1 / 23

OLEH : IR. INDRAWANI SINOEM, MS.

ALJABAR LINEAR. OLEH : IR. INDRAWANI SINOEM, MS. BAB I M A T R I K S. DEFINISI Suatu daftar bilangan-bilangan real atau kompleks ter-diri atas m baris dan n kolom, m dan n bilangan bulat positif disebut : matriks bertipe m x n. Contoh : 1. 2.

silver
Download Presentation

OLEH : IR. INDRAWANI SINOEM, MS.

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ALJABAR LINEAR OLEH : IR. INDRAWANI SINOEM, MS. Aljabar Linear/II/08

  2. BAB IM A T R I K S • DEFINISI Suatu daftar bilangan-bilangan real atau kompleks ter-diri atas m baris dan n kolom, m dan n bilangan bulat positif disebut : matriks bertipe m x n. Aljabar Linear/II/08

  3. Contoh : 1. 2. Dalam matriks bujur sangkar, unsur-unsur a11, a22,….., ann disebut unsur-unsur diagonal, sedangkan : disebut :tracedari matriks tersebut. Contoh : trace (B) = 1+1+5 = 7 Aljabar Linear/II/08

  4. Suatu matriks yang terdiri atas satu baris saja disebut : vektor baris, bila terdiri atas satu kolom saja disebut : vektor kolom. • OPERASI ALJABAR MATRIKS 1. Matriks sejenis : matriks yg mempunyai ukuran sama (bertipe sama) : Contoh : Aljabar Linear/II/08

  5. karena ukuran matriks C adalah 3x4, sedangkan ukuran matriks D adalah 3x3. 2. Kesamaan dua matriks Definisi : dua matriks A=[aij] dan B=[bij] dikatakan sama bila : a). A dan B sejenis. b). Setiap unsur yg seletak sama. Aljabar Linear/II/08

  6. 3. Penjumlahan dua buah matriks. Definisi : misalkan A = [aij] dan B = [bij] dua matriks bertipe sama. Jumlah dari A dan B adalah suatu matriks C yang bertipe sama dengan A dan B dengan C = [cij] dan cij = aij + bij ; i=1,2,…,m dan j=1,2,…,n. Kesimpulan : 1. Penjumlahan dua buah matriks hanya didefinisi- kan pada dua buah matriks yg sejenis. 2. Jumlah dua buah matriks yg sejenis merupakan matriks dengan ukuran yg sama. Aljabar Linear/II/08

  7. Contoh : 1. Misalkan : Ditanya : A+B Penyelesaian : Aljabar Linear/II/08

  8. 4. Perkalian Matriks 4.1. Perkalian matriks dengan sebuah bilangan. Definisi : hasil kali suatu bilangan k dengan suatu matriks yg didapat dengan mengalikan setiap unsur dari A dengan k, ditulis kA = Ak = [kaij] = [aijk] ; i=1,2,……,n Aljabar Linear/II/08

  9. Contoh : 1. 2. 3. Aljabar Linear/II/08

  10. 4.2. Perkalian dua buah matriks Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B bila banyaknya kolom dari A sama dengan banyak- nya baris B atau Bila A bertipe mxn dan B bertipe nxp, maka matriks C bertipe mxp dengan unsur pada baris ke-i dan kolom ke-j adalah : Aljabar Linear/II/08

  11. Kesimpulan : 1. Perkalian matriks AB dapat didefinisikan, jika : banyaknya kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. 2. Umumnya AB ≠ BA Contoh : 1. Aljabar Linear/II/08

  12. 2. Jika : C11 =(2)2 + (-3)3 + (4)0 + (0)1 = -5 C12 =(2)(-3) + (-3)(-1) + (4)1 + (0)(-1) = 1 C21 =(1)2 + (4)3 + (1)0 + (1)1 = 15 C22 =(1)(-3) + (4)(-1)+(1)1 +(1)(-1) = -7 C31 =(2)2 + (0)3 + (3)0 + (-2)1 = 2 C32 =(2)(-3) + 0(-1) + (3)1 + (-2)(-1) = -1 maka diperoleh : Aljabar Linear/II/08

  13. 3. Jika : Aljabar Linear/II/08

  14. Sifat-sifat perkalian matriks : 1. A(B+C) = AB + AC (hukum distributif) 2. (A+B)C = AC + BC (hukum distributif) 3. A(BC) = (AB)C (hukum assosiatif) 4. AB ≠ BA 5. AB = 0 tidak mengakibatkan A=0 atau B=0 6. AB = AC tidak mengakibatkan B = 0 5. Matriks-matriks khusus 1. Matriks nol : Sebuah matriks disebut matriks nol, jika unsur-unsur dari matriks semua sama dengan 0 (Diberi simbol 0). Aljabar Linear/II/08

  15. Contoh : Sifat-sifat : 1. A + 0 = 0 + A = A 2. A – A = 0 3. 0 – A = - A 4. A0 = 0; 0A = 0 Aljabar Linear/II/08

  16. 2. Transpose Definisi : Suatu matriks disebut matriks transpose dari matriks A, ditulis AT atau A* adalah matriks yg didapat dengan menukar baris-baris A men- jadi kolom-kolom A dan sebaliknya. Bila A ber- tipe mxn maka : A* bertipe nxm. Contoh : (1). Aljabar Linear/II/08

  17. (2). Sifat-sifat transpose : (1). (A*)* = A (2). (kA)* = kA* (3). (A+B)* = A* + B* (4). (AB)* = B*.A* 3. Matriks Segitiga Atas Definisi : Suatu matriks bujur sangkar A = [aij] matriks segitiga atas bila aij = 0 untuk setiap i>j. Aljabar Linear/II/08

  18. Contoh : 4. Matriks Segitiga Bawah Definisi : Suatu matriks bujur sangkar A=[aij ] dikatakan matriks segitiga bawah, bila aij=0 untuk setiap I < j . Aljabar Linear/II/08

  19. Contoh : 5. Matrik Diagonal Definisi : Suatu matriks yg sekaligus matriks segitiga atas dan segitiga bawah disebut matriks diagonal, ditulis : diag (a11, a22, …,ann). Aljabar Linear/II/08

  20. Contoh : 6. Matriks Satuan Definisi : Matriks diagonal dengan elemen diagonalnya = 1 disebut matriks identitas, atau matriks satuan. Matriks ini diberi simbol I. Contoh : Aljabar Linear/II/08

  21. 7. Matriks Invers Definisi : Bila A dan B matriks bujur sangkar dgn AB=BA=I, maka B disebut invers dari A, ditulis B=A-1. Matriks A juga merupakan invers dari B, ditulis A=B-1. 8. Matriks Simetri Definisi : Bila A matriks bujur sangkar dengan A= A*, maka A disebut matriks Simetri. Bila A=[aij] matriks simetri, maka aij = aji untuk setiap I≠j. Aljabar Linear/II/08

  22. Contoh : 9. Matriks Skew Simetri Definisi : Bila A matriks bujur sangkar dengan A=-A*, maka A disebut matriks Skew Simetri. Bila A=[aij] matriks skew, maka aij=-aji untuk setiap i dan j. Ini berarti aij = -aji untuk setiap i. Jadi aij = 0 untuk setiap i. Aljabar Linear/II/08

  23. Contoh : Aljabar Linear/II/08

More Related