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Vectores. CAPÍTULO 7. Contenidos. 7.1 Vectores en 2 Dimensiones 7.2 Vectores en 3 Dimensiones 7.3 Producto Escalar 7.4 Producto Vectorial 7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones 7.6 Espacios Vectoriales 7.7 Proceso de Ortogonalización de Gram -Schmidt.
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Vectores CAPÍTULO 7
Contenidos • 7.1 Vectores en 2 Dimensiones • 7.2 Vectores en 3 Dimensiones • 7.3 Producto Escalar • 7.4 Producto Vectorial • 7.5 Rectas y Planos en 3 Dimensiones • 7.6 Espacios Vectoriales • 7.7 Proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt
7.1 Vectores en 2 Dimensiones • Repaso de VectoresVuelva a la Fig 7.1 después de la Fig 7.6.
Ejemplo 1 • Observe la Fig 7.7. Fig 7.7
DEFINICIÓN 7.1 Sea a = <a1, a2>,b = <b1, b2> vectores en R2(i) Suma:a + b = <a1+ a2, b1+ b2> (1)(ii) Producto por un escalar: ka = <ka1, ka2>, k es un escalar (2)(iii)Igualdad:a = b si y sólo si a1 = b1, a2= b2(3) Suma, Producto por un Escalar, Igualdad a – b = <a1− b1, a2− b2> (4)
Solución Gráfica • Fig 7.8 ilustra las solucones gráficas de suma y resta de dos vectores.
Ejemplo 2 Si a = <1, 4>, b = <−6, 3>, hallar a + b, a − b, 2a + 3b. Solución Usando (1), (2), (4), tenemos
Propiedades • (i) a + b = b + a(ii) a + (b + c) =(a + b)+ c(iii) a + 0 = a(iv) a + (−a) = 0(v) k(a + b)=ka + kb k escalar(vi) (k1 + k2)a =k1a + k2a k1, k2escalares(vii) k1(k2a)=(k1k2)a k1, k2escalares(viii) 1a = a (ix) 0a = 0 = <0, 0> • 0 = <0, 0>
Longitud, Norma • a =<a1, a2>, entonces Naturalmente, tenemos ||a|| 0, ||0|| = 0
Vector Unitaros • Un vector cuya norma vale 1 se denomina vector unitario.u = (1/||a||)a es un vector unitario, puesto que
Ejemplo 3 • Dado a = <2, −1>, el vector unitario en la misma direcciónu es y
Los vectoresi, j • Si a = <a1, a2>, entonces (5)Sea i = <1, 0>, j = <0, 1>,entonces(5) se transforma ena = a1i + a2j(6)
Ejemplo 4 • (i) <4, 7> = 4i + 7j(ii) (2i – 5j) + (8i + 13j) = 10i + 8j(iii) (iv) 10(3i – j) = 30i – 10j(v) a = 6i + 4j, b = 9i + 6j son paralelos y b = (3/2)a
Ejemplo 5 Sea a = 4i + 2j, b = –2i + 5j. Dibujar a + b, a – b SoluciónFig 7.11
7.2 Vectores en 3 Dimensiones • RepasoVualva a la Fig 7.22 después de la Fig 7.24. • Fig 7.22
Ejemplo 1 Represente los puntos (4, 5, 6) y (−2, −2, 0). SoluciónFig 7.25.
Formula de Distancia (1) • Fig 7.26
Ejemplo 2 Hallar la distancia entre (2, −3, 6) y (−1, −7, 4) Solución
Ejemplo 2 Hallar el punto medio (2, −3, 6) y (−1, −7, 4) SoluciónDe (2), tenemos
Vectores en 3 Dimensiones • Fig 7.27.
DEFINICIÓN 7.2 Sea a = <a1, a2 , a3>, b = <b1, b2, b3 > en R3(i) a + b = <a1+ b1, a2 + b2, a3 + b3>(ii) ka = <ka1, ka2, ka3>(iii) a = b si y sólo si a1= b1, a2= b2, a3= b3 (iv) –b = (−1)b = <− b1, − b2, − b3>(v) a – b = <a1− b1, a2− b2, a3− b3>(vi) 0 = <0, 0, 0>(vi) Definiciones en 3 Dimensiones
Ejemplo4 Hallar el vector que va de (4, 6, −2) a (1, 8, 3) Solución
Ejemplo 5 • De la Definición 7.2, tenemos
Los vectores i, j, k • i = <1, 0, 0>, j = <0, 1, 0>, k = <0, 0, 1>a = < a1, a2, a3> = a1i + a2j+ a3j
Ejemplo6a = <7, −5, 13> = 7i − 5j+ 13j Ejemplo7(a) a = 5i + 3kestá en el planoxz(b) Ejemplo8Si a = 3i − 4j+ 8k, b = i − 4k, hallar5a − 2b Solución5a − 2b = 13i − 20j + 48k
7.3 Producto Escalar DEFINICIÓN 7.3 El producto escalar de a y b es el escalar (1)donde es el ángulo que forman los vectores 0 . Producto Escalar de Dos Vectores
Ejemplo 1 • De (1) obtenemosi i = 1, j j = 1, k k = 1 (2)
Producto Escalar en Forma de Componentes (3) (4) • Fig 7.33
Ejemplo 2 • Si a = 10i + 2j – 6k, b = (−1/2)i + 4j – 3k, entonces
Propiedades • (i) a b = 0 si y sólo si a = 0 or b = 0(ii) a b = b a(iii) a (b + c)= a b +a c (iv) a (kb)= (ka) b = k(a b)(v) a a 0(vi) a a = ||a||2
TEOREMA 7.1 Dos vectores no nulosa yb son ortogonalessi y sólosi a b = 0. Criterio de Vectores Ortogonales Orthogonal Vectors • (i) a b > 0 si y sólosiesagudo(ii) a b < 0 si y sólosiesobtuso(iii) a b = 0 si y sólosicos = 0, = /2 • Observación: Como 0 b = 0, decimosque el vector nuloesortogonal a todos los vectores.
Ejemplo 3i, j, k son vectores ortogonales.i j = j i = 0, j k = k j = 0, k i = i k = 0 (5) Ejemplo 4Si a = −3i −j + 4k, b = 2i + 14j + 5k, entoncesa b = –6 – 14 + 20 = 0Son ortogonales.
Ejemplo 5 Hallar el ángulo entrea = 2i + 3j + k, b = −i + 5j + k. Solución
Cosenos Directores Observando la Fig 7.34, los ángulos, , se llamanángulosdirectores. Ahorapor (6) decimosquecos, cos, cosson cosenosdirectores, y cos2 + cos2 + cos2= 1