DINAMIKA KONSTRUKCIJA I ZEMLJOTRESNO IN ŽENJERSTVO

DINAMIKA KONSTRUKCIJAI ZEMLJOTRESNO INŽENJERSTVO prof. dr Ratko Salatić • Građevinski fakultet u Beogradu

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo DINAMIKA KONSTRUKCIJA 1,2 • Uvod u dinamikukonstrukcija • Sistemisajednimstepenomslobode • Numerička integracija Duhamel-ovog integrala • Sistemi sa više stepeni slobode • Metod konačnih elemenata u analizi linijskih nosača ZEMLJOTRESNO INŽENJERSTVO • … … …

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA • Dinamikakonstrukcija • Dinamičko opterećenje • Oblici dinamičkog opterećenja

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo UVOD U DINAMIKU KONSTRUKCIJA • Dinamičko opterećenje • Opterećenje kojeje u funkciji vremenai … • … ikojeizaziva inercijalne sile koje se ne mogu zanemariti.

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Dinamičko opterećenje Statičko opterećenje F(t) Statičko i dinamičko opterećenje F o t t 1 t =h

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE F 1 Specifičnost dinamičkog opterećenja F 2 F 3 Uticaji u konstrukcijiusleddinamičkogopterećenja zavise prvenstveno od odnosafrekvencija prinudne sile ikonstrukcije ! !

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE ODREĐIVANJE DINAMIČKIH KARAKTERISTIKA SISTEMA (određivanje sopstvene frekvence ili perioda) Poređenjesafrekventnimkarakteristikamamogućegdinamičkogopterećenja, kako bi se izbeglapojavarezonancije 9 Osnovni zadaci u dinamici konstrukcija ODREĐIVANJE UTICAJA U KONSTRUKCIJI 9 Usled dinamičkogopterećenjazadatihkarakteristika

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Matematička formulacija problema ODREĐIVANJE DINAMIČKIH KARAKTERISTIKA SISTEMA (određivanje sopstvene frekvence ili perioda) Osnovni zadaci u dinamici konstrukcija 9 Homogen problem, Svojstven problem matrice ODREĐIVANJE UTICAJA U KONSTRUKCIJI 9 Nehomogen problem linearnih algebarskih jednačina

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Kontinualno raspoređena masa • Diskretno raspoređena masa kontinualno raspoređena masa Podela sistema prema rasporedu masa diskretno raspoređena masa

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Matematička formulacija problema Kontinualno raspoređena masa Podela sistema prema rasporedu masa Diferencijalne jednačine Diskretno raspoređena masa Algebarske jednačine

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Oscilacije – Kretanjekoje se ponavlja u određenimvremenskimintervalimaivrši se uvekpoistojputanji. Oscilacije • Podela oscilacija • Veličina amplitude: Neprigušene i prigušene • Dejstvo sile: Slobodneiprinudne

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Jedan nezavisni parametar pomeranja Jedan stepen slobode Primerigrađevinskih konstrukcija ! Odnos masa u konstrukcijiodređuje ponašanje sistema pri dinamičkom opterećenju.

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodneneprigušene oscilacije • D'Alambert-ov princip –Dinamička ravnoteža sila može se posmatrati kao statička, ako se dodaju odgovarajuće inercijalne sile.

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodneneprigušene oscilacije

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Elongacija– Udaljenje mase od ravnotežnog položaja u nekom trenutku vremena. • Amplituda– Maksimalno udaljenje mase od ravnotežnog položaja. • Restituciona sila – Sila koja teži da telo vrati u ravnotežni položaj. Uvek je orijentisana ka ravnotežnom položaju tela. • Fazni ugao – Ugao koji je telo ostvarilo pri oscilacijama od trenutka kada je bilo u nultom (ravnotežnom položaju), do trenutka kada počinje računanje vremena. • Kružna frekvenca slobodnih neprigušenih oscilacija – Brzina vršenja slobodnih neprigušenih oscilacija. Slobodneneprigušene oscilacije – Pojmovi

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Period slobodnih neprigušenih oscilacija – Vreme potrebno da se izvrši jedna puna oscilacija pri slobodnom neprigušenom oscilovanju. • Sopstvena frekvenca oscilovanja – Broj punih oscilacija u jednom sekundu. • Tehnička frekvenca oscilovanja – Broj punih oscilacija u jednom minutu. Slobodneneprigušene oscilacije –Pojmovi

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Krutost dinamičkog sistema– Brojno je jednakasili, koja je potrebna da deluje na sistem u pravcuoscilovanja, da bi se masa pomerila za jediničnu vrednost u pravcu oscilovanja. Slobodneneprigušene oscilacije

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodneprigušene oscilacije • D'Alambert-ov princip –Dinamička ravnoteža sila može se posmatrati kao statička, ako se dodaju odgovarajuće inercijalne sile.

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodneprigušene oscilacije

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodneprigušene oscilacije Aperiodično amortizovano kretanje

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodneprigušene oscilacije Periodično amortizovano kretanje

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodneprigušene oscilacije

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Viskozno prigušenje–Prigušenje proporcionalno brzini. • Koeficijent viskoznog prigušenja– Brojno je jednak sili prigušenja pri jediničnoj brzini. • Koeficijent prigušenja– Definisan je izrazom:ε=c/2m. • Relativno prigušenje – Definisano je odnosom koeficijenta prigušenja i kružnom frekvencom slobodnih neprigušenih oscilacija. Bezdimenzionalnaveličina koja je mera prigušenja i predstavlja karakteristiku dinamičkog sistema. Slobodneprigušene oscilacije

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Slobodneprigušene oscilacije – Relativno prigušenje

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Logaritamski dekrement oscilacija

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Kružna frekvenca slobodnih prigušenih oscilacija– Brzina vršenja slobodnih prigušenih oscilacija. • Period slobodnih prigušenih oscilacija – Vreme potrebno da se izvrši jedna puna oscilacija pri slobodnom prigušenom oscilovanju. • Frekvenca prigušenih oscilacija – Broj punih oscilacija u jednoj sekundi. Slobodneprigušene oscilacije–Pojmovi

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Prinudneprigušene oscilacije opšte rešenje partikularno rešenje → 0

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Dinamički faktor –Odnos dinamičkog i statičkog pomeranja usled dinamičke poremećajne sile. Prinudneprigušene oscilacije

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Rezonancija – Poklapanje sopstvene i prinudne frekvence, pri kojem amplitude progresivno rastu i ograničene su samo veličinom prigušenja. Prinudneprigušene oscilacije rezonantnopodručje h h 1 2

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Rezonancija–Tacoma most

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Masa sistema – m • Krutost sistema– k • Prigušenje sistema – c ( ε, ζ) Osnovnedinamičke karakteristike • Kružna frekvenca – … • Period oscilovanja – … • Frekvenca oscilovanja – …

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Pomeranjeoslonaca

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Harmonijsko opterećenje –može prikazati jednostavnom sinusnomfunkcijom. • Furijeova transformacija –Svako periodično opterećenje može se razložiti kao konačan skup prostih harmonijskih opterećenja različitih amplituda i frekvenci. Harmonijsko opterećenje

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Naglo opterećenje – U jednom trenutku vremena opterećenje dobija ukupni intenzitet. Može se predstaviti pomoću Hevisajdove funkcije. Nagloopterećenje • Hevisajdova funkcija– Funkcija pomoću koje se može prikazati naglo opterećenje, u oblikuP(t)=Po H(t), gde je:

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Nagloopterećenje !

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Impulsno opterećenje – Kratkotrajno opterećenje velikog intenziteta koje ne menja smer dejstva i čija je brojna vrednost integrala po vremenu konačna veličina. Impulsno opterećenje

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Impuls– Vremenski integral sile. Impulsno opterećenje • Dirac-ova (delta) funkcija – Funkcija kojom se predstavlja jedinični impuls.

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Kratkotrajno impulsno opterećenje – Impulsno opterećenje za koje izazvani uticaji bitno ne zavise od vremena trajanja impulsnog opterećenja. (Kratkotrajni impuls … /T≤0.1) Impulsno opterećenje

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Duhamel-ov integral–Odgovorsistemausledproizvoljnedinamičkesile dobijen superpozicijom uticaja uzastopnih impulsa. Dejstvoproizvoljnopromenljivesile

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Spektarodgovora– ekstremne vrednosti odgovora sistemasajednimstepenomslobode u zavisnosti od dinamičkih karakteristika sistema, zaodređeno dinamičko opterećenje. Spektarodgovora W* T*

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Jednostavnaiefikasnaprimena • Izvedenizasistemsajednimstepenomslobode • Nemajuinformaciju o vremenumaksimalnoguticaja Spektarodgovora–Prednostiinedostaci

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Spektri odgovora pri pomeranju oslonaca pomeranjetla relativnopomeranje apsolutnopomeranje

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE Spektri odgovora pri pomeranju oslonaca

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo • SISTEMI SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE • Diskretizacija mase • Pretpostavke ponašanja sistema • Dinamička ravnoteža • Diferencijalna jednačina kretanja • Rešenje diferencijalne jednačine • Početni uslovi • Odgovor sistema • Ekstemumi pomeranja • Uticaji u konstrukciji • Dimenzionisanje Rekapitulacijaproračuna

Dinamikakonstrukcijaizemljotresno inženjerstvo DINAMIKA KONSTRUKCIJA • Ćorić B. i Salatić R., Dinamika građevinskih konstrukcija, Građevinska knjiga, Beograd 2011. • Timoshenko S. and Young D.H., Teorija osilacija, Građevinska knjiga, Beograd 1966. • Brčić S., Dinamika diskretnih sistema, Studentski kulturni centar, Beograd 1998. Literatura:

DINAMIKA KONSTRUKCIJA I ZEMLJOTRESNO IN ŽENJERSTVO