Teorija potražnje I

1. Teorija potražnje I Maksimizacija korisnosti i funkcija potražnje

2. Potrošačev problem - ukratko • U analizi ponašanja potrošača istaknuli smo četiri konstrukcijska elementa: • Skup mogućih izbora • Skup dostupnih izbora (budžetski skup) • Relaciju preferencije ≿definiranu na • Pretpostavku ponašanja (potrošač bira najbolju od mogućih alternativa u skladu sa svojom relacijom preferencije) ili tako da x* ≿ x za svaki

3. Funkcija korisnosti - ukratko • Svaka binarna relacija koja je potpuna, refleksivna, tranzitivna i neprekidna može se predstaviti funkcijom koju zovemo funkcija korisnosti • Funkcija korisnosti sadrži iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿ • Svojstva preferencija prenose se na svojstva funkcije korisnosti

4. Funkcija korisnosti - ukratko • Ako su preferencije racionalne, neprekidne, lokalno nezasićene i konveksne, funkcija korisnosti se “lijepo ponaša” • Ove pretpostavke osiguravaju da je funkcija korisnosti neprekidna • Mi ćemo još pretpostaviti i da je diferencijabilna (tada možemo koristiti metode diferencijalnog računa za detaljniju analizu potrošačevog ponašanja)

5. Funkcija korisnosti - ukratko • Također znamo da je funkcija korisnosti strogo rastuća i strogo kvazikonkavna te da su to njena ordinalna svojstva (koja se ne mijenjaju pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija) • Oblik funkcije korisnosti (da li je ona konkavna ili konveksna) je kardinalno svojstvo funkcije korisnosti koje se ne čuva pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija

6. Funkcija korisnosti - ukratko • Funkcija korisnosti nam je potrebna jer se njenom maksimizacijom izvodi funkcija potražnje • U tu svrhu razvit ćemo model u kojem potrošači između košara dobara koje su im dostupne biraju onu koju najviše vole

7. Izbor potrošača • Walrasovski budžetski skup • Cijene i bogatstvo (dohodak) su strogo pozitivni

8. Potrošačev problem • Potrošačev problem može se napisati kao ... (3.1)

9. Pitanja • Pitanja koja postavljamo: • Da li postoji rješenje ovog problema? • Ako rješenje postoji, kako do njega doći?

10. Da li rješenje postoji? • Budući da je u (x) neprekidna funkcija definirana na skupu koji je kompaktan (zatvoren i ograničen), možemo primjeniti Teorem o maksimalnoj vrijednosti • Prema ovom teoremu neprekidna funkcija definirana na kompaktnom skupu ima maksimum (i minimum) • Dakle, ovaj problem ima rješenje

11. Kako do rješenja? • Potrošač se suočava sa problemom maksimizacije funkcije cilja (korisnosti) uz ograničenja • Funkcije ograničenja mogu biti predstavljene kao: • uvjeti nenegativnosti • jednakosti • nejednakosti (primjeri za L=2)

12. Kako do rješenja? • Naše ograničenje dato je u formi nejednakosti • Ova činjenica, zajedno sa činjenicom da imamo i uvjete nenegativnosti, omogućuje primjenu Kuhn-Tuckerove metode • Ovu metodu nelinarnog programiranja detaljnije će obraditi profesor Neralić

13. Kako do rješenja? • Mi ćemo poći od pretpostavke monotonosti preferencija te naročito njihove lokalne nezasićenosti • Ovo svojstvo osigurat će da će se optimalno rješenje nalaziti u gornjem rubu budžetskog skupa, dakle, ograničenje će biti obvezujuće • Tako će se potrošačevo ograničenje moći izraziti u formi jednakosti ili

14. Kako do rješenja? • U svijetu L = 2 i uz momentalno zanemarivanje uvjeta nenegativnosti potrošačev problem postaje

15. Kako do rješenja? • Geometrijski, naš cilj je pronaći najviši nivo skup (krivulju indiferencije) koji ima dodirnu točku sa skupom ograničenja • Dakle, krivulju koja je tangencijalna na skup ograničenja u točki optimalnog rješenja x*

17. Maksimizacija korisnosti • Slika 3.1: U optimalnom rješenju x* najviša nivo krivulja od f tangencijalna je na skup ograničenja C b x* C

18. Maksimizacija korisnosti • Nagib nivo krivulje od f u točci x* je

19. Maksimizacija korisnosti • Skup ograničenja, odnosno njegov gornji rub, lokalno aproksimiramo funkcijom ograničenja h • Nagib funkcije ograničenjau točci x* je

20. Maksimizacija korisnosti • Kako su (zbog tangencijalnosti) nagibi funkcije f i ograničenja h u točci optimalnog rješenja x*jednaki, možemo pisati ... (3.2)

21. Maksimizacija korisnosti • Preuredimo ovaj izraz na sljedeći način ... (3.3)

22. Maksimizacija korisnosti • Kako su vrijednosti ovih omjera jednake te uz pretpostavku da su nazivnici različiti od nule, vrijednost ovog omjera označit ćemo sa ... (3.4)

23. Maksimizacija korisnosti • Napišimo izraz (3.4) kao dvije jednadžbe ... (3.5)

24. Maksimizacija korisnosti • Imamo dvije jednadžbe sa tri nepoznanice • Treća jednadžba nam je jednadžba ograničenja pa sustav jednadžbi postaje:

25. Maksimizacija korisnosti ...(3.6)

26. Maksimizacija korisnosti • Definirajmo Lagrangeovu funkciju • Ako uvrstimo naše funkcije cilja i ograničenja izraz postaje ... (3.7)

27. Maksimizacija korisnosti • Sistem (3.6) ekvivalentan je zahtjevu da je diferencijal od L jednak nuli, • Odavde slijedi da se ekstremi traže “bez ograničenja” • Ovo funkcionira samo kada su i iz izraza (3.3) u optimalnom rješenju različiti od nule

28. Kvalifikacija ograničenja • To se naziva kvalifikacija ograničenja i predstavlja blagu restrikciju skupa ograničenja • Ono znači da se kritične točke funkcije ograničenja h ne nalaze među rješenjima ovog sistema jednadžbi

29. Kvalifikacija ograničenja • Ako je ograničenje linearno, kvalifikacija ograničenja bit će automatski zadovoljena • Može se prijeći na postupak maksimizacije korisnosti kao da se radi o neograničenoj optimizaciji

30. Maksimizacija korisnosti • Kritične ili stacionarne točke u problemu neograničene optimizacije dobiju se izjednačavanjem parcijalnih derivacijaprvog reda po svim varijablama s nulom

31. Maksimizacija korisnosti • Ovi se uvjeti nazivaju uvjeti prvog reda (First Order Conditions) • Za izraz (3.7) uvjeti prvog reda su sljedeći: ... (3.8)

32. Maksimizacija korisnosti • Jednadžbe (3.8) predstavljaju nužne ali ne i dovoljne uvjete za maksimum • Za dovoljne uvjete treba konzultirati uvjete drugog reda • Međutim, ako je funkcija korisnosti strogo kvazikonkavna (opadajuća MRS za dva dobra), tada su uvjeti prvog reda i nužni dovoljni da bi rješenje bilo pravi unutarnji maksimum

33. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Označimo sa i sa gradijent vektore funkcije korisnosti i ograničenja u točci x

34. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Budući da nivo skupovi od f i h imaju isti nagib u točci x* , njihovi gradijenti u točki x* leže na istom pravcu • Gradijent vektor pokazuje smjer najbrže promjene funkcije • U slučaju maksimuma oni pokazuju u istom smjeru ( u slučaju minimuma u obrnutom)

35. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Slika 3.2: Gradijenti od f i h leže na istom pravcu kroz x* kada je x* ograničeni maksimum (a) ili minimum (b) (kolinearni su) x* x* C C

36. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Izraz (3.5) uz pomoć gradijent vektora možemo napisati kao ili f (x*) = h (x*)

37. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • To znači da su gradijent vektori kolinearni • Lagrange-ov multiplikator je faktor proporcionalnosti, skalar kojim se množi gradijent vektor ograničenja kako bi se izjednačio (i po duljini) sa gradijent vektorom funkcije korisnosti

38. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije 2 varijable i jednog ograničenja u formi jednakostiuz pomoć gradijent vektora izražava se kao ... (3.9)

39. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije n varijabli i jednog ograničenja u formi jednakostiuz pomoć gradijent vektora izražava se kao ... (3.10)

40. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Ako umjesto jednog ograničenja u formi jednakosti imamo m jednadžbi koje definiraju skup ograničenja, logika analize ostaje ista ali se umjesto gradijent vektora koristi Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda

41. Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja

42. Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja • Kaže se da ograničenje zadovoljava NDCQ (nondegenerate constraint qualification) (nedegeneriranu kvalifikaciju ograničenja) ako vrijedi r(Dh(x*))=m ,to jest, ako je rang Jacobijeve matrice maksimalan • Ovo je uvjet regularnosti koji osigurava da skup ograničenja ima svugdje dobro definirane n-m dimenzionalne tangencijalne ravnine

43. Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2 • Uvažavajući uvjete tangentnosti iz (3.2)-(3.4) prve dvije jednadžbe iz (3.8) možemo napisati kao što je poznati izraz za jednakost granične stope supstitucije MRS i omjera cijena u točci ravnoteže potrošača

44. Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2 • U rubnom optimumu gdje ova jednakost ne vrijedi, potrošač nije u mogućnosti podesiti potrošnju oba dobra da se izjednače MRS i omjer cijena

45. Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora Slika 3.3: (a) Unutarnje rješenje (b) Rubno rješenje x2 x2 p λp p x1 x1

46. Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Kada sistem jednadžbi (3.8) riješimo za dobijemo sljedeći rezultat • Ovo pokazuje da u točci optimalne potrošnje potrošač ostvaruje jednaku graničnu korisnost po jedinici novca (dohotka)

47. Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Izraz pokazuje koliko dodatne korisnosti potrošač dobije ako potroši malo više na dobro i • To znači da potrošač ima više novaca za potrošiti, to jest, da je njegovo ograničenje oslabljeno • Slabljenje ograničenja znači da potrošač ima veći dohodak

48. Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Ovaj rezultat implicira da predstavlja graničnu vrijednost relaksiranja ograničenja u problemu maksimizacije korisnosti • Pokazuje (u optimumu) graničnu korisnost dodatne novčane jedinice u potrošnji, to jest, graničnu promjenu korisnosti izazvanu graničnim povećanjem dohotka

49. Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora • Tako se ekonomski interpretira kao granična korisnost dohotka • Na taj način predstavlja novu mjeru vrijednosti rijetkih resursa u problemu maksimizacije uz ograničenje

50. Rješenje problema maksimizacije korisnosti • Dakle, rješenjem problema maksimizacije korisnosti uz ograničenje kada je rješenje jedinstveno dobijemo dvije vrste objekata: • Vektor (ili skup vektora) optimalnog rješenja x* i vrijednost Lagrange-ovog multiplikatora • Vrijednost potrošačeve maksimalne korisnosti