWYXJBLZEIWMLPRJVELMRQEEEKWMHTRCPIMI Y5:EMTXBHMRXXXBMGXXLKMGXAGLLPHTGTHFLBKKRGXHBTLMXGWHVBEAAXHKZLWWGF ...ja leiame kokkulangevuse indeksi Ic(X) valemi Ic(X) = järgi. f0(f0-1) + … + f25(f25-1) n(n-1) CHREEVOAHMAERATBIAXXWTNXBEEOPHBSBQMQEQERBWRVXUOAKXAOSXXWEAHBWGJMMQMNKGRFVGXWTRZXWIAKLXFPSKAUTEMND……

  15. Võtmepikkuse leidmine: põhiidee • Valime mingi arvu m ja jagame krüptogrammi Y=y1y2…yn veergudeks järgmisel viisil: • Y1: y1y1+my1+2m … y1+km • Y2: y2y2+my2+2m … y2+km…………………… • Ym: ymy2my3m …y(k+1)m • Kui m on õige võtmepikkus, siis on Yi lähedane inglisekeelsele tekstile ja Ic(Yi)  0.065. • Kui aga m ei ole õige võtmepikkus, siis on Yi lähedasem juhuslikule sõnele, sest erinevad tähed krüpteeritakse erinevate võtmemärkidega

  16. Kokkulangevuse indeks • Olgu X=x1x2…xn, kus xi{A,…Z}. • Def. Jada Xkokkulangevuse indeksiks Ic(X) nimetatakse tõenäosust, et kaks juhuslikult valitud elementi x ja x’ on võrdsed. • f0,f1,…f25 -- tähtede A,B,…Z esinemiste arv. Siis: Ic(X) = f0(f0-1) + … + f25(f25-1) n(n-1)

  17. Y1:CVABWEBQBUAWWQRWWXANTBDPXXRDWBFAXCWMNJJFAIACNRNCATBWKDMCDCQQXWKY1:CVABWEBQBUAWWQRWWXANTBDPXXRDWBFAXCWMNJJFAIACNRNCATBWKDMCDCQQXWK Pikkus (n): 63 sümbolit Tähtede esinemissagedused (f) C = 6V = 1 A = 7 B = 6 W = 9 E = 1 Q = 4 U = 1 R = 3 X = 5 N = 4 D = 4 T = 2 P = 1F = 2M = 2 J = 2I = 1K = 2 Ic(X)== = =0,063 6*5+1*0+7*6+6*5+9*8+1*0+4*3+1*0+3*2+4*3+4*3+2*1+1*0+2*1+2*1+2*1+1*0+2*1 63*62 246 3906

  18. Y2:HOEITESEWOOEGMFTIFUDSTNSNVTNDPASNHESBGSEGEMRDRSHEAIEORTHNHOANOEY2:HOEITESEWOOEGMFTIFUDSTNSNVTNDPASNHESBGSEGEMRDRSHEAIEORTHNHOANOE Pikkus (n): 63 sümbolit Tähtede esinemissagedused (f) H = 5O = 6 E = 10 I = 3 T = 5 S = 7 W = 1 G = 3 M = 2 F = 2 U = 1 D = 3 N = 6 P = 1V = 1A = 3 B = 1R = 3 Ic(X)= = = =0,068 5*4+6*5+10*9+3*2+5*4+7*6+3*2+2*1+2*1+3*2+6*5+3*2+3*2 63*62 266 3906

  19. Y3:RARANOBQRASAJNVRAPTCXUGRJRUQTHLVGRLJHNGYNQRRGINRYQPVEEBRVRHIRIE Pikkus (n): 63 sümbolit Tähtede esinemissagedused (f) R = 13 A = 5 N = 5 O = 1 B = 2 Q = 4 S = 1 J = 3 V = 4 P = 2 T = 2 C = 1 X = 1 U = 2 G = 4 H = 3 L = 2 Y = 2 I = 3 E = 3 Ic(X)= = = = 0,069 13*12+5*4+5*4+2*1+4*3+3*2+4*3+2*1+2*1+2*1+4*3+3*2+2*3+2*3+3*2+3*2 63*62 268 3906

  20. Y4:EHAXXPQEVKXHMKGZKSEMMIMEEVLWYXJBLZEIWMLPRJVELMRQEEEKWMHTRCPIMIY4:EHAXXPQEVKXHMKGZKSEMMIMEEVLWYXJBLZEIWMLPRJVELMRQEEEKWMHTRCPIMI Pikkus (n): 62 sümbolit Tähtede esinemissagedused (f) E = 10 H = 3 A = 1 X = 4 P = 3 Q = 2 V = 3 K = 4 M = 8 G = 1 Z = 2 S = 1 I = 4 L = 4 W = 3 Y = 1 J = 2 B = 1 R = 3 T = 1 C = 1 Ic(X)= = = = 0,061 10*9+3*2+4*3+3*2+2*1+3*2+4*3+8*7+2*1+4*3+4*3+3*2+2*1+3*2 62*61 230 3782

  21. Y5:EMTXBHMRXXXBMGXXLKMGXAGLLPHTGTHFLBKKRGXHBTLMXGWHVBEAAXHKZLWWGFY5:EMTXBHMRXXXBMGXXLKMGXAGLLPHTGTHFLBKKRGXHBTLMXGWHVBEAAXHKZLWWGF Pikkus (n): 62 sümbolit Tähtede esinemissagedused (f) E = 2 M = 5 T = 4 X = 10 B = 5 H = 6 R = 2 G = 7 L = 6 K = 4 A = 3 P = 1 F = 2 W = 3 V = 1 Z = 1 Ic(X)= = = 0,072 2+20+12+90+20+30+2+42+30+12+6+2+6 62*61 274 3782

  22. Samm 3 • Leiame omavahelise kokkulangevuse indeksid Ic(Yi,Yjg) kõigi nihkeväärtuste g=0…25 korral ja saame i, jIc(Yi,Yjg) 1,2: 0.029 0.027 0.028 0.034 0.040 0.038 0.026 0.026 0.052 0.069 0.045 0.026 0.038 0.043 0.038 0.044 0.038 0.029 0.042 0.041 0.034 0.037 0.052 0.046 0.042 0.037 1,3: 0.040 0.034 0.040 0.034 0.028 0.054 0.049 0.034 0.030 0.056 0.051 0.046 0.040 0.041 0.036 0.038 0.033 0.027 0.038 0.037 0.032 0.037 0.055 0.030 0.025 0.037 1,4: 0.034 0.043 0.026 0.027 0.039 0.050 0.040 0.033 0.030 0.034 0.039 0.045 0.044 0.034 0.039 0.046 0.045 0.038 0.056 0.047 0.033 0.027 0.040 0.038 0.040 0.035 1,5: 0.043 0.033 0.028 0.046 0.043 0.045 0.039 0.032 0.027 0.031 0.036 0.041 0.042 0.024 0.020 0.048 0.070 0.044 0.029 0.039 0.044 0.043 0.047 0.034 0.026 0.046

  23. f0f’-g + … + f25f’25-g nn’ Ic(X,Yg) = Tähtede esinemissagedused (f) C = 6V = 1 A = 7 B = 6 W = 9 E = 1 Q = 4 U = 1 R = 3 X = 5 N = 4 D = 4 T = 2 P = 1F = 2M = 2 J = 2I = 1K = 2 Y1:CVABWEBQBUAWWQRWWXANTBDPXXRDWBFAXCWMNJJFAIACNRNCATBWKDMCDCQQXWK Y2:HOEITESEWOOEGMFTIFUDSTNSNVTNDPASNHESBGSEGEMRDRSHEAIEORTHNHOANOE Tähtede esinemissagedused (f) H = 5O = 6 E = 10 I = 3 T = 5 S = 7 W = 1 G = 3 M = 2 F = 2 U = 1 D = 3 N = 6 P = 1V = 1A = 3 B = 1R = 3 g=0 Ic(X,Yg) = = = = 0,029 1*1+7*3+6*1+9*1+1*10+1*1+3*3+4*6+4*3+2*5+1*1+2*2+2*2+1*3 63*63 115 3969 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425

  24. f0f’-g + … + f25f’25-g nn’ Ic(X,Yg) = Tähtede esinemissagedused (f) C = 6V = 1 A = 7 B = 6 W = 9 E = 1 Q = 4 U = 1 R = 3 X = 5 N = 4 D = 4 T = 2 P = 1F = 2M = 2 J = 2I = 1K = 2 Y1:CVABWEBQBUAWWQRWWXANTBDPXXRDWBFAXCWMNJJFAIACNRNCATBWKDMCDCQQXWK Y2:HOEITESEWOOEGMFTIFUDSTNSNVTNDPASNHESBGSEGEMRDRSHEAIEORTHNHOANOE Tähtede esinemissagedused (f) H = 5O = 6 E = 10 I = 3 T = 5 S = 7 W = 1 G = 3 M = 2 F = 2 U = 1 D = 3 N = 6 P = 1V = 1A = 3 B = 1R = 3 g=1 Ic(X,Yg) = = = = =0,027 f(A) f’(Z)+f(B) f’(A)+…+f(Z) f’(Y) 63*63 6*1+1*1+6*3+9*1+1*3+4*1+1*5+5*1+4*2+2*7+1*6+2*10+2*3+1*5 63*63 109 3969 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425

  25. Omavahelise kokkulangevuse indeksid(2) i, jIc(Yi,Yjg) 2,3: 0.046 0.049 0.041 0.032 0.036 0.035 0.037 0.030 0.025 0.040 0.035 0.030 0.041 0.068 0.041 0.033 0.038 0.045 0.033 0.033 0.028 0.034 0.046 0.053 0.042 0.030 2,4: 0.046 0.035 0.044 0.045 0.034 0.031 0.041 0.046 0.040 0.048 0.045 0.034 0.024 0.028 0.042 0.040 0.027 0.035 0.050 0.035 0.033 0.040 0.057 0.043 0.029 0.028 2,5: 0.033 0.033 0.037 0.047 0.027 0.018 0.044 0.081 0.051 0.030 0.031 0.045 0.039 0.037 0.028 0.027 0.031 0.040 0.040 0.038 0.041 0.046 0.045 0.043 0.035 0.031

  26. Omavahelise kokkulangevuse indeksid(3) i, jIc(Yi,Yjg) 3,4: 0.039 0.036 0.041 0.034 0.037 0.061 0.035 0.041 0.030 0.059 0.035 0.036 0.034 0.054 0.031 0.033 0.036 0.037 0.036 0.029 0.046 0.033 0.052 0.033 0.035 0.031 3,5: 0.036 0.034 0.034 0.036 0.030 0.044 0.044 0.050 0.026 0.041 0.052 0.051 0.036 0.032 0.033 0.034 0.052 0.032 0.027 0.031 0.072 0.036 0.035 0.033 0.043 0.027 4,5: 0.052 0.039 0.033 0.039 0.042 0.043 0.037 0.049 0.029 0.028 0.037 0.061 0.033 0.034 0.032 0.053 0.034 0.027 0.039 0.043 0.034 0.027 0.030 0.039 0.048 0.036

  27. Samm 4Võtme K=(k1,k2,k3,k4,k5) leidmine Arvestades tumedalt trükitud väärtusi kuimittejuhuslikke ja õigele nihkele g vastavaid, saame järgmised võrrandid võtmete jaoks: k1 – k2 = 9 k1 – k5 = 16 k2 – k3 = 13 k2 – k5 = 7 k3 – k5 = 20 k4 – k5 = 11, millest saame omakorda, et: k2 = k1 + 17 k3 = k1 + 4 k4 = k1 + 21 k5 = k1 + 10 S.t võti on kujul (k1, k1 + 17, k1 + 4, k1 + 21, k1 + 10). * Avaldatakse kõik võtmemärgid üheainsa võtmemärgi kaudu

  28. Võtme K=(k1,…,km) leidmine f0f’-g + … + f25f’25-g nn’ • Olgu Ic(X,Yg) = • Kui Ic(Yi,Yjg)  0.065, siis suure tõenäosusega g=ki-kj.

  29. Võtme K=(k1,k2,k3,k4,k5) leidmine (2) • Võti on kujul (k1, k1 + 17, k1 + 4, k1 + 21, k1 + 10) AREVK BSFWL CTGXM .... IZMDS JANET A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425

  30. Samm 5Avateksti leidmine THEALMONDTREEWASINTENTATIVEBLOSSOMTHEDAY.. JANETJANETJANETJANETJANETJANETJANETJANET.. CHREEVOAHMAERATBIAXXWTNXBEEOPHBSBQMQEQER.. THEALMONDTREEWASINTENTATIVEBLOSSOMTHEDAYSWERELONGEROFTENENDINGWITHMAGNIFICENTEVENINGSOFCORRUGATEDPINKSKIESTHEHUNTINGSEASONWASOVERWITHHOUNDSANDGUNSPUTAWAYFORSIXMONTHSTHEVINEYARDSWEREBUSYAGAINASTHEWELLORGANIZEDFARMERSTREATEDTHEIRVINESANDTHEMORELACKADAISICALNEIGHBORSHURRIEDTODOTHEPRUNINGTHEYSHOULDHAVEDONEINNOVEMBER A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425

  31. Kodutöö Murra Vigenere shifriga moodustatud krüptogramm: ZHQQCAQDGFTUQGMERGWERRROHSQDROKTTHONYIAXSFKIZJTAGOUVTAWRKHVQUYBRSELBXHKQBBGWTTHRQDRQVOYHSGETXHTUHSKRUODNFUYFKEWHYELNMQYAUDQUIRBOGWHUQKFKEWHYUVNAWRMQDAPLKVEXHCFHDEWADWWUWHXLKQOYAQEEZHQQYAXFUQAXOYRLNPWHQUISKTWHYKRUODNEWOBBOGGOZWHMYEFRTDBAXOTTHRQVTAITTHKQBS

  32. Ülesanded tõenäosusest

  33. Näide • Leia Huffmani puu ja vastavad koodid järgmisele juhuslikulesuurusele X väärtuste hulgaga {a,b,c,d,e} ja tõenäosustega p(a)= 0.05, p(b)= 0.10, p(c)= 0.12, p(d)= 0.13, p(e)= 0.60 Leia keskmine koodi pikkus ℓ ja Shannoni entroopia H[X].

  34. Definitsioon. Olgu X juhuslik suurus, millel on lõplik hulk hulk võimalikke väärtusi siis suuruseX(Shannoni)entroopiaks nim. suurust H(X) = -i pilog2pi = -i p[X=xi] log2 p[X=xi] • Keskmine koodi pikkus ℓ ℓ(f)=  p(x)|f(x)|

  35. Ülesanne 3 • Leia Huffmani puu ja vastavad koodid järgmisele juhuslikulesuurusele X väärtuste hulgaga {x1, . . . , x7} ja tõenäosustega p(x1)=0.12, p(x2)= 0.08, p(x3)= 0.11, p(x4)= 0.17, p(x5)= 0.22, p(x6)=0.1, p(x7)= 0.2. Leia keskmine koodi pikkus ℓ ja Shannoni entroopia H[X].

  36. Ülesanne 4 • Juhuslik suurus Xvalitakse ühtlase jaotusega hulgast {1, 2, ...,16}.Juhuslik suurus Y arvutatakse juhuslikust suurusest X valemi Y=X2mod17 järgi. Leia juhusliku suuruse Y Shannoni entroopia H[Y ].

  37. Ülesanne 5 (iseseisvaks uurimiseks) • Millistel tingimustel langeb Huffmanikoodi keskmine pikkus täpselt kokku Shannoni entroopiaga?

More Related