Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

1. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Objetivo general: • Proporcionar los conocimientos fundamentales • Algebra Lineal • Variable Compleja • Transformadas Integrales • Fourier • Laplace y • Zeta • que dan las bases sólidas que más tarde le permita abordar problemas para distintas áreas de la Computación e Ingeniería tales como Control Digital, Teoría de Control, Telemática.

2. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería

3. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Algebra Lineal

4. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Algebra Lineal

5. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Algebra Lineal

6. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Algebra Lineal

7. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Algebra Lineal

8. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Variable Compleja

9. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Las herramientas matemáticas como la transformada de Laplace, • la transformada de Fourier y la transformada z , permiten pasar funciones del dominio del tiempo a otros dominios donde las operaciones matemáticas resultan más simples Resultados • Variable Compleja

10. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Por ejemplo : • 1. Las transformada s de Laplace, y de Fourier permiten transformar Ecuaciones diferenciales lineales en Ecuaciones algebraicas , una vez que se han resuelto en el dominio correspondiente se encuentra la solución de las ecuaciones originales aplicando la transformada inversa . • 2. En resolución de integrales en variable real para predecir magnitudes en contextos ingenieriles, de arte y de diseño. Resultados • Variable Compleja

11. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Resultados • Variable Compleja

12. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Variable Compleja

13. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Variable Compleja

14. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Douglas N. Arnold Otros Transformacionesconformes http://www.ima.umn.edu/~arnold/complex-maps/index.html • Gráficode la función • f(z)=(z2-1)(z-2-i)2 / (z2+2+2i). • La coloraciónrepresenta el argumento de la función, mientrasque el brillorepresenta el módulo. • Variable Compleja

15. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Transformadas Integrales http://www.falstad.com/fourier/ http://www.falstad.com/mathphysics.html

16. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería La mayoría de las señales se distorsionan cuando pasan a través de un dispositivo lineal e invariante en el tiempo, y la única señal que no sufre distorsión es una señal sinusoidal pura. • Transformadas Integrales Sumando las primeras 40 componentes de frecuencia de la señal periódica. Las primeras componentes de frecuencia son: Sumando las primeras 3 componentes de frecuencia de la señal periódica. Un ejemplo de una señal periódica y sus componentes de frecuencia.

17. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Una señal sinusoidal pura no cambia su forma perosicambian: – Su amplitud. – Su fase. • En general, el cambio en la amplitud y en la fasedependen: – del sistema. – de la frecuencia de la señal sinusoidal. • Transformadas Integrales

18. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Para entender las causas que originan esta distorsión es necesario analizar el contenido de frecuencias de las señales utilizadas en ingeniería, el análisis de Fourier permite conocer el contenido de frecuencias de las señales y entender las razones para las cuales existe distorsión lineal. • Transformadas Integrales

19. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Las funciones periódicas son ampliamente utilizadas en los sistemas de comunicación y su contenido de frecuencias se puede estudiar mediante las series de Fourier. Para el caso de funciones no periódicas la herramienta que se utiliza es la transformada de Fourier la cual es una extensión a las series de Fourier para poder analizar el contenido de frecuencias de este tipo de señales. • Transformadas Integrales Espectrode Fourier de una abertura circular

20. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Las vibraciones en una membrana o un tambor o las oscilaciones inducidas en una cuerda de guitarra o violín son explicadas por una ecuación diferencial parcial llamada ecuación de onda . Esta situaciones junto con condiciones iniciales y de frontera constituyen información para encontrar la solución única de la ecuación parcial. Pues bien la solución es una suma infinita de funciones seno, una forma de expresión de series de Fourier. • Transformadas Integrales Las imágenes obtenidas por los investigadores revelan que las membranas de los glóbulos rojos pierden flexibilidad, lo cual acaba conduciendo a la aglomeración de las células, cuando éstas tratan de navegar por los diminutos vasos sanguíneos. Asimismo, se evidencia la destrucción de la hemoglobina, la molécula fundamental que los glóbulos rojos usan para el transporte de oxígeno Imágenes en 3D de un glóbulo rojo invadido por el parásito de la malaria. (Foto: YongKeun Park, Michael Feld y SubraSuresh) http://www.falstad.com/membrane/

21. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Transformadas Integrales La transformadade Laplace posee propiedades que facilitan la solución de EcuacionesDierenciales

22. Sistemas Mecánicos y eléctricos • Transformadas Integrales

23. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería f(t) x(t) m b k Fuerza de entrada • Transformadas Integrales Desplazamiento, salida del sistema

24. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Suspensión de un automóvil • Transformadas Integrales Función de transferencia

25. MODELACIÓN MATEMÁTICA Circuito eléctrico Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Transformadas Integrales

26. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Transformadas Integrales La transformadaZ posee propiedades que facilitan la solución de ecuacionesendiferencias

27. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • Transformadas Integrales Señales en TiempoDiscreto

28. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Señales en TiempoDiscreto La importancia del modelo de la Transformada Z radica en que permite reducir Ecuaciones en Diferencias o ecuaciones recursivas con coeficientes constantes a Ecuaciones Algebraicas lineales. • Transformadas Integrales Señales en TiempoDiscreto

29. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería En las matemáticas y procesamiento de señales, la Transformada Z convierte una señalreal o compleja definida en el dominio del tiempodiscreto en una representación en el dominio de la frecuenciacompleja. El nombre de Transformada Z procede de la variable del dominio, al igual que se podría llamar "Transformada S" a la Transformada de Laplace. Un nombre más adecuado para la TZ podría haber sido "Transformada de Laurent", ya que está basada en la serie de Laurent. La TZ es a las señales de tiempo discreto lo mismo que Laplace a las señales de tiempo continuo. • Transformadas Integrales Señales en TiempoDiscreto

30. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería • “ La mejor manera de predecir el futuro es inventarlo”