Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ingeniería

1. Universidad Nacional Autónoma de MéxicoFacultad de Ingeniería Semestre 2005-2 Cálculo II Ing. Gustavo Rocha Beltrán Martín del Campo Vidal Francisco Amílcar La Curva Catenaria

2. Introducción. • Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. • La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.

3. Formulación discreta • Sea una cadena de bolitas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable. • Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.

4. La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa • Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos Tx.

5. Dividiendo la segunda ecuación por Tx tenemos la siguiente relación entre el ángulo θi y el ángulo θi+1 • A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal Tx de la tensión del hilo, le denominaremos parámetro g. La relación de recurrencia se escribe para cada bolita i=1... N.

6. Sumando miembro a miembro obtenemos el ángulo qN en función del ángulo inicial θ0 • Si los extremos del hilo están a la misma altura, por razón de simetría tendremos que • Sumando miembro a miembro la relación de recurrencia hasta el término i, obtenemos el ángulo θien función del ángulo inicial θ0. • El ángulo θique forma el hilo con la horizontal en la posición de cada una de las bolitas, el ángulo inicial θ0 y el final θN se calculan mediante la siguiente fórmula

7. Las coordenadas (xi , yi) de la bolita i se obtendrán sumando las proyecciones d·cosq j y d·senqj , j=0...i-1, sobre el eje X y sobre el eje Y respectivamente, siendo d la distancia entre dos bolitas consecutivas d=L/(N+1).

8. Catenaria simétrica Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea r la densidad del cable (masa por unidad de longitud). En la figura, se representa las fuerzas que actúan sobre una porción s de cable que tiene como extremo el punto más bajo A: • el peso, • la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el extremo izquierdo A de dicho segmento, • la fuerza que ejerce la parte derecha del cable sobre el extremo derecho P del segmento s.

9. La condición de equilibrio se escribe • O bien, • Derivando con respecto de x, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencialds2=dx2+dy2

10. Integrando esta ecuación, teniendo en cuenta que para x=a/2, (en el punto más bajo A de la curva) dy/dx=0 • Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=-h.

11. Como la catenaria es simétrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale. • La ecuación de la catenaria es, finalmente

12. La longitud de la catenaria es • Para calcular la tensión del cable, tomando en cuenta que

13. Aplicación • En términos matemáticos, una catenaria es la curva que adoptaría por la acción de la gravedad un cable pesado y perfectamente flexible colgado entre dos soportes; en el ferrocarril, donde se emplean tramos de hasta 2 Km, es la línea aérea de contacto de suspensión longitudinal, a través de la cual el pantógrafo de las locomotoras eléctricas capta la corriente de tracción. En una doble vía, va suspendida de unos postes situados a intervalos de hasta 73 m; cuando hay cuatro o más vías, se emplean hilos de flechar o pórticos transversales a la línea.

14. En cada poste, el hilo va fijado a un brazo que se desliza por un brazo de atirantado y se ajusta con objeto de que, en vía recta, el hilo de toma de corriente "zigzaguee" a lo largo de la vía para compensar el desgaste del frotador de los pantógrafos.

15. En el Reino Unido, los tramos de catenaria están sustentados a lo largo de la línea por postes situados a una distancia máxima de 73 m. El hilo de contacto, de cobre, va suspendido por péndolas de la curvada catenaria.

16. Fuentes. • Mecánica Para Ingeniería; Estática. Bedford, Anthony y Fowler Wallace. Pearson Educación.1996. • Larson, Roland E. Cálculo. McGraw-Hill Volumen 1. Sexta Edición. • Granville. Cálculo Diferencial e Integral. Editorial Limusa. • http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/solido/din_rotacion/catenaria/catenaria.htm • http://www.todotren.com.ar/trenesturisticos/tecno12.htm