Wprowadzenie w problematykę związaną z twierdzeniem G ö dla

1. PARADOKS PRAWDY Wprowadzeniew problematykę związaną z twierdzeniem Gödla

2. Epimenides z Krety 6/7 wiek p.n.e. Ja kłamię Zapętlenie w nieskończoność

3. M.C. Escher

4. Russell: klasy normalne i nienormalne Mędrzec: kara śmierci Rozróżnienie pomiędzy językiem i metajęzykiem, Arytmetyką i metamatematyką Szkic rozumowania Gödla Numeracja Gödla Formuła Dem(x,y) Numer sub(y,13,y) Skonstruowanie formuły metamatematycznej G Szkic dowodu kilku twierdzeń

5. Czyli w miarę łatwo jest mówić o języku w języku, Ale jak zdania o liczbach (twierdzenia) mogą coś komentować o sobie?! Zdania w teorii liczb (arytmetyce) mówią o własnościach liczb naturalnych, ale nie mówią nic o zdaniach. Liczby nie są zdaniami, ich własności też nie są zdaniami, ale gdyby każdej formule udało się przyporządkować jednoznacznie numer ?... ∃n (2+ n = 4) ∃n (2 + n = 9) Początek pierwszego i drugiego zdania jest taki sam Czytam książkę Kłamię ARYTMETYKA <------> METAMATEMATYKA

6. Szkic rozumowania Gödla 1) Skonstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie: Formuła G nie daje się udowodnić • Pokazanie, że G daje się udowodnić wtedy i tylko wtedy, gdy ͠ G daje się udowodnić. Zatem, jeśli rachunek jest niesprzeczny, to ani G ani ͠ G nie daje się wywieść z aksjomatów arytmetyki w sposób formalny. Inaczej mówiąc: • Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna to G jest formułą nierozstrzygalną formalnie. • Pokazanie, żechociaż G nie daje się udowodnić formalnie, w ramach arytmetyki jest prawdziwą formułą arytmetyczną. • Jest prawdziwa w tym sensie, że każdej liczbie naturalnej przypisuje własność arytmetyczną, która jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. Podobnie jak formuła (x) ͠ (x+3 =2) głosi pewną własność wszystkich liczb naturalnych.

7. Numeracja Gödla mogą

8. Zatem każde zdanie metamatematyczne jest reprezentowane przez dokładnie jedną formułę należącą do arytmetyki. Zależności logiczne pomiędzy zdaniami metamatematycznymi są w pełni odzwierciedlone przez związki liczbowe zachodzące pomiędzy odpowiadającymi im formułami arytmetycznymi. Jako przykład weźmy jeden z aksjomatów w arytmetyce: 2 2 2 (pⅴ p) ɔ p a = 28 × 311 × 52 × 711× 119× 138 × 1711 (p ⅴ p) b = 28× 311× 52× 711× 119 2 2 Metamatematyczne zdanie: Formuła (p ⅴ p) jest początkową częścią aksjomatu (p ⅴ p) ɔ p jest w arytmetyce odzwierciedlona formułą: b jest czynnikiem a

9. METAMATEMATYKA <===> ARYTMETYKA Dem (x, z) Nazwijmy tak relację, która odpowiada temu metamatematycznemu zdaniu Ciąg formuł posiadających numer gödlowski x jest dowodem formuły z numerem gödlowskim z Niech podstawieniesub (m, 13, m) oznacza numer gödlowski formuły, którą otrzymuje się z formuły posiadającej numer gödlowski m przez podstawienie za zmienną z numerem gödlowskim 13 (za y) cyfry oznaczającej liczbę „m” (cyfry, która jest symbolem liczby m) Np. jeśli a jest numerem gödlowskim formuły (∃x) (x = sy ) to sub (a, 13, a) jest numerem formuły (∃x)(x = sa)

10. Szkic rozumowania Gödla 1) Skonstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie: Formuła G nie daje się udowodnić • Pokazanie, że G daje się udowodnić wtedy i tylko wtedy, gdy ͠ G daje się udowodnić. Zatem, jeśli rachunek jest niesprzeczny, to ani G ani ͠ G nie daje się wywieść z aksjomatów arytmetyki w sposób formalny. Inaczej mówiąc: • Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna to G jest formułą nierozstrzygalną formalnie. • Pokazanie, żechociaż G nie daje się udowodnić formalnie, w ramach arytmetyki jest prawdziwą formułą arytmetyczną. • Jest prawdziwa w tym sensie, że każdej liczbie naturalnej przypisuje własność arytmetyczną, która jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. Podobnie jak formuła (x) ͠ (x+3 =2) głosi pewną własność wszystkich liczb naturalnych.

11. 4) Skoro G jest równocześnie formułą prawdziwą i formalnie nierozstrzygalną, to aksjomatyka arytmetyki jest niezupełna. • Mało tego, Gödel pokazał jeszcze jak skonstruować formułę arytmetyczną reprezentującą metamatematyczne zdanie: „Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, to jest niezupełna” i pokazał, że ta formuła jest prawdziwa. • Na końcu pokazał także, że formuła odpowiadająca metamatematycznemu zdaniu: • Arytmetyka jest niesprzeczna • nie daje się udowodnić.

12. Konstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie: FORMUŁA G NIE DAJE SIĘ UDOWODNIĆ Podstawmy teraz w formule o numerze n cyfrę n za zmienną oznaczoną numerem gödlowskim 13. Dostaniemy:(x)͠ Dem (x, sub (n, 13, n)) numerem tej formuły jest Korzystając z wprowadzonej arytmetycznej relacji Dem (x, y) oraz przyporządkowaniaSub (y, 13, y) możemy napisać następującą formułę arytmetyczną (x) ͠ Dem (x, sub (y, 13, y)). Oznaczmy numer gödlowski tej formuły przez n. Formuła ta reprezentuje metamatematyczne zdanie: Formuła posiadająca numer gödlowski sub (y, 13, y) nie daje się dowieść. Dla przypomnienia sub (y, 13, y) to numer gödlowski formuły, którą dostaje się z formuły o numerze gödlowskim y poprzez podstawienie w niej za zmienną z numerem gödlowskim 13 cyfry oznaczającej liczbę y. Sub (n, 13, n) !!!! Zatem na płaszczyźnie metamatematycznej możemy powiedzieć, że formuła tamówi o sobie samej że nie daje się udowodnić! NAZWIJMY TĘ FORMUŁĘ ARYTMETYCZNĄ FORMUŁĄ G

13. Zarys rozumowania pokazującego, że jeśli G daje się dowieść, to również ͠ G daje się dowieść • założenie, że G daje się dowieść jest tożsame z założeniem, że istnieje ciąg formuł arytmetycznych stanowiących dowód formuły G • oznaczmy numer gödlowski tego ciągu przez k • skoro sub (n, 13, n) to numer gödlowski zdania G, to zachodzi relacja arytmetyczna: • Dem (k, sub (n, 13, n)) • z twierdzenia tego za pomoca reguł transformacji elementarnej logiki możemy wywieść formułę: • ͠ (x) ͠ Dem (x, sub (n, 13, n)) • Jest to formuła ~G Czyli, jeśli można udowodnić G, to można także udowodnić negację formuły G

14. Chociaż G nie daje się udowodnić formalnie w ramach arytmetyki to jest prawdziwą formułą arytmetyczną W punkcie 2 pokazaliśmy, że jeśli G daje się udowodnić, to także ͠ G daje się udowodnić. Zatem jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, to G nie daje się udowodnić. Czyli patrząc na arytmetykę z zewnątrz w metamatematycznym opisie prawdziwe jest zdanie: Formuła G nie daje się udowodnić. Skoro to zdanie w arytmetyce jest reprezentowane przez formułę G, to jeśli ono jest prawdziwe, to G też jest prawdziwe Jednak to, że G jest prawdziwą formułą arytmetyczną wywiedliśmy nie z dedukcji z aksjomatów arytmetyki, tylko z rozumowania METAMATEMATYCZNEGO