1 / 98

MATEMATIKA DASAR

MATEMATIKA DASAR. BAB I. SISTEM BILANGAN. 1.1 SISTEM BILANGAN RIL. 1.1.1 BILANGAN RIL. RIL (R). RASIONAL (Q). IRRASIONAL (I). DESIMAL TERBATAS. PECAHAN. DESIMAL BERULANG. BULAT (J). NEGATIF. CACAH (W). ASLI (N). NOL. Himpunan Bilangan Asli (N) N = { 1, 2, 3, … }.

stacie
Download Presentation

MATEMATIKA DASAR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. MATEMATIKA DASAR

  2. BAB I SISTEM BILANGAN

  3. 1.1 SISTEM BILANGAN RIL 1.1.1 BILANGAN RIL RIL (R) RASIONAL (Q) IRRASIONAL (I) DESIMAL TERBATAS PECAHAN DESIMAL BERULANG BULAT (J) NEGATIF CACAH (W) ASLI (N) NOL

  4. HimpunanBilanganAsli (N) N = { 1, 2, 3, … } HimpunanBilangancacah (W) W = { 0, 1, 2, 3, … } HimpunanBilanganBulat (J) J = { … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } P q |p dan q  J, q  0 Q = Himpunanbilanganrasional (Q) Himpunanbilanganrasionaladalahhimpunanbilangan yang mempunyaibentuk p/q ataubilangan yang dapatditulisdalam bentuk p/q, dimana p dan q adalahanggotabilanganbulatdan q  0

  5. Contoh 1.1 Buktikanbahwabilangan-bilangan 3, (4,7) dan (2,5858…) adalahbilangan-bilanganrasional! Bukti: • a) Bilangan 3 dapatditulisdalambentuk p/q yaitu 3/1 atau 6/2 • danseterusnya. b) Bilangan 4,7 dapatditulisdalambentuk 47/10 • c) Bilangan 2,5858… dapatditulisdalambentuk p/q dengancara, x = 2,5858… 100 x = 258,5858… 99 x = 256 x = 256/99

  6. Latihan Buktikanbahwabilangan 2,342121212121… adalah bilanganrasional! Penyelesaian x = 2,342121212121 100 x = 234,2121212121 10000 x = 23421,21212121 10000 x = 23421,2121212121 … 100 x = 234,2121212121 … 9900 x = 23187 x = 23187/9900 Jadibilangan 2,3421212121212121 … = 23187/9900

  7. 1.1.2 GARIS BILANGAN RIL Garisbilanganriladalahtempatkedudukantitik-titik. Setiaptitikmenunjukkansatubilanganriltertentu yang tersusunsecaraterurut. -3 -2 -1 0 1,5 2,5 1.1.3 HUKUM-HUKUM BILANGAN RIL Jika a dan b adalahduabilanganrilmakaberlaku: (i) a + b adalahbilanganril (ii) a . b adalahbilanganril (iii) a + b = b + a HukumKomutatifPenjumlahan (iv) a . b = b . a HukumkomutatifPerkalian

  8. Jika a, b, dan c adalahtigabilanganrilmakaberlaku: (v) (a + b) + c = a + (b + c) adalahbilanganril (vi) (ab)c = a (bc) adalahbilanganril (vii) a(b + c) = ab + ac HukumKomutatifPenjumlahan a + 0 = 0 + a HukumPenjumlahanNol (ix) a . 1 = 1 . a = a HukumPerkalianSatu (x) a.0 = 0.a = 0 HukumPerkalianNol (xi) a + (-a) = -a + a HukumInversPenjumlahan (xii) a (1/a) = 1 , a  1 HukumInversPerkalian

  9. 1.2 BILANGAN KOMPLEKS Bentukumum z = a + ib a dan b adalahbilanganril a merupakanbagianrildaribilangankompleks, ditulis Re(z) b merupakanbagianimajinerdaribilangankompleks , ditulis Im(z) imerupakanbilanganimajiner = -1 i2 = -1 . -1 = -1 i3 = i2 . i = -i i4 = i2 . i2 = (-1)(-1) = 1 Dari keterangandiatasdidapat

  10. 1.2.1 SIFAT-SIFAT BILANGAN KOMPLEKSS Misal z1 = x1 + iy1dan z2= x2+ iy2,makaberlaku: z1 = z2 x1 = x2 dan y1 = y2 sifatkesamaan z1 + z2 = (x1 + x2) +i(y1 + y2) sifatpenjumlahan c) z1 - z2 = (x1 + x2) +i(y1 - y2) sifatpengurangan d) z1 . z2 = (x1 x2- y1 y2) +i(x1 y2 – x2y1) sifatperkalian 1.2.2 KONJUGAT Jika z = x+ iy, z z makakonjugatdari z (ditulis ) adalah = x – iy z Jika z = x - iy, Maka = x + iy

  11. 1.2.3 PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKS DENGAN KONJUGATNYA 1.2.4 PEMBAGIAN DUA BUAH BILANGAN KOMPLEKS x1 + iy1 x2 - iy2 z1 z1 z2 = = x2 - iy2 z2 z2 z2 x2 + iy2 = x1 x2 + ix1y2+ ix2y1 – i2y1y2 x22– i2y22 x1 x2 +y1y2 x1y2+ x2y1 = + i x22+ y22 x22+y22

  12. Contoh 1.2 Diketahui z1 = – 5 + 7i z2 = 3 – 2i Tentukan • z1 + z2 • z1 – z2 • z1 . z2 • z1 /z2 • z1. • z2. Penyelesaian z1 z2 (3 – 2i) • z1 + z2 = (– 5 + 7i) (–5 + 3) + (7i –2i) = –2 + 5i + = b) z1 – z2 = (– 5 + 7i) – (3 – 2i) = –5 +7i –3+2i)= –8 + 9i c) z1 . z2 = (– 5 + 7i)(3 – 2i) = –15 + 10i + 21i – 14i2= – 1 + 31i

  13. z1 = d) z2 = = 32+ (– 2)2 = (–5 + 7i)(3 + 2i) –29 11 = –15 –10i + 21i + 14i2 = –15 – 10i + 21i – 14 + i 13 13 f) z1 . z2 = –29 + 11i e) z1 . z2 (– 5)(3)+(7)(– 2) x1 x2 +y1y2 (7)(3) – (– 5)(– 2) x1y2+ x2y1 + i + i = (-5 - 7i)(3 - 2i) = – 5(3) – 5(– 2i) – 7i(3) –7i(–2i) 32+ (– 2)2 x22+ y22 x22+y22 = – 15 + 10i – 21i + 14i2 = –15 – 11i –14 = –29 – 11i

  14. 1.3 PERTIDAKSAMAAN Pertidaksamaanadalahpernyataan yang mengandung <, >, , atau  Pertidaksamaanterdiridaripertidaksamaan linier dan non-linier 1.3.1 Sifat-sifat (i) Jika a > b dan b > c, maka a > c (ii) Jika a > b, maka a + c > b + c (iii) Jika a > b, maka a – c > b – c (iv) Jika a > b, dan c adalahbilanganpositif, maka ac > bc (v) Jika a > b, dan c adalahbilangannegatifmaka ac < bc

  15. Analog dengan (i) s.d. (v), (vi) Jika a > b dan b > c, maka a > c (vii) Jika a > b, maka a + c > b + c (viii) Jika a > b, maka a – c > b – c (ix) Jika a < b, dan c adalahbilanganpositif, maka ac > bc (x) Jika a < b, dan c adalahbilangannegatif, maka ac < bc

  16. Sifat-sifatlainnya (xi) ac > 0, jika a > 0 dan c > 0 ataujika a < 0 dan c < 0 (xii) ac < 0, jika a < 0 dan c > 0 ataujika a > 0 dan c < 0 a/c > 0, jika a > 0 dan c > 0 ataujika a < 0 dan c <0 a/c < 0, jika a < 0 dan c > 0 ataujika a > 0 dan c <0 (xv) Jika a > b, maka – a < – b Jika 1/a < 1/b, maka a > b Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentukkomposit) Jika a>b>c, maka b , a atau b > c (bentukkomposit)

  17. 1.3.2 Selang (interval) Selangadalahhimpunanbagiandaribilanganril yang mempunyaisifat-sifatrelasitertentu Jikabatas-batasnyamerupakanbilanganril, maka disebutselanghingga. Jikabatas-batasnyabukanbilanganril, makadisebut selangtak-hingga. Lambang menyatakanmembesartanpabatas. Lambang – menyatakanmengeciltanpabatas. Berikutdiberikancontoh-contohselang

  18. b a ) (

  19. a b [ ] b a ) (

  20. a a b b [ [ ] ) b a ) (

  21. a a a b b b [ [ ( ] ) ] b a ) (

  22. a [

  23. a [ a [

  24. a b [ ) a [

  25. a b b [ ) ] a [

  26. a b b [ ) ] a [

  27. 1.3.3 Pertidaksamaan linier satupeubah a dan b adalahbilanganril (?) adalahsalahsatudari <, >, , atau  Bentukumum ax + b (?) 0 Contoh 1.5 Selesaikanpertidaksamaan 7x + 9 < –5 Penyelesaian 7x+9<–5  semuaruasdikurangsembilan  7x + 9 –9 < –5 –9 7x < –14  x < –2 Himpunanpenyelesaian {x|x< –2} ) -2 Selangterbuka

  28. Untukkesederhanaan, penyelesaianpertidaksamaan linier satu peubahdapatdiselesaikandengancaramengelompokkan peubahpadasalahsaturuasdanmengelompokkankonstan padaruaslainnya. Ingat, setiapmemindahkansukupadaruas yang berbeda tandanyaakanberubah!

  29. Contoh 1.7 • Tentukanhimpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan • 3x – 2  8 + 5x • Penyelesaian • 3x – 2  8 + 5x Pidahkan 5x keruaskiridan -2 ke ruaskanan • 3x – 5x  8 + 2 Kelompokkanpeubah x padaruaskiridan • kelompokkankonstanpadaruaskanan. • – 2x  10 • (– 1/2)(– 2x)  (10)(– 1/2)Jikamengalikansetiapruasdengan • bilangannegatifmakatanda • pertidaksamaanharusdibalik • (sifatpertidaksamaan xv) • x  – 5 • Himpunanpenyelesaian {x|x  – 5} ] –5 Selangterbuka

  30. Contoh 1.8 Tentukanhimpunanpenyelesaiandaripertidaksamaan Penyelesaian 4 – 2x 5 4 – 2x 5 kalikansemuaruasdengan 5 < 2x – 1 < 2x – 1 4 < 4 < 4 – 2x 5 (5) < (2x – 1)(5) 4(5) < 20 < 4 – 2x < 10x – 5 dipecahmenjadiduabagian, yaitu 4 – 2x > 20 dan 4 – 2x < 10x – 5 (sifatpertidaksamaan xvii) 4 – 2x > 20  2x – 4 < –20 2x < 4 – 20  x < –8 4 – 2x < 10x – 5  –2x –10x < –5 – 4 – 12x < –9  12x > 9  x > 3/4 Jadihimpunanpenyelesaiannyaadalah {x|x , -8 atau x > 3/4} ( 3/4 ) – 8 Selangterbuka

  31. 1.3.4 NilaiMutlak Nilaimutlakdari x dinyatakandengan |x| Definisi Teorema-teorema Jika a dan b adalahbilanganril, maka x jika x  0 –x jika x < 0 |x|= (i) |x| < a  –a < x < a (ii) |x| > a  x > a atau x < –a (iii) |x|  a  –a x  a (iv) |x|  a  x  a atau x  –a (v) |x| = a  x = a atau x = –a

  32. (vi) |ab| = |a||b| Bukti = |a||b| (terbukti) a b a2 = a2 b2 , b  0. (vii) a b a b = = Bukti = = (terbukti) a b a b a b 2 a b 2 2 |ab|=(ab)2 2 2 b2 = = (terbukti)

  33. |a – b||a|+|b| Bukti |a – b|=|a +(–b)| |a|+|b| (terbukti) |a|– |b| |a – b| Bukti |a|=|(a – b)+b||a – b|+|b| Jikasetiapsukudikurangdengan |b|, maka |a| – |b| |a – b| (terbukti) Contoh 1.9 Selsaikanpertidaksamaan |x – 5|  4, gambarkangaris bilangandanselangnya! Penyelesaian

  34. |x – 5|  4  –4  x – 5  4 (teorema iii) Denganmemperhatikansifatpertidaksamaan xvii, makakita dapatkanduabuahpertidaksamaan, yaitu x – 5  – 4 dan x – 5  4 Selanjutnyaselesaikansatu per satupertidaksamaantersebut! x – 5  – 4  x  – 4 + 5  x  1 x – 5  4  x  4 + 5  x  9 Jadihimpunanpenyelesaianpertidaksamaanadalah {x|1  x  9} [ 1 ] 9 Selangtertutup

  35. Contoh 1.10 Selesaikanpertidaksamaan |x – 7| > 3, gambarkangarisbilangan danselangnya! Penyelesaian |x – 7| > 3  –3 > x – 7 > 3 (teorema iii) Denganmemperhatikansifatpertidaksaman xviii, kitadapatkan duabuahpertidaksamaan, yaitu x – 7 > 3 dan x – 7 < –3  x < 4  x – 7 < –3 x < –3 + 7   x > 3 + 7 x > 10 x – 7 > 3 Jadihimpunanpenyelesaianpertidaksamaanadalah {x|x < 4 atau x > 10} ) 4 ( 10 Selangterbuka

  36. 1.3.5 Pertidaksamaan linier duapeubah Bentukumum ax + by + c (?) 0 a, b, dan c adalahbilangan-bilanganril (?) adalahsalahsatu, , , atau  Algoritma Gantitandapertidaksamaandengantandasamadengan. Ingat! Garis yang digambarmembagibidangmenjadidua bagian. 2. Jikapertidaksamaanmenggunakantanda atau , berarti garistersebuttermasukbidang yang akandigambarkan. 3. Jikapertidaksamaanmenggunakantanda< atau >, berarti garistersebuttidaktermasukbidang yang akandigambarkan. 4. Pilihsalahsatutitikkoordinatpadasalahsatubidangdan substitusikanpadapertidaksamaan. Jikamenghasilkanpernyataan yang benar, makabidangtsb merupakanbidang yang dimaksud.

  37. Contoh 1.11 Gambarkangrafikpertidaksamaan 3x – 2y  8 Penyelesaian Langkah 1. Gantitandapertidaksamaanmenjaditandasamadengan.  8 = 3x – 2y  3x – 2y 8 y = (–3/–2)x + 8/–2 3x – 2y = 8  –2y = –3x + 8  y = 3/2 x – 4

  38. Langkah 2 Gambarkangrafik y = 3/2 x – 4 0 –4 y 0 8/3  (8/3, 0) x 0,0 (0, –4) 

  39. y = 3/2 x – 8 y  (8/3, 0) x 0,0 (0, –4) 

  40. Langkah 3 Pilihtitikkoordinat (0,0) y = 3/2 x – 8 y   (8/3, 0) x 0,0 (0, –8) 

  41. Langkah 4 Substitusititikkoordinat (0,0) kedalampertidaksamaan 3x – 2y  8 y = 3/2 x – 8 y     (8/3, 0) x 0,0 3(0) – 2(0) 8 (0, –8) 0 8 

  42. Langkah 5 Warnai/Arsirbidang yang memenuhi y y = 3/2 x – 8   x 0,0 (8/3, 0) (0, –8) 

  43. TIPS Bidangdisebelahkanangarismerupakandaerah > Bidangdisebelahkirigarismerupakandaerah<

  44. TIPS y  x

  45. TIPS y L e b i h k e c i l  x 0,0 L e b i h b e s a r

  46. TIPS y L e b i h b e s a r  x 0,0 L e b i h k e c i l

  47. 1.3.6. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER Sistempertidaksamaan linier sistem yang terdiridarilebih darisatupertidaksamaan linier Contoh 1.13 Gambarkangrafikpertidaksamaan 2y + 3x < 5 dan x – y  –3 Penyelesaian Langkah 1 GantiPertidaksamaanmenjadipersamaan 2y + 3x = 5 x – y = –3

  48. Langkah 1 GantiPertidaksamaanmenjadipersamaan 2y + 3x = 5 x – y = –3 Langkah 2 Gambarkangrafikpersamaan Langkah 3 Arsiratauwarnaidaerah yang memenuhi

More Related