1 / 38

Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc

Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc. Matematicko-počítačové modelovanie 4. semester 6 . prednáška. Lineárna parciálna diferenciálna rovnica 2. rádu. Rovnica koeficienty rovnice pravá strana riešenie rovnice klasické riešenie rovnice. Klasifikácia PDR. eliptické PDR

alvis
Download Presentation

Numerick é metódy riešenia diferenciálnych rovníc

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Numerické metódy riešenia diferenciálnych rovníc Matematicko-počítačové modelovanie 4. semester 6. prednáška

  2. Lineárna parciálna diferenciálna rovnica 2. rádu • Rovnica • koeficienty rovnice • pravá strana • riešenie rovnice • klasické riešenie rovnice

  3. Klasifikácia PDR • eliptické PDR problém potenciálu, stacionárne difúzne problémy • parabolické PDR nestacionárne problémy, difúzia, vedenie tepla • hyperbolické PDR vlnové rovnice, rovnice prúdenia tekutiny

  4. Príklady PDR • Laplaceova rovnica: • Poissonova rovnica • Funkciu u, definovanú a spojitú až do druhého rádu včítane na nejakej oblasti ktorá spĺňa Laplaceovu rovnicu nazývame harmonická funkcia

  5. Príklady PDR • Stacionárne vedenie tepla:

  6. Príklady PDR • Ustálené prúdenie podzemnej vody

  7. Eliptická úloha je dvojdimenzionálna oblasť hranica oblasti

  8. Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Nech • Oblasť rozdelíme na štvorcové podoblasti: delenie n dielov na vodorovnej hrane, m dielov na hrane zvislej, budeme mat (n-1)x(m-1) vnútorných uzlov a 2m +2n hraničných uzlov

  9. Diskretizácia oblasti

  10. Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • V hraničných uzloch je predpísaná Dirichletova podmienka, vo vnútorných uzloch treba vypočítať riešenie. • Zostavíme systém (n-1)x(m-1) lineárnych algebraických rovníc, ktoré dostaneme použitím diferencie miesto derivácie v PDR.

  11. Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Máme rovnicu: • Druhé derivácie nahradíme diferenciami v každom uzle siete: N W E M S

  12. Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Aproximácia x-ovej derivácie v bode M • Aproximácia y-ovej derivácie v bode M

  13. Numerické riešenie pre obdĺžnikovú oblasť • Dohromady: • S chybou O(h2) • Ak je jeden z bodov aproximácie hraničný, využijeme okrajovú podmienku

  14. Príklad • Riešte metódou sietí problém: • Okrajová podmienka: • Presné riešenie:

  15. Príklad • Zvolíme krok rovnaký pre delenie v smere x-ovom aj y-ovom. • h=1, to znamená budeme mať 9 vnútorných uzlov, teda 9 rovníc o 9 neznámych. Uzly očíslujeme po stĺpcoch počnúc ľavým dolným uzlom.Pre každý uzol zostavíme rovnicu:

  16. Diskretizácia oblasti

  17. Rovnice • 1. rovnica: spája body: • okrajové podmienky: spodný bod: ľavý bod: • pravá strana: rovnica: 2 OP 4 1 OP

  18. Rovnice 3 • 2. rovnica (body 1,2,3,5): • Okrajové podmienky: • Ľavý bod u(0,y)=y2 , teda u(0,2)=4 • Pravá strana • rovnica 2 OP 5 1

  19. Rovnice OP • 3. rovnica (body 2,3,6): • Okrajové podmienky: • Ľavý bod u(0,y)=y2 , teda u(0,3)=9 • Horný bod u(x,4)=16+8x+x3 , teda u(1,4)=25 • Pravá strana • rovnica 3 OP 6 2

  20. Rovnice 5 • 4. rovnica (body 1,4,5,7): • Okrajové podmienky: • Dolný bod u(x,0)=x3 , teda u(2,0)=8 • Pravá strana • rovnica 4 1 7 OP

  21. Rovnice 6 • 5. rovnica (body 2,4,5,6,8): • Okrajové podmienky:nie sú • Pravá strana • rovnica 5 2 8 4

  22. Rovnice OP • 6. rovnica (body 3,5,6,9): • Okrajové podmienky: • Horný bod u(x,4)= 16+8x+x3 , teda u(2,4)=40 • Pravá strana • rovnica 6 3 9 5

  23. Rovnice 8 • 7. rovnica (body 4,7,8): • Okrajové podmienky: • Dolný bod u(x,0)= x3 , teda u(3,0)=27 • Pravý bod u(4,y)=64+8y+y2 , u(4,1)=73 • Pravá strana • rovnica 7 4 OP OP

  24. Rovnice 9 • 8. rovnica (body 5,7,8,9): • Okrajové podmienky: Pravý bod u(4,y)= 64+8y+y2, teda u(4,2)=84 • Pravá strana • rovnica 8 5 OP 7

  25. Rovnice OP • 9. rovnica (body 6,8,9): • Okrajové podmienky: • Horný bod u(x,4)= 16+8x+x3 , u(3,4)=67 • Pravý bod u(4,y)= 64+8y+y2, teda u(4,3)=97 • Pravá strana • rovnica 9 6 OP 8

  26. Výsledná matica

  27. Pravá strana Vektor pravej strany

  28. Príklad

  29. Grafický výstup výsledkov - Mathcad

  30. Grafický výstup výsledkov - Mathematica Numerické riešenie Presné riešenie

  31. Grafický výstup výsledkov - Mathematica

  32. Výsledky

  33. Neumanova okrajová podmienka • Predpísaná: • Na časti hranice – pri obdĺžnikovej oblasti celá strana alebo viac strán časť strany Pozor na úlohu len s Neumanovou okrajovou podmienkou na celej hranici

  34. Trojuholníková oblasť 6 vnútorných uzlov

  35. Trojuholníková oblasť • Matica stratí „peknú“ štruktúru matice vzniknutej pri štvorcovej oblasti očíslovanej podľa stĺpcov • Matica zostane pásová

  36. Trojdimenzionálne úlohy • Poissonova rovnica: • Okrajová podmienka Dirichletova alebo Neumannova • Oblasť: kváder, okrajovú podmienku treba zadať na všetkých 6 stenách kvádra

  37. Trojdimenzionálne úlohy • Diskretizácia Laplaceovho operátora: • 7 bodová schéma: uzly M, S, N, W, E, F B: • Matica zostane pásová, šírka pásu - väčšia

  38. Všeobecnejší operátor • Rovnica • Okrajové podmienky: DP, Neumann, zmiešané • Postup: diskretizácia ako pri jednodimenzionálnej úlohe

More Related