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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA DÍA 61 * 1º BAD CT

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA DÍA 61 * 1º BAD CT. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA. Ya sabemos una clasificación de las variables estadísticas en discretas y continuas, atendiendo al conjunto de valores que podían tomar.

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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUA DÍA 61 * 1º BAD CT

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  1. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONTINUADÍA 61 * 1º BAD CT

  2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA • Ya sabemos una clasificación de las variables estadísticas en discretas y continuas, atendiendo al conjunto de valores que podían tomar. • Ejemplos de variable discreta es el número de hijos de una familia, la edad, en semanas, a que comienza a andar un niño o el número de respuestas falladas en un test. • Ejemplos de variables continuas son: las estaturas y pesos de los individuos, los tiempos de espera de un autobús, la duración de un tipo de pilas, etc. • Si los valores de la variable son muy numerosos y dispersos, éstos han de agruparse en intervalos a fin de obtener frecuencias apreciables. Estos intervalos se denominan ­clases. • Consideremos la variable continua Xi que mide la concentración (mg/l) de disolvente en 100 muestras de agua fluvial. Los resultados se dan en la tabla , donde la primea columna indica las clases y la segunda columna las frecuencias relativas:

  3. EJEMPLO de DISTRIBUCIÓN de PROBABILIDAD CONTINUA • Consideremos la variable continua Xi que mide la concentración (mg/l) de disolvente en 100 muestras de agua fluvial. • Los resultados se dan en la tabla , donde la primea columna indica las clases y la segunda columna las frecuencias relativas: 10 20 30 40 50 60 mg/l

  4. … Ejemplo • Incrementando el número de muestras recogidas a 500, 1.000, 2.000, ...,1.000.000, en lugar de las 100 que tenemos; a la vez que reducimos la longitud de los intervalos de clase, (0, 1) , (0, 0’1) , (0, 0’01), … en lugar de (0, 10) que tenemos , se llega a histogramas cuyos lados superiores forman una poligonal que cada vez es menos irregular. • Las frecuencias relativas de las clases se aproximarían a las probabilidades respectivas. • Idealmente se llegaría a una línea poligonal superior curva­, bajo la cual el área limitada es la unidad.. • La curva así obtenida nos permitirá calcular probabilidades de la variable continua Xi en cualquier entorno. • Esta curva se llama FUNCIÓN DE DENSIDAD. • Calcular probabilidades es hallar el área comprendida entre la función de densidad y el eje Xi , entre dos valores de xi

  5. FUNCIÓN DE DENSIDAD En color rojo se aprecia la línea quebrada o Función de Distribución de una variable continua. En color azul se ha superpuesto la Función de densidad en que se convierte al aumentar notablemente el número de intervalos o clases. 0 10 20 30 40 50 60 mg/l

  6. Para que f(x) sea una función de densidad debe cumplir las siguientes condiciones: • 1.- f(x) ≥ 0, para todo valor del intervalo [a, b] donde la variable aleatoria tiene su campo de definición. • 2.- El área limitada por la curva f(x), entre los extremos a y b y el eje de abscisas, es la unidad. • 3.- Las áreas determinadas por f(x) en cualquier intervalo [x1, x2] incluido en [a, b] es la probabilidad de que la variable continua Xi esté en el intervalo [x1, x2] a x1 x2 f (x) > 0 b

  7. El área que nos interese se calculará: • Por el cálculo integral. • Ocasionalmente por métodos geométricos elementales. • O mediante tablas ya elaboradas para este fin.

  8. EJERCICIO_1 • Sea la función: • f(x) = 1 / 4 , si x є[0, 4] • 0 , si x є [0, 4] • Comprueba que es una función de densidad. • Calcula P(1,6 ≤ x ≤ 5,2) • Área del rectángulo: • A=b.h = 4. ¼ = 1 • P(1,6 ≤ x ≤ 5,2) = (4 – 1,6). ¼ = • = 2,4. ¼ = 0,6 Pi 0,25 0 1 2 3 4 1,6

  9. Pi 2 • EJERCICIO_2 • Sea la función: • f(x) = 2.x , si x є[0, 1] • 0 , si x є [0, 1] • Comprueba que es una función de densidad. • Calcula P(0,6 ≤ x ≤ 0,9) • Área del rectángulo: • A=b.h / 2 = 1 . 2 / 2 = 1 • Área del trapecio = P • P(0,6 ≤ x ≤ 0,9) = • = [(1,8 + 1,2) / 2 ] .(0,9 – 0,6) = • = 1,5.0,3 = 0,45 0 1 x • Calculamos las ordenadas: • f(1) = 2.1 = 2 • f(0) = 2.0 = 0 • f(0,6) = 2.0,6 = 1,2 • f(0,9) = 2.0,9 = 1,8

  10. Calculamos las ordenadas: • f(a) = 0,33.a - 1 • f(0) = 0,33.0 – 1 = - 1 • f(3,1) = 0,33.3,1 – 1 = 0,033 • f(4,2) = 0,33.4,2 – 1 = 0,4 • Ejercicio_3 • Sea la función: • f(x) = (1/3).x - 1 , si x є[3, a] • 0 , si x є [3, a] • Hallar el valor de a para que f(x) sea una función de densidad. • Calcula P(3,1 ≤ x ≤ 4,2) • Área del triángulo = 1 • (a – 3).(a / 3 – 1) / 2 = 1 • (a – 3)2 = 6  a – 3 = 2,45  • a = 5,45 • P(3,1 ≤ x ≤ 4,2) = • [(0,4+0,033) / 2].(4,2 – 3,1)= 0,2383 Pi f(a) 0 3 6 x 3,1 4,3 5,45

  11. Calculamos las ordenadas: • f(a) = 0,5.a - 3 • f(0) = 0,5.0 – 3 = - 3 • f(6,1) = 0,5.6,1 – 3 = 0,05 • f(6,2) = 0,5.6,2 – 3 = 0,10 • Ejercicio_4 • Sea la función: • f(x) = (1/2).x - 3 , si x є[6, a] • 0 , si x є [6, a] • Hallar el valor de a para que f(x) sea una función de densidad. • Calcula P(6,1 ≤ x ≤ 6,2) • Área del triángulo = 1 • (a – 6).(a / 2 – 3) / 2 = 1 • (a – 6)2 = 4  a – 6 = 2  a = 8 • P=Área del trapecio. • P(6,1 ≤ x ≤ 6,2) = • [(0,10+0,05) / 2].(6,2 – 6,1)= 0,0075 Pi f(a) 6 8 9 10 x 6,1 6,2

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