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GEOMETRÍA ESPACIO MÉTRICA

GEOMETRÍA ESPACIO MÉTRICA. TEMAS 6 y 7 Pág: 134-140, 142-143 Pág: 162-163, 168-169. En esta parte de la geometría vamos a ver situaciones relacionadas con la medida de ángulos y distancias

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GEOMETRÍA ESPACIO MÉTRICA

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Presentation Transcript

  1. GEOMETRÍA ESPACIOMÉTRICA TEMAS 6 y 7 Pág: 134-140, 142-143 Pág: 162-163, 168-169

  2. En esta parte de la geometría vamos a ver situaciones relacionadas con la medida de ángulos y distancias Es aplicación de lo visto anteriormente; en particular, del producto de vectores escalar, vectorial y mixto y de las posiciones relativas entre rectas y planos. Aunque veremos alguna fórmula, no sería necesario añadir nada nuevo a lo que ya se ha visto.

  3. ÁNGULOS

  4. ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS Es el menor de los dos ángulos que forman sus vectores directores

  5. ÁNGULO ENTRE DOS PLANOS El ángulo entre dos planos que se cortan es el menor de los ángulos que forman. Coincide con el que forman sus vectores normales.

  6. ÁNGULO ENTRE RECTA y PLANO Es el ángulo que forma la recta con la proyección ortogonal de ésta sobre el plano. Coincide con el complementario del que forman un vector director de la recta y uno normal del plano.

  7. PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD • Entre dos rectas r y s: • Entre dos planos α y β: • Entre una recta r y un plano α:

  8. Ejemplos: • Ángulo entre rectas: pág 137: 6 • Ángulo entre planos: pág 137: 7 • Ángulo entre recta y plano: pág 150:7

  9. PROYECCIONES

  10. PUNTO SOBRE PLANO

  11. PUNTO SOBRE RECTA

  12. RECTA SOBRE PLANO También puedes calcular la proyección de dos puntos de la recta sobre el plano y calcular la recta que pasa por los dos puntos proyectados

  13. Ejemplos: • Proyección P sobre plano: pág 139: 8 • Proyección recta sobre plano: pág 139: 10 • Proyección P sobre recta: pág 139: 9

  14. SIMETRÍAS

  15. PUNTO SOBRE PUNTO

  16. PUNTO SOBRE PLANO

  17. RECTA SOBRE PLANO

  18. PUNTO SOBRE RECTA

  19. Ejemplos: • Punto simétrico sobre plano: pág 154: 52 a • Recta simétrica sobre plano: pág 154: 52 b • Punto simétrico sobre r: pág 140: 11

  20. DISTANCIAS

  21. Ejemplos distancias entre dos puntos: d(A,B) = |AB| - Pág 151: 11 (punto recta cuya distancia a un punto es conocida)

  22. DISTANCIA ENTRE PUNTO y PLANO Distancia entre A y Esta manera de proceder es muy intuitiva, pero es necesario aprenderse la fórmula

  23. De lo anterior, se deduce: DISTANCIA ENTRE DOS PLANOS PARALELOS DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN

  24. Ejemplos: • Distancia de un punto a plano: pág 143: 13 • Distancia entre planos paralelos: pág 143: 14 • Distancia entre recta y plano paralelos: pág 143: 15 • Distancia entre dos rectas que se cruzan: pag 163: 6 Aplicaciones: • Pág 153: 41, 43 (con parámetros) - Determina un punto de la recta s: que diste 2 unidades del plano β: 3x – 4y + 12z = 0. • Plano paralelo a otro conocida su distancia: pág 143: 16

  25. DISTANCIA ENTRE PUNTO y RECTA

  26. De lo anterior, se deduce: DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

  27. Ejercicios: • Distancia punto recta: pág 162: 5 • Distancia entre rectas paralelas: pág 163: 6 Aplicaciones: • Áreas por distancias: pág 177: 4

  28. EQUIDISTANCIAS

  29. PLANO MEDIADOR Plano mediador de un segmento es: • El plano perpendicular al mismo por su punto medio. • También se define como • el lugar geométrico de • los puntos del espacio • que equidistan de los • extremos del segmento.

  30. PLANO BISECTOR Un plano bisector es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de dos planos dados. Hay dos.

  31. PUNTOS DE UNA RECTA QUE EQUIDISTAN DE OTROS DOS También se puede calcular el plano mediador entre B y C y hallar el punto de corte entre el plano y la recta r

  32. Ejemplos: • Mediatriz: pág 152: 24 • Halla los planos bisectores de los planos α: 2x + 3y – 4z = 6 y β: -3x + 4y -2z = -2 • Punto de una recta que equidista de dos puntos: pág 149: 3 • Puntos de una recta que equidistan de dos planos: pág 179: 16

  33. Ejercicios: - Ángulos: pág 150: 6, 8, pág 152: 27, pág 154: 46 • Proyecciones y simetrías: pág 151: 14, pág 180: 33 • Distancias: pág 151: 12, 17, pág 153: 33, 43, pág 179: 19, pág 151: 21 • Equidistancias: pág 151: 22, 23, pág 152: 24, pág 179: 16 • Áreas: pág 178: 9, 13

  34. Más ejercicios: • Pág 153: 38 - Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0). El centro está en el punto O(0,0,1). a- Calcula las coordenadas de los otros vértices b- Halla el plano que contiene al paralelogramo c- Calcula el área del paralelogramo d- Obtén los ángulos interiores del paralelogramos - Los puntos A(1,2,0), B(-1,0,1) y C(0,1,3) son los vértices de un triángulo. a- Escribe la ecuación de la recta altura que pasa por A. b- Escribe le ecuación de la recta mediana que pasa por B. c- Halla los ángulos interiores del triángulo. d- Calcula el área del triángulo.

  35. El triángulo ABC es rectángulo en A, siendo A(3,0,-1), B(6,-4,5) y C(5,3 z). Calcula el valor de z y halla el área del triángulo. - De un triángulo isósceles ABC, cuyo ángulo desigual es A, tiene por vértices B(1,-1,0) y C(3,1,0), mientras que el vértice C pertenece a la recta r: . Calcula: a- El vértice A b- El área del triángulo c- El ángulo A • Estudia la posición relativa de las rectas r: y s: Si r y s se cortan, calcula el punto de corte, y si se cruzan o son paralelas, calcula la distancia.

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