Lineárna algebra - diferenciálne rovnice

1. Lineárna algebra - diferenciálne rovnice Obyčajné diferenciálne rovnice I. rádu 1. Základné pojmy Definícia 1.1. Obyčajnou diferenciálnou rovnicou I. rádu nazývame rovnicu tvaru • F(x,y,y´)=0, kde F je nejaká funkcia troch premenných, y je neznáma funkcia premennej x a y´ je jej derivácia. Jej špeciálny prípad je rovnica • y´=f(x,y), kde f je funkcia definovaná na nejakej podmnožine M roviny E2.

2. Definícia 1.2 Riešením diferenciálnej rovnice (1) nazývame každú funkciu y určenú explicitne rovnicou y=y(x), alebo implicitne rovnicou g(x,y)=0, ktorá má v nejakom intervale I deriváciu a pre každé x z intervalu I vyhovuje rovnici (1) Definícia 1.3Úlohu, nájsť riešenie y rovnice (1) také, že vyhovuje podmienke , kde sú nejaké čísla sa nazýva Cauchyho začiatočná úloha a podmienka sa nazýva Cauchyho začiatočná podmienka. Veta 1.1 (o existencii a jednoznačnosti) Ak funkcia f(x,y) je spojitá na oblasti D, potom každým bodom tejto oblasti prechádza aspoň jedno riešenie y. Ak naviac je spojitá na D, potom týmto bodom oblasti D prechádza jediné riešenie, t.j. existuje okolie O( ) čísla , že každé riešenie, ktoré prechádza bodom ( ) splýva s y na O( ).

3. Definícia 1.4 Všeobecným riešením rovnice (2) nazývame funkciu y určenú explicitne rovnicou y= y(x,c) (alebo implicitne rovnicou g(x,y,c)=0), ktorá závisí od x a od jednej ľubovoľnej konštanty c (parametra), ak má vlastnosti: • Pre každú prípustnú hodnotu parametra c (včítane nekonečna) je funkcia y riešením diferenciálnej rovnice (2) • Ak je ľubovoľný bod z oblasti D (existencie a jednoznačnosti Cauchyho úlohy), potom existuje taká hodnota parametra c (včítane nekonečna), že riešenie y=y(x, ) • (g(x,y, )=0) vyhovuje začiatočnej podmienke y( , )= • (g( , , )=0).

4. Definícia 1.5 Každé riešenie rovnice (2), ktoré dostaneme zo všeobecného riešenia vhodnou voľbou parametra c (včítane nekonečna) sa nazýva partikulárnym (čiastočným) riešením rovnice (2). Riešenie rovnice (2) sa nazýva singulárnym riešením, ak každým bodom grafu tohto riešenia prechádzajú aspoň dve riešenia rovnice. Singulárne riešenie rovnice (2) nedostaneme zo všeobecného riešenia žiadnou voľbou konštanty c.

5. 2. Separovaná a separovateľná diferenciálna rovnica I. rádu Definícia 2.1 Diferenciálna rovnica tvaru (2.1) p(x) + q(y)y´=0, Kde p(x), q(y) sú funkcie, nazývame separovanou diferenciálnou rovnicou I. rádu.

6. Veta 2.1 Ak funkcia p(x) je spojitá na otvorenom intervale , q(y) je spojitá na otvorenom intervale , potom platí: 1. Všeobecným riešením rovnice (2.1) je funkcia určená implicitne rovnicou (2.2) 2. Singulárne riešenia rovnica nemá, 3. Ak potom existuje práve jedno riešenie rovnice (2.1), ktoré spĺňa podmienku Toto riešenie sa dá vyjadriť v tvare (2.3)

7. Definícia 2.2 Diferenciálna rovnica tvaru (2.4) Kde sú funkcie, sa nazýva separovateľná diferenciálna rovnica I. rádu.

8. Veta 2.2 1. Ak funkcie sú spojité na otvorenom intervale , sú spojité na otvorenom intervale , potom všeobecné riešenie rovnice (2.4) je určené implicitne rovnicou (2.5) 2. Ostatné riešenia rovnice (2.4) sú funkcie y=k, kde k sú korene rovnice . Niektoré z týchto riešení sú singulárne, niektoré partikulárne. 3. Ak potom bodom prechádza práve jedno riešenie rovnice (2.4).

9. Príklad 2.1 x-yy´=0, y(1)=2. Príklad 2.2 (1+x)y+(1-y)xy´=0, y(1)=2. Príklad 2.3

10. 3. Homogénna diferenciálna rovnica Definícia 3.1 Funkcia f(x,y) definovaná na je homogénnastupňa k, ak pre každé číslo , také že platí Definícia 3.2 Diferenciálna rovnica tvaru (3.1) P(x,y) + Q(x,y)y´=0 sa nazýva homogénnou diferenciálnou rovnicou I. rádu, ak funkcie P(x,y), Q(x,y) sú homogénne funkcie rovnakého stupňa. Veta 3.1 Substitúciou y=ux dostaneme z homogénnej diferenciálnej rovnice (3.1) separovateľnú diferenciálnu rovnicu (3.2) P(1,u) + Q(1,u)u + xQ(1,u)u´=0

11. Príklad 3.1 nájdite riešenie, ktoré spĺňa podmienku y(1)=1.

12. 4. Lineárna diferenciálna rovnica I. rádu, Bernoulliho diferenciálna rovnica Definícia 4.1 Diferenciálnu rovnicu tvaru (4.1) y´ + p(x)y = q(x) kde p(x), q(x) sú funkcie definované na intervale I nazývame lineárnou diferenciálnou rovnicou I. rádu. Ak q(x)=0 pre všetky x z intervalu I, potom rovnica (4.1) sa nazýva homogénnalineárna diferenciálna rovnica I. rádu. V opačnom prípade nehomogénna lineárna diferenciálna rovnica I. rádu.

13. Veta 4.1 Nech p(x), q(x) sú spojité funkcie na intervale I. Potom všeobecné riešenie rovnice (4.1) má tvar (4.2) kde c je ľubovoľné reálne číslo. Rovnicou (4.2) sú dané všetky riešenia rovnice (4.1). Definované sú na intervale I. Ak , potom existuje práve jedno riešenie rovnice (4.1), ktoré spĺňa začiatočnú podmienku . Poznámka. Ako je to pre homogénnu lineárnu diferenciálnu rovnicu? Príklad 4.1 , y(1)=-3.

14. Príklad 4.2

15. Definícia 4.2. Diferenciálnu rovnicu tvaru (4.3) kde p(x), q(x) sú funkcie definované na intervale I a je nejaké číslo, nazývame Bernoulliho diferenciálnou rovnicou. Poznámka. =0, =1. Veta 4.2 Substitúciou dostaneme z rovnice (4.3) lineárnu diferenciálnu rovnicu I. rádu tvaru (4.4) Príklad 4.3 Riešte rovnicu Pozor na fakt, že y=0 je tiež riešenie.

16. 5. Exaktná diferenciálna rovnica. Definícia 5.1 Diferenciálna rovnica tvaru (5.1) P(x,y) + Q(x,y)y´= 0 sa nazýva exaktnou diferenciálnou rovnicou v oblasti D, ak existuje taká funkcia U(x,y), ktorá má na D parciálne derivácie a platí (5.2)

17. Veta 5.1 Diferenciálna rovnica (5.1) je exaktná v jednoducho súvislej oblasti D (bez dier) vtedy a len vtedy, ak (5.3) • Veta 5.2 • Nech P(x,y), Q(x,y) sú spojité funkcie na jednoducho súvislej oblasti D, potom exaktná rovnica (5.1) má všeobecné riešenie (5.4) U(x,y)=c • a iné riešenie rovnica nemá. Funkciu U(x,y) vypočítame z podmienok (5.2). • Ak , potom existuje práve jedno riešenie rovnice (5.1), ktoré spĺňa začiatočnú podmienku • .

18. Príklad 5.1 Nájdite riešenie rovnice 2x+y+(x-4 )y´=0, ktoré spĺňa podmienku y(1)=2.