Matematika Dasar

1. Matematika Dasar Oleh Ir. Dra. Wartini, M.Pd

2. Pertidaksamaan Definisi Salah satu pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda ketidaksamaan, yaitu: <, >, ≤, atau ≥.

3. Sifat-sifat • Jika a > b dan b > c, maka a > c. • Jika a > b, maka a + c > b + c. • Jika a > b, maka a - c > b - c. • Jika a > b dan c > 0, maka ac > bc. • Jika a > b dan c < 0, maka ac < bc.

4. Sifat Pertidaksamaan Lainnya • ac > 0, jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0. • ac < 0, jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0. • a/c > 0, jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0. • a/c < 0, jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0.

5. Jika a < b dan b < c, maka a < c. • Jika a < b, maka a + c < b + c. • Jika a < b, maka a - c < b - c. • Jika a < b dan c > 0, maka ac < bc. • Jika a < b dan c < 0, maka ac > bc.

6. Selang (Interval) Definisi • Himpunan bagian dari bilangan riil yang memenuhi sifat relasi tertentu. • Jika batas-batasnya adalah bilangan riil maka dinamakan selang hingga. • Jika bukan bilangan riil dinamakan selang tak hingga ( ∞ ). • Lambang ∞ menyatakan membesar tanpa batas dan lambang - ∞ menyatakan mengecil tanpa batas.

7. Contoh selang

8. Bentuk Umum:ax + b ( ? ) 0 Pertidaksamaan Linier dengan Satu Peubah dimana: a dan b konstan ( ? ) adalah salah satu dari tanda- tanda <, >, ≤, dan ≥.

9. Contoh • Selesaikan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan: 1. 7x + 9 < -5 2. 1 + 4x < 2x + 9 3. 3x – 2 ≥ 8 + 5x 4. ½ + 5x < ¾ - 6x

10. Pertidaksamaan Linier Dengan Dua Peubah Bentuk Umum:ax + by + c (?) 0 dimana: a,b,c bilangan riil, a ≠ 0 (?) salah satu dari tanda: <, >, ≤, dan ≥

11. Prosedur • Ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan, selanjutnya gambarkan grafik persamaan linier yang dimaksud. Grafik persamaan linier merupakan garis yang membagi bidang menjadi dua bagian. • Jika pada pertidaksamaan menggunakan tanda ≥ atau ≤, berarti garis tersebut termasuk pada bagian grafik, selanjutnya garis tersebut digambarkan dengan garis penuh.

12. Jika pertidaksamaan menggunakan tanda < atau >, berarti garis tersebut bukan bagian dari grafik yang akan digambarkan, selanjutnya garis-garis tersebut digambarkan dengan garis putus-putus. • Pilih salah satu titik koordinat pada masing-masing bidang dan kemudian substitusikan pada pertidaksamaan. Jika substitusi ini menghasilkan pernyataan yang benar, maka bidang tempat titik tersebut berasal adalah bidang yang dimaksud.

13. Sebaliknya, jika substitusi menghasilkan pernyataan yang salah maka bidang tempat titik tersebut berasal, bukan bidang yang dimaksud. • Untuk keseragaman bidang yang memenuhi pertidaksamaan diarsir.

14. Contoh: • Gambarkan grafik pertidaksamaan: 1. 3x – 2y ≥ 8 2. y + 2x > 4 3. 4x – 5y ≤ 6 4. x + y < 3

15. Pertidaksamaan Dengan Nilai Mutlak Nilai Mutlak Nilai mutlak dari x, ditulis l x l, didefinisikan sebagai:

16. Teorema-teorema l x l < a ↔ -a < x < a atau x > -a dan x < a l x l > a ↔ x > a atau x < -a l x l ≤ a ↔ -a ≤ x ≤ a atau x ≥ -a dan x ≤ a l x l ≥ a ↔ x ≥ a atau x ≤ -a l x l = a ↔ x = a atau x = -a l ab l = l a l . l b l l a/b l = l a l / l b l l a + b l ≤ l a l + l b l l a – b l ≤ l a l + l b l l a l – l b l ≤ l a – b l

17. Contoh • Selesaikan pertidaksamaan: 1. l x – 5 l ≤ 4 2. l x – 7 l > 3 3. l 6 – 2x l ≥ 7 4.

18. Sistem Pertidaksamaan Linier Lebih dari satu pertidaksamaan yang diselesaikan secara serentak.

19. Contoh: • Gambarkan grafik sistem pertidaksamaan linier: 1. x + 3y ≤ 9 3. 3x + y ≤ 4 x – 2y > 6 x – 2y > 4 2. x + 2y ≥ 4 x ≥ 0 dan y ≥ 0 x – y < 3