1 / 57

Teoria sprężystości i plastyczności

Teoria sprężystości i plastyczności. Wykład 5: Wprowadzenie do MES. Przykłady. Leszek CHODOR dr inż. bud, inż.arch. leszek@chodor.co. Literatura: [1] Timoschenko S. Goodier A.J.N., Theory of Elasticity Mc Graw –Hill, 2 nd , Oxford, 1951

faraji
Download Presentation

Teoria sprężystości i plastyczności

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 5:Wprowadzenie do MES. Przykłady Leszek CHODORdr inż. bud, inż.arch. leszek@chodor.co Literatura: [1]Timoschenko S. Goodier A.J.N.,Theory of Elasticity Mc Graw –Hill, 2 nd , Oxford, 1951 [2]Piechnik S.,Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, , PWN, Warszaw-Kraków, 1980 [3]Rakowski G.,Macierzowa analiza konstrukcji, PWN, Warszawa, 1979 [4]Bower A.,Linear Elasticity,, Lecture Notes, Division of Engineering     Brown University Spring 2005, [5]Lebedev L.P., Cloud M.J.,Tensor Analysis with Applications in Mechanics, World Scientific, 2010 [6]Chodor L.,publikacje własne - różne. [7]Strony www[dostępne luty-kwiecień 2011] - różne Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności1

  2. Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Kanononiczne równanie metody Ritza (33) jest też fundamentalnym równaniem MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności2

  3. Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności3

  4. Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności4

  5. Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności5

  6. Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności6

  7. Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności7

  8. Teoria sprężystości Wprowadzenie do MES Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności8

  9. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Zadanie 1 (pomocnicze) Określić funkcje kształtu elementu (e) pręta prostego bez uwzględnienia wpływu przemieszczeń poziomych na kąty obrotu i ugięcia elementu Pole przemieszczeń u(x) wewnątrz elementu skończonego, zgodnie z fundamentalnym założeniem metody elementów skończonych przyjmuje się w postaci: (49) Gdzie – [N] macierz kształtu elementu, Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności9

  10. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu (50) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności10

  11. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Przemieszczenia pokazane na Rys.1. można uzyskać z rozwiązania równania różniczkowego linii ugięcia przy braku obciążenia na pręcie: (50) Ogólne rozwiązanie tego równania jest funkcją: Stałe całkowania wyznaczymy z warunków brzegowych: Otrzymujemy stąd równanie macierzowe: Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności11

  12. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Stąd [C] (51) Podstawiając wartości stanu uzyskamy kolejne wyrazy macierzy [N] Na przykład dla : . Pozostałe wyrazy znajdziemy analogicznie. Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności12

  13. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Zadanie 2 (pomocnicze) Obliczyć macierz sztywności dla elementu pręta z poprzedniego zadania. Wprowadźmy pojęcia uogólnionych naprężeń oraz odkształceń , które występują na poziomie przekroju pręta. Za naprężenia uogólnione przyjmiemy siły przekrojowe, natomiast odkształcenia uogólnione odpowiadają wielkościom, których iloczyn z naprężeniami określa pracę wewnętrzną.W przypadku zginania z rozciąganiem naprężenia uogólnione, to momenty zginające M i siły osiowe N. Natomiast odkształcenia uogólnione, to krzywizna w” i wydłużenie względne u’. Znane zależności (52) stanowią związki fizyczne. Znak (+) wystąpił wobec przyjętego układu współrzędnych. Związki te zapisaliśmy w zwartej formie spójnej z definicjami przyjętymi przy rozwiązaniu ZBTS metodą Ritza: Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności13

  14. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu (51) skąd otrzymujemy wyrażenia na podstawowe macierze metody: macierz Hooke’a i macierz operatorów różniczkowania wektor naprężeń i przemieszczeń (53) Macierz zgodności geometrycznej [B] obliczymy z definicji , (54) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności14

  15. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu (51) Macierz sztywności elementu (e) otrzymamy z definicji. Macierz sztywności określa siły przywęzłowe w funkcji przemieszczeń węzłów. Zależności te są znane w mechanice budowli pod nazwą wzorów transformacyjnych dla elementu sztywno-sztywnego (55) (55)’ , (56) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności15

  16. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Zadanie 3 (pomocnicze) Obliczyć macierz sztywnościdla prostoliniowego, jednorodnego elementu, obciążonego ściskającą siłą osiową. Ogólne równanie różniczkowe dla jednego elementu skończonego ma postać , Macierz sztywnościmożna określić, znając zależność pomiędzy siłami węzłowymi Rys.2 Pręt ściskany siłą P a przemieszczeniami węzłowymi . Zależności te dla zadanego zagadnienia (Rys.2) , określimy poprzez rozwiązania równania różniczkowego pręta ściskanego bez obciążenia pomiędzy węzłami (57) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności16

  17. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Po wprowadzeniu zmiennych (57a) , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności17

  18. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Ponieważ (58) , itd. ... Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności18

  19. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Szczególnie użyteczne formuły znajdziemy dla (59) gdzie: , krytyczne obciążenie „eulerowskie” Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności19

  20. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu (60) Linearyzacja funkcji , Macierz geometryczna 1 rzędu (quasiliniowa) Liniowa Macierz sztywności Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności20

  21. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Ostatecznie w celu uwzględnienia związku obciążeń podłużnych od przemieszczeń poziomych węzłów, uzupełnimy macierz sztywności o uzyskane wyniki i otrzymamy Macirz sztywności pręta zginanego i ściskanego , (61) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności21

  22. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Zadanie 4 (pomocnicze) Obliczyć obciążenie węzłowe, gdy na pręt prosty (ogólnie na krawędź elementu) elementu), działa obciążenie ciągłe pomiędzy węzłami.obciążonego ściskającą siłą osiową . Obciążenie międzywęzłowe wyznaczymy z definicji , gdzie zgodnie z Rys.3. , a macierz kształtu (zadanie pomocnicze1 - wynosi Rys.3. Obciążenie międzywęzłowe p(x) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności22

  23. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Z definicji dla mamy: (62) , Analogicznie można znaleźć obciążenie węzłowe przy innych postaciach obciążenia między węzłami, np. dla (63) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności23

  24. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Zadanie 5 (pomocnicze) Określić wektor równoważników węzłowych dla elementu belki spoczywającej na sprężystym podłożu Winklera ze współczynnikiem sprężystości podłoża Z definicji sprężystego podłoża winklerowskiego, znamy jego odpór: (63) Ponieważ , Dla belki zginanej mamy Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności24

  25. Teoria sprężystości Przykład belki na sprężystym podłożu Po wykonaniu przypisanych działań i po obliczeniu całki oznaczonej (w granicach od 0do l), mamy: , (64) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności25

  26. Teoria sprężystości Przykład liczbowy 1 Zadanie 6 (przykład liczbowy) Znależć ugięcie i kat obrotu końca wspornika metodą MES. , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności26

  27. Teoria sprężystości Przykład liczbowy 1 po rozpisaniu układ kanoniczny przyjmie postać: Warunki brzegowe: , uwzględniamy przez odpowiednią modyfikację równania kanonicznego Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności27

  28. Teoria sprężystości Przykład liczbowy 1 w rezultacie modyfikacji: Rozwiązanie tego układu równań daje: , Uwaga: dla stałej sprężystości podpory K=oo otrzymamy rozwiązanie dla wspornika idealnie utwierdzonego, dldla K=0 ustrój jest mechanizmem. Świadczy o tym fakt, = że wyznacznik układu=0 i równanie kanoniczne staje się nieoznaczone Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności28

  29. Teoria sprężystości Przykład liczbowy 2 Zadanie 7 (przykład liczbowy) Metoda MES obliczyć siłę krytyczną belki-słupa Macierz sztywności układu 1-no elementowego złożona z macierzy liniowej i geometrycznej , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności29

  30. Teoria sprężystości Przykład liczbowy 2 Warunki brzegowe: w1=f1=0.uwzględniamy poprzez modyfikację macierzy sztywności, czyli: wykreślenie wierszy i kolumn odpowiadających odebranym stopniom swobody. Z kryterium stateczności Det[k]=0, mamy , Ścisłe rozwiązanie tego zagadnienia, to: . Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności30

  31. Teoria sprężystości Przykład tarczy Płaski stan naprężenia , Płaski stan naprężenie to taki, w którym składowe tensora naprężenia są niezerowe tylko w dwóch kierunkach na płaszczyźnie. Taki stan naprężenia nazywamy stanem tarczowym, choć od razu należy podkreślić, że towarzyszy mu przestrzenny stan odkształceń Płaski stan odkształcenia . Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności31

  32. Teoria sprężystości Przykład tarczy Funkcja kształtu dla elementu tarczy Załóżmy, że przemieszczenia wewnątrz elementu są liniową funkcją przemieszczeń węzłowych, co można zapisać w postaci: , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności32

  33. Teoria sprężystości Przykład tarczy Macierz węzłowych funkcji kształtu wyznaczymy z formuły MES Stąd po uwzględnieniu |u| uzyskamy wyrażenie na funkcję kształtu elementu [N] , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności33

  34. Teoria sprężystości Przykład tarczy Formułata rozważanego przypadku przyjmie dla węzłów i,j,k: , Ponieważ (podwojone pole trójkąta) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności34

  35. Teoria sprężystości Przykład tarczy Formułata rozważanego przypadku przyjmie dla węzłów i,j,k: , Ponieważ (podwojone pole trójkąta) Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności35

  36. Teoria sprężystości Przykład tarczy Stąd funkcja kształtu: , ,, Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności36

  37. Teoria sprężystości Przykład tarczy Funkcję kształtu można zapisać w postaci macierzowej: , ,, Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności37

  38. Teoria sprężystości Przykład tarczy Macierz odkształceń i naprężeń dla elementu tarczy , ,, Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności38

  39. Teoria sprężystości Przykład tarczy Macierz zgodności geometrycznej , ,, Macierz Hooke’a d;lla płąskiego stanu naprężeń Macierz naprężeń Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności39

  40. Teoria sprężystości Przykład tarczy Macierz sztywności elementu tarczy t- grubość elementu tarczowego, a -pole powierzchni elementu , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności40

  41. Teoria sprężystości Przykład tarczy Wektor sił węzłowych od sił objętościowych P Wektor sił węzłowych od sił powierzchniowych , Obciążenie (V,H) skupione w punkcie możemy zapisać w postaci gdzie operatorDiraca Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności41

  42. Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności42

  43. Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności elementu typu A węzeł 1(=i): węzeł 2=j): węzeł 3=k): Zmienne pomocnicze , , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności43

  44. Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności elementu typu A , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności44

  45. Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności elementu typu B węzeł 1(=i): węzeł 2=j): węzeł 3=k): , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności45

  46. Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności układu , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności46

  47. Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Macierz sztywności układu , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności47

  48. Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności48

  49. Teoria sprężystości Tarcza –przykład liczbowy Modyfikacja macierzy sztywności Modyfikację dokonamy przez wykreślenie z macierzy sztywności [K] wierszy i kolumn odpowiadających tym stopniom swobody, a także na usunięciu z wektora równoważników węzłowych wykreśla się elementy odpowiadające usuniętym stopniom z macierzy sztywności. W ten sposób eliminuje się z rozwiązania znane równania- w tym przypadku mamy osiem takich równań. Siły węzłowe , Przemieszczenia węzłowe W wyniku rozwiązania tego liniowego układu 24. równań, otrzymano Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności49

  50. Teoria sprężystości = Tarcza –przykład liczbowy Rozwiązanie równania kanonicznego , Politechnika Świętokrzyska KM,KM i MK , Leszek CHODOR Teoria sprężystości i plastyczności50

More Related