Matematika Komputasi Inferensi Logika

1. Matematika KomputasiInferensi Logika

2. RULE OF INFERENCE

3. Modus Ponen Law of Detachment p → q p VALID ∴ q

4. Contoh: Contoh 1: Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bil. genap 20 habis di bagi 2 ∴ 20 adalah bilangan genap Contoh 2: If it snows today, we will go skiing It snows today ∴ We will go skiing

5. Modus Tollen p → q ¬q ∴¬p

6. Contoh: Contoh 1: Jika n bilangan ganjil, maka n2 bernilai ganjil n2 bernilai genap; (keduanya benar) ∴ n bukan bilangan ganjil

7. Silogisme Silogisme Hipotesis p → q q → r ∴ p → r

8. Contoh: Jika saya belajar dengan giat maka saya lulus ujian Jika saya lulus ujian, maka saya cepat menikah ∴ jika saya belajar dengan giat, maka saya cepat menikah

9. Silogisme Disjungtif p V q ¬p ∴ q

10. Contoh: Saya belajar dengan giat atau saya menikah th. depan Saya tidak belajar dengan giat ∴ Saya menikah tahun depan

11. Simplifikasi Penyederhanaan Konjungtif p Λ q p Λ q ∴ p ∴ q

12. Contoh: Hamid adalah mahasiswa UB dan mahasiswa Unmuh Hamid adalah mahasiswa UB • Contoh: Hamid adalah mahasiswa UB dan mahasiswa Unmuh Hamid adalah mahasiswa Unmuh

13. Konjungsi p q ∴ p Λ q

14. Contoh: Kasino mengambil matakuliah diskrit Kasino mengulang matakuliah algoritma ∴ Kasino mengambil matakuliah diskrit dan mengulang matakuliah algoritma

15. Addition p ∴ p V q ∴berdasar pada tautologi p (p V q)

16. Contoh: Kasino mengulang matakuliah algoritma ∴ Kasino mengambil matakuliah diskrit atau mengulang matakuliah algoritma

17. Dilema Konstruktif (p→q)Λ(r→s) pVr ∴ qVs

18. Dilema Destruktif (p→q)Λ(r→s) ¬qV¬s ∴¬pV¬r

19. Intro • Sebagai landasan untuk pembuktian dalam matematika • Pembuktian matematika terdiri dari argumen yang valid yang menyatakan kebenaran dari pernyataan matematika • Argumen berisi beberapa penyataan yang dapat menghasilkan kesimpulan. • Dikatakan valid, apabila dari pernyataan-pernyataan yang ada (permis) harus menuju ke sebuah kesimpulan.

20. Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19

21. Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19 Single Statement

22. Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19 Single Statement

23. Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19 Multiple Statement

24. Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19 Premis Conclusion

25. Argument Semua anak gaul penggemar Dewa-19 Kasino adalah anak gaul Kasino adalah penggemar Dewa-19

26. h1 h2 h1Λ h2Λ ...Λ hn→ c ... Tautology hn ∴ c Argument is Valid

27. h1 : Jika Kasino anak gaul penggemar Dewa-19 maka ia penggemar Dewa-19 h2 : Kasino adalah anak gaul ∴Kasino adalah penggemar Dewa-19 h1: p → h2: p

28. h1 : Jika Kasino anak gaul penggemar Dewa-19 maka ia penggemar Dewa-19 h2 : Kasino adalah anak gaul ∴ Kasino adalah penggemar Dewa-19 h1: p → h2: p

29. h1 : Jika Kasino anak gaul penggemar Dewa-19 maka ia penggemar Dewa-19 h2 : Kasino adalah anak gaul ∴ Kasino adalah penggemar Dewa-19 h1: p →q c: q h2: p

30. h1: p h2: p → q c: q h1 Λ h2→ c (p → q)Λ p →q

32. Contoh: • Contoh 1: Jika Anda punya password, anda bisa login ke network Anda mempunyai password Jadi Anda bisa login ke network • Contoh 2: Jika Anda punya akses ke e-learning, Anda bisa submit tugas Anda punya akses ke e-learning Anda bisa submit tugas p → q p ∴ q

33. Contoh Tunjukkan bahwa: • It is no sunny this afternoon and it is colder than yesterday • We will go swimming only if it is sunny • If we do not go swimming, then we will take a canoe trip • If we take a canoe trip, then we will be home by sunset Akan menghasilkan kesimpulan: • We will be home by sunset

34. p: it is sunny this afternoon • q: it is colder than yesterday • r: we will go swimming • s: we will take a canoe trip • t: we will be home by sunset Dengan pernyataan yang ada kita dapat dengan mudah membentuk: ¬p ^ q, rp, ¬rs, st dan menghasilkan kesimpulan t Tapi kita harus memberikan argumen yang valid seperti berikut:

35. Step Alasan Premise Simplifikasi (1) Premise Modus tollen (2) dan (3) Premise Modus ponen (4) dan (5) Premise Modus ponen (6) dan (7) • ¬p ^ q • ¬p • rp • ¬r • ¬rs • s • st • t

36. Latihan 1 • Buktikan apakah argumen berikut valid apa tidak! p ʌ q (p v q) => r r

37. Latihan 2 • Diketahui beberapa kondisi: • p = kacamataku ada di dapur • q = aku melihat kacamataku ketika sarapan • r = aku membaca koran di ruang tamu • s = aku membaca koran di dapur • t = kaca mata ku letakkan di meja tamu • u = aku membaca buku di ranjang • w = kacamataku kuletakkan di meja samping ranjang • fakta yang diketahui: • p=>q • r v s • r=>t • ~q • u=>w • s=>p • Tentukan letak kacamata itu sekarang !!

38. Latihan 2 • Diketahui beberapa kondisi: • p = anakku ada di dapur • q = aku melihat anakku ketika memasak • r = aku mengepel di kamar • s = aku mengepel di dapur • t = aku melihat anakku bermain di kamar • u = aku tidur • w = aku melihat anakku di ruang kerja • v = anakku melihat tv • fakta yang diketahui: • p=>q • s v r • r=>t • ~q • t=>u • u=>w • s=>p • Tentukan letak anak itu sekarang !!

39. Any Questions??

40. Predicate & Quantifier

41. Kalimat terbuka • Terdiri dari satu atau banyak variable • Bukan kalimat, tetapi akan menjadi kalimat jika variable-nya diganti dengan nilai tertentu • Contoh: x + 2 merupakan bilangan bulat genap

42. Kuantor ( Quantifier ) • Suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan.

43. Predikat & Kuantifier Pernyataan “x > 3” punya 2 bagian, yakni “x” sebagai subjek dan “ adalah lebih besar 3” sebagai predikat P. Kita dpt simbolkan pernyataan “x > 3” dengan P(x). Sehingga kita dapat mengevaluasi nilai kebenaran dari P(4) dan P(1). Subyek dari suatu pernyataan dapat berjumlah lebih dari satu. Misalkan Q(x,y): x - 2y > x + y

44. Kuantifikasi Universal “P(x) benar untuk semua nilai x dalam domain pembicaraan” x P(x). Soal 2. Tentukan nilai kebenaran x (x2 x) jika: x bilangan real x bilangan bulat Untuk menunjukkan x P(x) salah, cukup dengan mencari satu nilai x dalam domain shg P(x) salah. Nilai x tersebut dikatakan contoh penyangkal (counter example) dari pernyataan x P(x).

45. Contoh : Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5 Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( bernilai salah )

46. Kuantifikasi Eksistensi “Ada nilai x dalam domain pembicaraan sehingga P(x) bernilai benar” x P(x). • Contoh : Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5 Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( bernilai benar ) Soal 3. Tentukan nilai kebenaran dari x P(x) bila P(x) menyatakan “x2 > 12” dan domain pembicaraan meliputi semua bilangan bulat positif tidak lebih dari 4.

47. Negasi “Setiap mhs dalam kelas ini telah mengambil Kalkulus I” [x P(x)] Apakahnegasi dari pernyataan ini….? “Ada seorang mhs dalam kelas ini yang belum mengambil Kalkulus I” [ x  P(x)] Jadi, x P(x) x  P(x).

48. Negasi (2) Soal 4. Carilah negasi dari pernyataan berikut: “Ada politikus yang jujur” “Semua orang Indonesia makan pecel lele” Soal 5. Tentukan negasi dari: x(x2 > x) x (x2 = 2)

49. Kuantifier Bersusun (Nested Quantifier) x y (x+y = y+x) berarti x+y = y+x berlaku untuk semua bilangan real x dan y. x y (x+y = 0) berarti untuk setiap x ada nilai y sehingga x+y = 0. x y z (x+(y+z) = (x+y)+z) berarti untuk setiap x, y dan z berlaku hukum asosiatif x+(y+z) = (x+y)+z.

50. Soal-soal Soal 6. Artikan kalimat ini dalam bhs Indonesia: x (C(x)  y ( C(y)  F(x,y))), bila C(x) : “x mempunyai komputer”, F(x,y): “x dan y berteman”, dan domainnya adalah semua mhs di kampus. Soal 7. Bagaimana dengan berikut ini: x y z((F(x,y)  F(x,z)  (y  z)  F(y,z)) Soal 8.Nyatakan negasi dari pernyataan x y (xy=1).