SETENGAH PUTARAN

1. SETENGAH PUTARAN PADA HAKEKATNYA SETENGAH PUTARAN ADALAH BENTUK KHUSUS DARI PERPUTARAN, NAMUN ADA SIFAT-SIFAT TERTENTU SEHINGGA LEBIH BAIK DIBAHAS DALAM BAHASAN TERSENDIRI.

2. KEKHUSUSAN-NYA ANTARA LAIN 1. SETENGAH PUTARAN MERUPAKAN INVOLUSI, 2. DAPAT DIPANDANG SEBAGAI PENCERMINAN TERHADAP TITIK, 3. GESERAN DAPAT DINYATAKAN DALAM HASILKALI DUA SETENGAN PUTARAN

3. DEFINISI SETENGAH PUTARAN • Setengah putaran terhadap titik P (dengan pusat P ) , dilambangkan dengan HP, adalah pemetaan yang memenuhi: untuk sebarang titik A di bidang V • HP(A) = A , jika A=P • = B , dengan P titik tengah AB , jika A tidak sama dengan P.

4. . Rumus Aljabar dari Setengah Putaran. • Misalkan P(a,b) dan HP memetakan A(x,y) ke A’(x’,y’). Berdasarkan definisi, P merupakan titik tengah AA’ • sehingga diperoleh : Jadi x’ = -x + 2a dan y’ = -y + 2b • Atau

5. BEBERAPA TEOREMA • Setengah putaran merupakan suatu involusi. • Sehingga Teorema : Setengah putaran adalah isometri. Teorema : Untuk sebarang garis g dan setengah putaran HP , berlaku HP(g)//g

6. Misal P(a,b) . Ambil sebarang garis g pada bidang V. Misal g : px + qy +c = 0. Dan g’=HP(g). Untuk sebarang titik A(x,y) berdasarkan definisi setengah putaran diperoleh hubungan antara A(x,y) dan A’(x’,y’)=HP(A) sebagai x=-x’+2a dan y = -y’+2b. Sehingga diperoleh g’ : p(-x’+2a)+q(-y’+2b)+c=0 atau g’:-px-qy+(2ap+2bq+c)=0.

7. Tampak bahwa gradien garis g’ sama dengan gradien garis g. Dapat disimpulkan bahwa g’//g. Jadi terbukti Untuk sebarang garis g dan setengah putaran HP , berlaku HP(g)//g.

8. . • Teorema : Satu-satunya titik tetap dalam HP adalah titik P, sedangkan garis-garis tetapnya adalah semua garis yang melalui P. • Teorema : Hasil kali dua setengah putaran adalah suatu geseran. Jika B titik tengah AC, maka HBHA=SAC=HCHB. • Teorema : • Untuk tiga titik A,B, dan C yang tidak segaris, berlaku HCHBHA=HD dengan |AD|=|BC|.

9. Misalkan l : px+qy+c=0 merupakan garis tetap. Sedangkan l’: px + qy - (2ap+2bq+c) = 0. Agar l merupakan garis tetap haruslah -(2ap+2bq+c)=c atau 2ap+2bq+2c=0 . Ini berarti garis l melalui titik P. Jadi agar l merupakan garis tetap haruslah melalui P. Jadi garis tetapnya adalah semua garis yang melalui P.

10. . P” C B P A P’ D A F E B C

11. AKAN DIBUKTIKAN HBHA SUATU GESERAN P” C B P A P’

13. A D F B C E

15. Akibat : • Hasil kali geseran dan setengah • putaran adalah suatu setengah putaran. • Teorema : • Untuk sebarang tiga titik A, B, dan C • berlaku HCHBHA=HAHBHC.

16. Terbukti HCHBHA=HAHBHC.

17. . • Diketahui lingkaran L, titik P dan garis g seperti terlihat di bawah ini. L Lukis garis h yang memotong L di A dan g di B sehingga P merupakan titik tengah A dan B .P g

18. g’ h A B h . P A B g

19. Lukis HP(g)= g’ . Diperoleh g’//g dan g’ memotong L di A1 dan A2. Selanjutnya garis A1P=h1 dan A2P=h2 adalah garis yang Ditanyakan. Karena jika A1P memotong g di B, maka P adalah titik tengah A1 B.

20. Diketahui lingkaran L dengan tali busur AB dan CD . Misalkan S suatu titik tertentu pada CD. Lukislah titik P pada L dengan AP dan BP berturut-turut memotong CD di E dan F sedemikian sehingga S titik tengah EF. . L D S . C A B

21. A’ KEADAAN AWAL L D S . C B A

22. GAMBAR SEAKAN MASALAH TELAH TERSELESAIKAN P L F D S . C E A B

23. Andaikan titik P telah dapat terlukis. Dengan setengah putaran terhadap S, AP menjadi A’P’=HS(AP). Ini belum dapat terealisir karena P belum didapat. Tetapi A’ sudah dapat dilukis dan dapat diketahui bahwa A’P’ melalui F ( karena AP melalui E). Pada segitiga A’BF dapat diketahui A’B dan m(<F) = m(<P) = ½ busur AB=besar sudut keliling lingkaran terhadap busur AB. Maka dapat dicari tempat kedudukan titik F dalam segitiga A’BF yang berupa lingkaran. Kemudian titik potong lingkaran itu dengan CD adalah titik F yang dicari, karena BF memotong L di titik P yang diminta. Dengan demikian dapat diketahui urutan cara melukis P.

24. Lukis A’=HS(A). • 2. Lukis tempat kedudukan F dalam • segitiga A’BF, yaitu lingkaran L1. • 3. L1 memotong CD di F. • 4. BF memotong L di P yang dicari.