Matrices y Determinantes

1. Matrices y Determinantes Conceptos básicos.

2. Matrices • Una matriz es una ordenación rectangular de elementos dispuestos en filas y columnas encerrados entre paréntesis Las matrices se nombran con letras mayúsculas A, B, C, .... y sus elementos con minúsculas con dos subíndices aij, que indican respectivamente la fila y la columna en la que se sitúa el elemento

3. Tipos de matrices • Matriz fila : • Una matriz fila está constituida por una sola fila. n=1

4. Matriz columna: • La matriz columna tiene una sola columna m=1

5. Tipos de matrices • Matriz cuadrada : • La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. • Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. • La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1. n=m

6. Matriz rectangular: • Matriz en la cual m no es igual a n

7. Matriz nula: • En una matriz nula todos los elementos son ceros. • n = m • b) aij=0 si  i  � j  y aij = 1 si i =j

8. Matriz triangular superior: • En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. • n = m • b) aij = 0 si  i  >= j

9. Matriz triangular inferior: • En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. • n = m • b) aij = 0 si i <= j

10. Matriz diagonal: • En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos. a)  n = m b)  aij=0 si  i  � j  

11. Matriz escalar: • Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

12. Matriz identidad o unidad: • Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

13. Matriz traspuesta: • Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas (At)t = A (A + B)t = At + Bt (α ·A)t = α· At (A ·  B)t = Bt · At

14. Matriz regular: • Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

15. Matriz singular: • Una matriz singular no tiene matriz inversa.

16. Matriz idempotente: • Una matriz, A, es idempotente si: A2= A.

17. Matriz involutiva: • Una matriz, A, es involutiva si: A2 = I.

18. Matriz simétrica: • Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica: • n = m • b) aij = aji A = At

19. Matriz antisimétrica o hemisimétrica: • Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica: A = -At.

20. Matriz ortogonal: • Una matriz es ortogonal si verifica que: A·At = I

21. Aplicaciones de matrices en otras áreas del conocimiento

22. Matrices en la computación: • Las matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información. En este contexto, son la mejor forma para representar grafos, y son muy utilizadas en el cálculo numérico.

23. Ya en el año 450 a.C. los espartanos de Grecia enviaban mensajes codificados. Para • ello enrollaban una banda de cuero o cinturón sobre un cilindro, se escribía el mensaje • y al desenrollar la banda de cuero ésta parecía que sólo estaba adornada con marcas • inocentes. Sin embargo, si el destinatario del mensaje arrollaba nuevamente la banda • alrededor de un cilindro similar al utilizado cuando se escribió dicho mensaje, éste • podía ser leído sin dificultad. Este método es un sistema de codificación por • transposición.

24. La máquina Enigma era un dispositivo para codificar mensajes • empleado por los alemanes en la II Guerra Mundial.

25. Determinantes El determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene a partir de los elementos de la matriz. Su estudio se justifica en cuanto que simplifica la resolución de sistemas lineales y el cálculo de la matriz inversa, entre otras aplicaciones.

26. Propiedades de las determinantes • 1. El determinante no varía si se traspone la matriz. Es decir: det A = det At . • (Esta propiedad permite enunciar las demás sólo para filas o columnas). • 2. Si permutamos entre sí dos filas (o columnas) el determinante cambia de signo. • 3. Si multiplicamos (o dividimos) una fila o columna por un número el determinante queda multiplicado por dicho número. • (Esta propiedad sirve para poder sacar factor común en un determinante)

27. 4. Si todos los elementos de una fila (o columna) son nulos, el determinante también lo es. • 5. Si dos filas (o columnas) son iguales (o proporcionales)el determinante es 0. • 6. Si todos los elementos de una línea se descomponen en suma de dos sumandos, el determinante puede descomponerse también como suma de dos determinantes.

28. 7. Si una fila o columna es c.l. de las otras su determinante es cero. • 8. Si a una fila (columna) de una matriz se le suma otra fila (columna) multiplicada por un nºel determinante no varía. • 9. Si una matriz cuadrada es triangular (superior o inferior) su determinante es igual al producto de los elementos de su diagonal principal. • Consecuencia: Si I es la matriz identidad su determinante vale 1.

29. 10. El determinante de un producto de matrices (de órdenes iguales) es igual al producto de sus determinantes. • Es decir det AB = det A. det B. • 11. Si  $ A-1 entonces ½A½-1 = 1/|A| • En efecto,  A.A-1= I  , luego |A·A-1| = |I| = 1