Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 2

1. Faculdade de Economia da Universidade do Porto 2013/2014 Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 2

2. 1ª Aula

3. Risco e sua diversificação

4. Introdução • Quando alguém empresta um capital, tem como objectivo receber mais tarde esse capital que emprestou acrescido dos juros • Mas existe sempre uma probabilidade de não receber nem uma coisa nem outra (no todo ou em parte).

5. Introdução • Na análise de um investimento, porque é baseada em previsões quanto ao desempenho futuro do negócio • preços dos inputs, preços e quantidades dos outputs, depreciação do capital, falhas e descobertas tecnológicas • A medida calculada a priori na avaliação pode, a posteriori, vir a concretizar-se de forma menos favorável.

6. Introdução • No sentido de compreendermos o risco, controlá-lo e utilizá-lo na tomada de decisão, vamos neste capítulo apresentar a modelização estatística do risco.

7. Introdução • Já consideramos um modelo de risco p => Prob. de não receber nada (1-p) => Prob. de receber capital e juros V.(1+r) = 0 x p + V.(1+i).(1-p) i = (1+r) / (1-p) -1 r => taxa de juro sem risco i => taxa de juro com risco

8. Seguro de vida • Ex.2.1- Num seguro de vida em que é paga a indemnização na data da morte. • A seguradora capitaliza os prémios pagos pelo segurado de forma a ter reservas para pagar a indemnização. • A seguradora tem uma margem de 10% • Qual o prémio anual por cada 1000€ de indemnização?

9. Seguro de vida • Se a seguradora soubesse a priori quantos anos faltavam para o segurado morrer e a taxa de juro, calculava facilmente o prémio do seguro que lhe permitiria capitalizar a indemnização e ter algum lucro • Mas na data de assinatura do contrato essas grandezas não são conhecidas

10. Seguro de vida • Se a duração fosse N e a taxa de juro r tínhamos • Valor actual da indemnização • Valor actual da soma de todos os prémios (prestações) pagos pelo segurado (antec.)

11. Seguro de vida • Igualando obtemos o prémio que a seguradora precisa cobrar (sem margem)

12. Exemplo: seguro de vida • Se N=40 e r = 2% resultava: • Paga 40 anualidades • Mais os 10%, seriam 17.854€/ano/1000€ = 1.7854%/ano

13. Exemplo: seguro de vida • O seguro tem risco porque a seguradora não conhece N nem r =>O risco pode resultar de um fenómeno aleatório, e.g., o euromilhões. => Mas o mais normal é resultar de uma concretização futura, e.g., a ocorrência de uma inovação tecnológica

14. Exemplo: seguro de vida • Sem conhecermos N nem r o melhor que pode ser feito é a construção de alguns cenários • Dividimos cada variável em cenários Como exemplo, consideramos os cenários Adverso, Médio, favorável M.Mau, Mau, Médio, Bom, M.Bom M.Mau, Mau, Médio- , Médio+, Bom, M.Bom

15. Exemplo: seguro de vida • Cada cenário é uma combinação de valores possíveis para as variáveis relevantes desconhecidas • No caso de variáveis contínuas, esse valor é o representante de um intervalo, e.g., o valor do meio.

16. Seguro de vida

17. Exemplo: seguro de vida • Seguradora cobrar 17.856€/ano por cada seguro de 1000€, terá prejuizo nos cenários Mau e Mmau e uma margem maior que 10% nos cenários Bom e Mbom.

18. Exemplo: seguro de vida • Também podemos usar uma combinação de cenários individuais. • Se temos 5 cenários para a taxa de juro e 6 para a longevidade, da combinação resultam 30 cenários • Cobrando um prémio anual de 17.86€, podemos identificar os cenários em que a seguradora tem prejuizo e lucro

19. Exemplo: seguro de vida F5: =$C$1*$E6/((1-(1+$E6)^-F$5)*(1+$E6)^(F$5+1))*(1+$C$2) Área F6:K10 com formatação condicionada (se <17.854)

20. Introdução • Os cenários conseguem dar uma ideia dos potenciais perdas e ganhos mas não nos ajudam quantitativamente na decisão • Vamos necessitar de alguns conceitos estatísticos que permitam agregar a informação.

21. Conceitos estatísticos básicos

22. Conceitos estatísticos básicos • A Estatística descreve, organiza e relaciona objectos e fenómenos demasiado difíceis de apreender com as ferramentas conceptuais da matemática clássica (i.e., funções reais de variáveis reais).

23. Conceitos estatísticos básicos • A estatística reduz a dimensão do fenómeno considerando • Poucas variáveis (as mais relevantes) e • Conhecimento parcial dessas variáveis

24. Conceitos estatísticos básicos • Por exemplo, quando se constrói um avião, é necessário colocar bancos adequados para acomodar Pessoas com Necessidades Especiais (PNE). • Cada lugar implica um custo • Mas deixar passageiros em terra tem uma penalização • Eu não sei quantas pessoas aparecem em cada voo.

25. Conceitos estatísticos básicos • Dados passado: • Olhando para as pessoas que viajaram no passado, 3.0% são PNE.

26. Conceitos estatísticos básicos • Partindo desta informação pouco pormenorizada • Calculada com os passageiros do passado • podemos calcular, com a ajuda da estatística, estimativas para as necessidades das viagens futuras • Supomos a estabilidade das características da população

27. Conceitos estatísticos básicos Sabendo-se que 3% dos indivíduos são PNE, em x% das viagens futuras (com 200 passageiros) haverá necessidade de N lugares – Função distribuição de Poisson

28. Conceitos estatísticos básicos • Agora, podemos optimizar uma função objectivo. • H1) cada lugar especial dá 50€ de prejuizo • H2) Deixar um PNE em terra tem 1000€ de penalização • Podemos minimizar o prejuizo esperado

29. Conceitos estatísticos básicos • A variável de decisão é N. x é o número de PNE que aparecem num voo qualquer n é o número de cadeiras especiais do avião

30. Conceitos estatísticos básicos

31. Conceitos estatísticos básicos • Para já não interessa saber como a figura anterior foi calculada. • Com os 3% de PNE, foi possível construir um modelo de apoio à decisão. O valor óptimo depende da percentagem de PNE (estimativa) 2.0% => 11 lugares 3.0% => 14 lugares 4.0% => 17 lugares

32. Noção de variável estatística

33. Noção de variável estatística • Na primeira parte da disciplina aprendemos modelos que nos permitem quantificar o impacto da nossa decisão em função das variáveis relevantes (e.g., taxa de juro, taxa de crescimento as vendas) • O risco resulta de não conhecermos os valores concretos que as variáveis vão assumir no futuro.

34. Noção de variável estatística • Por exemplo, na construção de um automóvel não sei a altura nem o peso do futuro condutor. • Será um valor “sorteado” da população • Vou ultrapassar a falta de informação assumindo que seráum valor retirado aleatoriamente da população da qual conheço estatísticas • e.g., o valor médio e a dispersão

35. Noção de variável estatística • Numa extracção aleatória os indivíduos são obtidos sem ter em atenção nenhuma das suas características • e.g., a extracção de uma bola no Euromilhões não tem em atenção o número. • Depois, agrego a população numa função objectivo a optimizar • Valor esperado do lucro ponderado pelo risco

36. Probabilidade • A cada um dos valores possíveis (i.e., cada cenário) é atribuído uma probabilidade -> Atirando uma moeda ao ar, a probabilidade de sair cara é 50%. -> Retirar o número 33 de um saco com os números 1 a 50 é 1/50. -> A probabilidade de nascer uma rapariga é 49.03% (INE, Jan2013:Jul2013).

37. Interpretações de probabilidade • Probabilidade de se concretizar o valor x • Clássica: é a proporção de vezes em que observo o valor x se repetir a experiência de forma independente e muitas vezes • Bayesiana: é uma conjectura construída por peritos sobre o fenómeno ainda desconhecido se concretizar com o valor x • Em termos práticos, a perspectiva bayesiana é mais flexível mas não tem tanto suporte teórico

38. Probabilidade • A probabilidade não garante qual o valor que se vai obter no concreto e.g., sabe-se que a probabilidade de numa viagem haver 6 PNE é de 16% não diz que vão aparecer 6 pessoas • mas contém um certo grau de informação que ajuda a avaliar a importância relativa dos cenários construídos

39. Probabilidade • Opinião de peritos: • Ex.2.4. Foram identificados 8 cenários possíveis quanto ao comportamento do preço do Brent em dólares daqui a 10 anos e inquirida a opinião de 100 peritos sobre a probabilidade de se concretizarem (proporcional à escala de 0 a 10).

40. Probabilidade • Com base na soma dos pontos atribuídos por todas as pessoas, determine a probabilidade assumida para que cada um dos cenários possa vir a acontecer.

41. B5: =B4/$J4 J4: =Soma(B4:I4)

42. 2ª Aula

43. Concluindo, • 1 - Eu tenho um modelo de cálculo das implicações financeiras da minha decisão onde me falta a informação sobre o cenário concreto que se vai realizar

44. Tenho o modelo que funciona bem quando conheço os valores

45. 2 – Quando não tenho os valores, o melhor que posso fazer é substituir o valor desconhecido por uma variável aleatória de que eu tenho informação quanto à probabilidade de cada cenário se vir a concretizar. • Por exemplo, não conheço a duração

46. Substituo o valor desconhecido por uma variável aleatória

47. Uso uma variável aleatória como modelo do risco • Esta substituição (do cenário futuro desconhecido pela variável aleatória) implica que tenha como resultado não um valor mas também uma variável aleatória (como se fosse toda uma população de resultados).

48. Exemplo • Ex.2.5. Conhecida a probabilidade de o individuo durar determinados anos e a taxa de juro ser determinada • retome o Ex.2.1 e calcule a probabilidade da seguradora ter uma margem das vendas abaixo dos 10% pretendidos

49. Caracterização da v.e. • População dividida em cenários • Intervalos • Pego nos indivíduos todos da população e calculo a proporção que cai dentro de cada classe • e.g., divido a longevidade de uma pessoa nos intervalos [0, 30]; ]30,60]; ]60,90] e ]90, 120]

50. Caracterização da v.e. • Não podendo medir toda a população, utilizo uma amostra no cálculo da probabilidade • Quando (parte) da população está no futuro, tenho que considerar o presente como uma amostra dessa população do futuro