1 / 20

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

SAYISAL YÖNTEMLER. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü. 13.HAFTA İÇERİĞİ RUNGE KUTTA. Düşen bir paraşütçünün hızının “v”, zamanın “t” bir fonksiyonu olarak hesaplamak için Newton’un ikinci yasasına dayalı aşağıdaki eşitlik yazılabilir .

sonora
Download Presentation

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 13.HAFTA İÇERİĞİ RUNGE KUTTA

  2. Düşen bir paraşütçünün hızının “v”, zamanın “t” bir fonksiyonu olarak hesaplamak için Newton’un ikinci yasasına dayalı aşağıdaki eşitlik yazılabilir. Burada g yerçekimi ivmesi, m kütle ve c direnç katsayısıdır. Bilinmeyen fonksiyonu ve onun türevini içeren bu tür denklemler, diferansiyel denklem olarak adlandırılır. v – bağımlı değişken t –bağımsız değişken Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  3. Diferansiyel denklemler derecelerine göre sınıflandırılırlar. • Dereceden diferansiyel denklemler • - Lineerbirinci dereceden diferansiyel denk. • - Non-Lineerbirinci dereceden diferansiyel denk. • f(x,y) nonlineer Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  4. 2. Dereceden diferansiyel denklemler • - Lineerikinci dereceden diferansiyel denk. • İkinci dereceden denklem ikinci türev içerir • - Non-Lineerikinci dereceden diferansiyel denk. • f(x,y) nonlineer Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  5. dv = F dt m * Yüksek dereceli denklemler birinci dereceden denklemelere indirgenebilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  6. eğim Adım büyüklüğü • yi+1 = yi +Φh • Bu eşitliğe göre, h aralığı boyunca eski bir yideğerinden yeni bir yi+1 değerini ekstrapolasyonla bulmak için eğim tahmini Φ kullanılır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü • Bu formül, ileriye doğru adım adım uygulanabilir ve böylece çözümün yörüngesi çizilebilir.

  7. Euler Yöntemi Tahmin Hata Gerçek Çözüm Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü *Birinci türev, xi deki eğimin doğrudan tahmini verir. Φ= f(xi, yi) *Burada, f(xi, yi), xi ve yi’de hesaplanmış olan diferansiyel denklemdir. bu tahminler eşitlikte yerine konursa; yi+1 = yi +Φh Euler – Caucy Yöntemi (noktasal eğim)

  8. Euler Yöntemi ÖRNEK:Eşitliği sayısal olarak integre etmek için Euler yöntemini kullanın. Adım büyüklüğünü 0,5 alarak x =0 dan x=4’e kadar integre edin. Başlangıç koşulu : x = 0 to y = 1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  9. Euler Yöntemi Gerçek çözüm * Adım aralığı büyük oldukça hata artmaktadır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü • Euler çözüm hatalarını azaltabilmek için iyileştirmeler yapılmalıdır. Bu yöntemler; • Heun’s Method • Orta nokta (Midpoint) Method • Ralston Method

  10. = sabitler sabitler ve Runge-Kutta METODLARI • Euler yönteminin hatasını azaltmanın bir yolu çözümde Taylor serisinin daha yüksek dereceli terimlerini de almaktır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  11. Runge-Kutta METODLARI • Birinci derece RK methodu n=1Euler methodu. 2. İkinci derece RK methodu Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü *Taylor serisinin İkinci derece kuralları dikkate alındığında açılımında a1, a2, p1, ve q11 değerleri ile ilgili bağıntılar elde edilebilir.

  12. Runge-Kutta METODLARI En çok kullanılan üç metod; • Heun Methodu (a2=1/2) • Orta nokta (Midpoint) Methodu (a2= 1) • Raltson Methodu (a2= 2/3) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  13. y f(xi+h,yi+k1h) f(xi,yi) x xi xi+h y ea eğim: 0.5(k1+k2) x xi xi+h Runge-Kutta METODLARI Heun Methodu Eğim tahminini iyileştirmek için, biri aralığın başında diğer sonunda olmak üzere aralık için iki türev hesaplanır. Göz önüne alınan aralık için iyileştirilmiş bir eğim elde etmek amacıyla, daha sonra bu iki türevin ortalaması alınır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  14. y f(xi+h/2,yi+k1h/2) f(xi,yi) x xi xi+h/2 y ea Eğim: k2 x xi xi+h Runge-Kutta METODLARI Orta Nokta Methodu Aralığın orta noktasındaki y değerini tahmin etmek için Euler Yönetmi kullanılır. Daha sonra bu tahmini değer, orta noktadaki eğimi hesaplamak için kullanılır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  15. y f(xi+ 3/4 h, yi+3/4k1h) f(xi,yi) xi xi+3/4h x y ea Eğim: (1/3k1+2/3k2) xi xi+h x Runge-Kutta METODLARI RalstonMethodu Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  16. Runge-Kutta METODLARI Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  17. Runge-Kutta METODLARI 3. Derece RK methodu Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  18. Runge-Kutta METODLARI 4. Derece RK methodu Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  19. Runge-Kutta METODLARI Örnek: f(x,y)=-2x3+12x2-20x+8,5 denklemini adım büyüklüğünü h=0,5 alarak, x=0’da y=1 başlangıç koşulu ile integre etmek için klasik 4.derceden R.K yöntemini kullanın. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

  20. Runge-Kutta METODLARI Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü

More Related