L’ús metodològic dels problemes a l’aula de matemàtiques

1. L’ús metodològic dels problemes a l’aula de matemàtiques Ensenyar a Pensar? Aprendre a Pensar? M.Luz Callejo Antoni Vila Barcelona, 27 / 06 / 06

2. 2a Part: Com? Quins? Podem sistematitzar l’ensenyament amb la RP?

3. Avui no pretenem fer referències a com incidir en... Control Emocions i actituds Creences Condicions sòcioculturals Quins aspectes influeixen en el procés de resolució? Coneixements ...matemàtics ...estratègies RP Però sí veure com podem incidir implícitament en la resta d’aspectes Ús dels problemes a l'aula

4. Ús dels problemes a l'aula

5. Ús dels problemes a l'aula

6. Ús dels problemes a l'aula

7. ATENCIÓ: evitar la convivència de “dues matemàtiques” complexitat eficàcia equip - - - Amb l’ajuda d’ un problema Local Donant a la RP un paper Global Planificant el currículum donant a la RP un paper central + + + “Universal” Diferents nivells d’intervenció educativa: Ús dels problemes a l'aula

8. Característiques del problema • Arxius de problemes • Treball en grup • Comunicació • Reflexió sobre el procés Propostes centrades en la intervenció sobre la resolució d’un problema • Selecció / disseny del problema • Organització de la feina • Paper del professorat Ús dels problemes a l'aula

9. Característiques dels problemes • De tipologies diverses • Moure’s en diferents camps de la matemàtica • Presentar diferents formats d’enunciat • Evitar la identificació exclusiva a estructures matemàtiques • Diversificar propòsits • Diversificar la naturalesa de la informació • Contextualitzats... però amb compte • No siguem reduccionistes • No hem de permetre la coexistència de procediments “escolars” i procediments “quotidians”, de coses “permeses” en un context i no en l’altre • I per què no també una contextualització matemàtica? Ús dels problemes a l'aula

10. Característiques dels problemes • Òbviament accessibles.... • ...i rics • Tant des del punt de vista didàctic... (motiven, capten interès, esdevenen un repte,...) • Com des del punt de vista epistemològic... (són rellevants, estableixen connexions, admeten diferents processos de resolució, obren camps nous, admeten generalitzacions o optimitzacions, admeten reformulacions,...) • I tant de bo admetin diferents nivells de resposta Ús dels problemes a l'aula

11. És possible proposar problemes en qualsevol camp? • Dependència funcional, sense necessitat d’expressions algebraiques • Moviments al pla, sense necessitat de relacions mètriques • Fraccions, per a un nivell de 4t d’ESO Ús dels problemes a l'aula

12. És important identificar estructures matemàtiques a situacions molt diferents entre elles... SITUACIÓ 1: Deu amics volen pujar a una muntanya russa i tothom vol pujar amb tothom; els vagons només admeten dos “viatgers”. Estudiar la situació. I també identificar la relació entre diferents estructures matemàtiques i les maneres de representar-les SITUACIÓ 2: Estudiar el nombre de diagonals dels polígons SITUACIÓ 3: Estudiar el nombre de partits que es juguen en una lliga. SITUACIÓ 4: Estudiar el nombre de figures en la següent sèrie Ús dels problemes a l'aula

13. SITUACIÓ: Els quadrats i rectangles de la figura van “rodolant” (una paraula no massa apropiada) com si fossin rodes (pobres de nosaltres si les rodes fossin quadrades) pel damunt del terra que representa la línia horitzontal. A A A ...Però també cal evitar (?) la identificació exclusiva a estructures matemàtiques • O sigui... estudiar la situació a fons, associant-hi diferents estructures matemàtiques segons el cas Ús dels problemes a l'aula

14. Diversificar propòsits • Habitualment el propòsit és... CALCULAR UN RESULTAT NUMÈRIC • N’hi ha d’altres: • verificar una idea • optimitzar un procés • obtenir una pauta • prendre una decisió • explorar • construir • argumentar • ... Ús dels problemes a l'aula

15. Problemes de “càlcul de resultat únic” que poden ser reformulats • Quines dimensions té un rectangle de 70 m de perímetre i 250 m2 d’àrea? (... pot ser reformulat com a problema d’ “optimitzar un resultat”) Si pegat a una paret volem construir un corral rectangular de 250 m2 d’àrea envoltant-lo d’una tanca, hi ha diferents possibilitats? alguna d’elles tindrà el mínim cost possible? • Un objecte té un valor de 200€. Li apliquem un descompte del 15%, i a continuació li apliquem novament un descompte del 15%. Quin serà el seu preu de venda final? (... pot ser reformulat com a problema d’ “argumentar”) Per què després que durant dos anys seguits l’IPC hagi augmentat un 5% no podem dir que els preus han augmentat en total un 10%? Ús dels problemes a l'aula

16. Quina és l’àrea del quadrat ombrejat • si el quadrat que el conté té dimensions • 10x10 cm? (... pot ser reformulat com a • problema d’ “explorar i relacionar”) La següent seqüència de figures què creus que ens demostra? • (... o com a problema de “construir”) A partir del dibuix d’un quadrat qualsevol troba i explica’ns uns quants mètodes per construir un quadrat que tingui el doble d’àrea que l’inicial Ús dels problemes a l'aula

17. Diversificar la naturalesa de la informació • Habitualment a classe l’enunciat és precís, coherent, fa referència a situacions concretes, sense cap tipus d'ambigüitat,... IGUAL QUE LES SITUACIONS REALS DEL NOSTRE ENTORN, OI? (una tasca que fa referència a un cas concret) En comprar un objecte de 120€, té importància que primer t’apliquin el 20% de descompte per a continuació aplicar-te el 16% d’ IVA? o és preferible que ho facin a l’inrevés? (problema que sorgeix de considerar el cas general) En comprar un objecte, té importància que primer t’apliquin el descompte que t’han promès, per a continuació aplicar-te l’ IVA? o és preferible que ho facin a l’inrevés? Ús dels problemes a l'aula

18. Diversificar la naturalesa de la informació (una tasca en la que la informació de l’enunciat és completament precisa) Ets davant l’església i observes amb un angle de 35º que en la part superior del campanar hi ha un parallamps, veient la part superior d’aquest parallamps amb un angle de 38º. T’allunyes 14 m i ara els observes amb angles de 28º i 29º respectivament. Quina longitud té el parallamps? (problema que sorgeix d’admetre ambigüitats) Com t’ho faries, podent utilitzar aparells de mesura de longitud i d’angles, per poder amidar la longitud del parallamps que hi ha a la part superior del campanar de l’església? T’has fixat que estan fent obres? Ús dels problemes a l'aula

19. Contextualitzacions no estàndard Si volguessis construir una capsa de mistos com aquesta de dimensions 3cm x 2 cm x 1,5 cm, quant de cartró necessitaries? En Pep i en Pau són dos atletes que s’estan entrenant i van d’Alforja a Castillejos. En Pau corre la meitat del camí i camina l’altra meitat. En Pep corre la meitat del temps i camina l’altra meitat. Els dos atletes corren a la mateixa velocitat i caminen a la mateixa velocitat l’un que l’altre. Qui arribarà primer a Castillejos? Una pilota de 30 cm. de diàmetre està recolzada sobre la paret i sobre el terra. Podria passar una pilota de 5 cm. de diàmetre entre la paret i el terra sense tocar la gran? Ús dels problemes a l'aula

20. I per què no Contextualitzacions matemàtiques? Donat un quadrilàter qualsevol ABCD, estudia les característiques del quadrilàter MNPQ format pels quatre punts mitjos dels seus costats Podries construir un triangle amb dues bisectrius perpendiculars? La moneda A dóna una volta complerta al voltant de B sense relliscar fins que torna a la seva posició original. Quin angle ha girat al voltant del seu propi centre? Designem amb v l'àrea de la regió acolorida de color vermell i amb w l'àrea de la regió de color groc. Els diàmetres dels cercles són 6, 4, 4 i 2 cm. Troba quina relació hi ha entre les superfícies vermella i groga Ús dels problemes a l'aula

21. Alguns problemes “rics” Podries dissenyar una figura amb el mínim “cost” de peces possible de manera que tingués unes vistes frontal i lateral com les que s’indiquen? En quants zeros “acaba” 100! ? Tenim un pot cilíndric de 10 cm de diàmetre de base i 10 cm d’altura. Tenim també un cordill de 30 cm de longitud; creieu que és suficientment llarg per tal que des d’un punt de la circumferència de la tapa pugui donar un tomb sencer al pot i arribi al seu punt corresponent (projecció) de la circumferència de l’altra tapa? Quina és la longitud mínima perquè això pugui passar? I quina és la longitud mínima per aconseguir envoltar-lo des d’un punt a l’altre donant abans dos tombs al pot?I si... ? Ús dels problemes a l'aula

22. Alguns problemes amb diferents nivells de resposta Donats tres punts M, N, P no alineats construeix un triangle ABC que els tingui com a punts mitjos dels seus costats Una cabra es troba enmig d’un prat lligada per una corda de 10 m a una cantonada exterior d’un corral rectangular de 5m x 3m. Quina superfície d’herba es podrà menjar? Un ciclista puja per una carretera a la meitat de velocitat de la que després farà de baixada. Quina és la seva velocitat mitjana durant tot el trajecte? Ús dels problemes a l'aula

23. Resolució 2 Ús dels problemes a l'aula

24. Resolució 3 Ús dels problemes a l'aula

25. Resolució 1 càlcul d’àrea per combinació de treball amb escala i quadriculació Resultat: 280 m2 Ús dels problemes a l'aula

26. Figura 2 Figura 4 Figura 1 Figura 3 Resolució 2 càlcul d’àrea per descomposició de figures S = S1 + S2 + S3 – S4 Resultat: 290’6 m2 Ús dels problemes a l'aula

27. Figura 4 Figura 5 Figura 1 Figura 3 Figura 2 Resolució 3 càlcul d’àrea per descomposició de figures i treball amb escala S = S1 + S2 + S3 + S4 + S5 Resultat: 275 m2 Ús dels problemes a l'aula

28. Figura 1 Figura 3 Figura 2 Resolució 4 Ús dels problemes a l'aula

29. Ús dels problemes a l'aula

30. càlcul d’àrea per descomposició de figures i treball amb escala, junt amb molta imaginació S = S1 + S2 + S3 - S4 - S5 Resultat: 290’1 m2 Ús dels problemes a l'aula

31. ENUNCIAT DEL PROBLEMA CARACTERÍSTIQUES DEL PROBLEMA Ens donen tres punts qualssevol no alineats i ens diuen que són els tres punts mitjos dels costats d’un triangle. Explica un mètode que ens permeti construir aquest triangle • Possible nivell: 3r/4t ESO • Propòsit problema: construir, justificar • Finalit. instructives: donar significat a coneixe- • ments matemàtics; usar processos matemàtics • Implicació de: • conceptes medianes, baricentre, • proporcionalitat, semblances • fets Teorema de Tales, suma • angles interiors, particions • procediments construcció figures geom., • anàlisi característiques, esti- mació i comparació, • ús llenguatge algebraic • estratègies suposar el problema resolt • proc. matemàtics conjecturació, generalització, • verificació, justificació, comu- nicació, estudi casos límit, estudi camp validesa • Observacions: Assequible a un primer nivell; la comprensió de la situació en si mateixa ja té interès; per a alumnes molt avançats pot no suposar un problema (reconduir a extensions); pot fer falta alguna intervenció inicial dirigida a la motivació; els diferents nivells de resposta venen determinats per diferents nivells de justificació Possibles variants de menor complexitat (que poden ser previs o suggeriments) Si ens donen un triangle qualsevol, estudia les característiques del triangle format pels punts mitjos dels tres costats i estudia les relacions que s’estableixen entre ambdós triangles • Problemes d’ampliació • Si tenim els triangles ABC i MNP, i M, N i P són els punts mitjos dels costats d’ABC, investiga en quins casos els baricentres d’ambdós triangles coincideixen i argumenta la teva resposta. • Tenim un quadrilàter ABCD i tracem un nou quadrilàter MNPQ unint els quatre punts mitjos dels costats. Estudia les característiques d’aquest nou quadrilàter. Depèn de la forma d’ABCD? • Sempre que ens donin quatre punts MNPQ no alineats és possible construir un nou quadrilàter ABCD que tingui el mateix centre que l’anterior i que siguin semblants? Ús dels problemes a l'aula

32. Organització de la tasca • Treball en grup • Com organitzar el treball en petits grups: previs, durant, per acabar... • En un estadi més avançat el treball pot arribar a ser molt autònom • Afavorir la comunicació • Treball en petits grups • Evitar judicis ràpids • Evitar que s’acceptin o es desestimin idees “per què si” • Demanant generalitzacions • Demanant que s’analitzin els bloquejos • Demanant argumentacions • Reflexió sobre el procés • Protocols o Informes • Posada en comú Ús dels problemes a l'aula

33. RESOLUCION DE PROBLEMAS PAUTAS PARA EL TRABAJO EN GRUPO extret de Vila y Callejo, 2004 • Las sesiones pueden durar entre 30 y 40 minutos. El número de participantes recomendado: entre 4 y 6 alumnos • El moderador/a ha de guiar la sesión sin controlarla ni dirigirla. Sus funciones son: • Impedir que se valoren y critiquen las ideas, sean de quien sean. • Evitar que más de una persona hable al mismo tiempo, que se interrumpa a otra o que alguien acapare la palabra. • Dar sugerencias cuando hay un prolongado silencio o solicitar del secretario que lea la lista de ideas. • Proponer el uso de alguna técnica concreta. • Proponer el problema al inicio de la sesión y recordarlo en caso de que la atención se desvíe del mismo. • El secretario/a toma nota de la lista de las ideas emitidas durante la sesión. • Desarrollo de la sesión: • Comienza la sesión planteando el moderador/a el problema. La sesión se desarrollará en dos partes: • 1. Exposición de ideas. • 2. Selección de ideas. • Durante la exposición de ideas no se hace ninguna valoración de las mismas. Debe omitirse cualquier • juicio o punto de vista. Se evita todo tipo de comentarios. Puede darse cualquier criterio, cualquier idea. • El moderador/a ha de impedir que se critiquen las ideas emitidas. • Cuando el moderador/a considere que hay un número suficiente de ideas para seleccionarlas y valorarlas, • pasará a la segunda parte de la sesión. La selección puede obedecer a distintos criterios de valoración: • - ideas de utilidad inmediata; • - áreas que requieren mayor exploración; • - nuevos enfoques del problema Ús dels problemes a l'aula

34. Proposta reformulada Precisió en el llenguatge Importància d’argumentar Proposta Base: Demostra que des de qualsevol punt d’un triangle equilàter la suma de les distàncies als altres dos costats és constant Ús dels problemes a l'aula

35. Ens permet observar que dóna tombs innecessaris Conclusió! I si...? Ús dels problemes a l'aula

36. Extensions de major complexitat Ús dels problemes a l'aula

37. Un cert esgotament: situació “cremada” I si el triangle no és equilàter? Ús dels problemes a l'aula

38. Paper del professorat - Decisions • En relació a la planificació prèvia... • de la tasca: selecció de problemes “adequats” • de la gestió de l’aula: com s’organitzarà, a què es donarà especial importància,... • En “el moment de la veritat”, adoptant un “model de conducta Metacognitiva” • Orientant, més que guiant per un camí • Preguntant, més que aportant respostes • Animant més que censurant • Experimentant, reflexionant, explorant... més que informant • No adoptant un llenguatge “reduccionista” • Sempre... mostrant el seu “gust per la matemàtica” Ús dels problemes a l'aula

39. Intervencions més globals: donar a la RP el seu paper • El paper li donem nosaltres: què en pensem doncs? • I l’alumnat què en pensa? • Possibles finalitats de la RP • Il·lustrar • Aplicar • Avaluar • Contextualitzar (introduir) • Crear un ambient d’”investigació” • Motivar • Entretenir Ús dels problemes a l'aula

40. S’entén la idea de problema i la RP com... Finalitats acreditativa i il·lustrativa Eines per pensar matemàticament Característiques del model de treball amb problemes a l’aula... Reducció dels problemes a no-problemes La RP com a objecte i com a instrument d’aprenentatge Paper que donem a la RP Ús dels problemes a l'aula

41. Cos de coneixements ja elaborat Transmissió de coneixements “Aplicació” Exercicis de consolidació Transmissió d’ algorismes Transmissió de “mètodes” Problemes d’ “aplicació” Mètodes generals Mètodes propis de cada problema-tipus Problema-tipus 1 Problema-tipus 2 Problema-tipus n Model de Treball: Reducció dels problemes a NO-problemes DESENVOLUPAMENT MECANISMES Ús dels problemes a l'aula

42. Com t’ho faries, podent utilitzar aparells de mesura de longitud i d’angles, per poder amidar la longitud del parallamps que hi ha a la part superior del campanar de l’església? T’has fixat que estan fent obres? Ús dels problemes a l'aula

43. Calcula la suma de 1 + 2 + 4 + 8 + ..... • Suma dels termes d’una progressió geomètrica? • Resolució a partir de particularització – conjecturació – generalització? • Resolució a partir de representacions? Ús dels problemes a l'aula

44. Ús dels problemes a l'aula

45. extret de Vila y Callejo, 2004 Ús dels problemes a l'aula

46. extret de Vila y Callejo, 2004 Ús dels problemes a l'aula

47. extret de Vila y Callejo, 2004 Ús dels problemes a l'aula

48. SÓN PROPOSTES? SÓN REPTES? CONTINUEM CAMINANT MOLTES GRÀCIES Ús dels problemes a l'aula