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Determinantes

a 11. M =. det M =. A =. det A =. 16. Determinantes. Consideramos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos determinante. da matriz M o número que podemos obter operando com os elementos de. M da seguinte forma:.

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Presentation Transcript

  1. a11 M = det M = A = det A = 16 Determinantes Consideramos o conjunto das matrizes quadradas de elementos reais. Seja M uma matriz de ordem n desse conjunto. Chamamos determinante da matriz M o número que podemos obter operando com os elementos de M da seguinte forma: Determinante de ordem 1 EXEMPLO:

  2. M = A = Determinantes Determinante de ordem 2 a12. a21 a11. a22 det M = - EXEMPLO: = 8 det A = 5.3 - 1.7

  3. Regra de Sarrus Determinantes Determinante de ordem 3 M = a12.a23.a31 a11.a22.a33 a13.a21.a32 a13.a22.a31 a12.a21.a33 a11.a23.a32 det M = (a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) – (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)

  4. Determinantes Determinante de ordem 3 EXEMPLO: A = (-2).2.3 3.0.(-1) 3.5.3 (-2).0.4 1.2.(-1) 1.5.4 det A = (1.5.4 + (-2).2.3 + 3.0.(-1)) – (3.5.3 + 1.2.(-1) + (-2).0.4) det A = - 35

  5. A = Determinantes Teorema Fundamental (Laplace) • Menor Complementar Dada uma matriz quadrada A, chamamos menor complementar do elemento aij, e indicamos por Mij, o determinante da matriz quadrada de ordem n – 1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A. M11 =

  6. Determinantes Teorema Fundamental (Laplace) • Menor Complementar Dada uma matriz quadrada A, chamamos menor complementar do elemento aij, e indicamos por Mij, o determinante da matriz quadrada de ordem n – 1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A. M23 = A =

  7. (-1)i+j.Mij Aij = A = Determinantes Teorema Fundamental (Laplace) • Co-fator Chamamos co-fator do elemento aij, e indicamos com Aij, o número (–1)i+j· Mij, em que Mij é o menor complementar de aij. = (-1)2. A11 = (-1)1+1.M11

  8. A = (-1)i+j.Mij Aij = Determinantes Teorema Fundamental (Laplace) • Co-fator Matriz co-fator Cof A=

  9. A = Determinantes Teorema Fundamental (Laplace) • Determinante de uma matriz de ordem n O determinante de uma matriz quadrada de ordem n, , é a soma dos o número (–1)i+j· Mij, em que Mij é o menor complementar de aij. det A = a11.A11 + a21.A21 + a31.A31 det A = a21.A21 + a22.A22 + a23.A23 det A = a31.A31 + a32.A32 + a33.A33

  10. Determinantes Regra de Chió Abaixamento de ordem de um determinante Exemplo: det A = det B A = B= =

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