1 / 23

*** HALMAZOK *** A HALMAZ ÉS MEGADÁSA A HALMAZ FOGALMA

Magát a halmaz fogalmát nem definiáljuk, ugyanúgy mint ahogyan a "pontra", vagy a geometriai "egyenesre" sem adunk meghatározást. Elfogadjuk. Tetszőleges dolgok (objektumok) összességét halmaznak tekintjük; a "halmaz„ szó mintegy szinonimája a köznyelvben használt

tale
Download Presentation

*** HALMAZOK *** A HALMAZ ÉS MEGADÁSA A HALMAZ FOGALMA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Magát a halmaz fogalmát nem definiáljuk, ugyanúgy mint ahogyan a "pontra", vagy a geometriai "egyenesre" sem adunk meghatározást. Elfogadjuk. Tetszőleges dolgok (objektumok) összességét halmaznak tekintjük; a "halmaz„ szó mintegy szinonimája a köznyelvben használt "összesség", "sokaság" stb. kifejezéseknek. Az összességbe tartozó egyes dolgok a halmaz elemei. *** HALMAZOK *** A HALMAZ ÉS MEGADÁSA A HALMAZ FOGALMA

  2. Ha adott egy H halmaz, és annak h egy eleme, akkor ezt így jelöljük: Ha az jelet áthúzzuk, azaz -t írunk, az azt jelenti, hogy nem eleme a halmaznak. Venn-diagram: Üres halmaz: .

  3. Tulajdonságok: (reflexivitás) HALMAZ ÉS RÉSZHALMAZA (antiszimmetria) (tranzitivitás) Valódi részhalmazok. Példa. Legyen K = {egész számok}; H = {páratlan egész számok}. Nyilván

  4. P(H): egy H halmaz hatványhalmaza. n elemű halmaznak 2n részhalmaza van. Példa. Legyen H ={a,b,c}, akkor P(H) = {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b,c}}. Alaphalmaz. X-szel jelöljük. MŰVELETEK HALMAZOKKAL Egyesítés (jele:  ). A H és K halmazok egyesítése (összege vagy uniója): HK = {x|xH vagy xK. Metszet(jele:  ). A H és K halmazok metszete (közös része, vagy szorzata): HK = {x|xH és xK}.

  5. Azonosságok: HH = H (idempotencia) HK = KH (kommutativitás) H(KL)=(HK)L(asszociativitás) Megjegyzés. Ha H K = , H és Kdiszjunktak vagy idegenek. Különbség (jele: – ). A H és K halmazok különbsége: H–K = {x| xH és xK}.

  6. Halmaz komplementere. X – K halmaz a Kkiegészítő(komplementer) halma- za. Azonosságok: 1. H - K H2. (H - K) K = 3. H - K = H, akkor és csak akkor, ha HK= Példa.A = {a, b,c, d, e}, X={a magyar ábécé betűi}. = {a magyar ábécé betűi az a, b, c, d, e betűk kivételével}.

  7. Azonosságok:

  8. RELÁCIÓK RENDEZETT n-ESEK Rendezett pár. z=(x,y) Rendezett pár transzponáltja: (x,y)  (y,x). u = (x, y) és v = (a, b). u=v x=a és y=b. Rendezett n-es. (a1, a2,...,an)-nel jelöljük. (a1,a2,...,an)=(b1,b2,...,bn)  a1 = b1, a2=b2, ..., an= bn. Példák. 1. A sík pontjainak koordinátái. 2. Rendezett hármas a (Kovács, István,14112250138). 3. Rendezett "n-es" egy család (hármas, négyes,stb, pl.: apa, anya, gyerek1, gyerek2).   

  9. 1. Példa. Ha A = {a, b, c} és B = {x, y}, akkor A B={(a, x), (b, x), (c, x), (a, y), (b, y), (c, y)}. B A={(x, a), (x, b), (x, c), (y, a), (y, b), (y, c)}. Látható, hogy A BB A. HALMAZOK DIREKT SZORZATA DEFINÍCIÓ.A és B direkt szorzata:A B (A kereszt B), (x, y)A Bx A és y B. 2. Példa.Ha V a vezeték- , K a keresztnevek, A az adó- számok halmaza, akkor (Kovács, István,14112250138) V K A egy eleme. Megjegyzés. Descartes-szorzat elnevezés.

  10. Megjegyzés. A direkt szorzatra érvényesek az alábbi tulajdonságok. 1. 2. 3. 4. Több halmaz direkt szorzata is képezhető. Példa. Legyen R a valós számok halmaza. Az RR szorzat nyilván a síkbeli koordinátarendszer pontjait adja.

  11. RELÁCIÓK DEFINÍCIÓ. Az A1, A2,...,An halmazok A1A2...An direkt szorzatának egy részhalmazát n-változós relációnak nevezzük és R-rel jelöljük,azaz RA1 A2  ... An. A reláció tehát rendezett n-esek halmaza. Ai -t a reláció i-edik tartományánaknevezzük.

  12. név (N), születési-dátum (D), matematikaosztályzat (M). NDM Relációs adatbázis.

  13. BINÉR RELÁCIÓK Jele: aRb. PÉLDÁK 1. Példa. Binér reláció a számok közötti egyenlőség, a kisebb, a nagyobb reláció azaz: a = b, a < b, a > b. 2. Példa.xRy: "x szülője y-nak” 3. Példa. p | a: "p osztója a-nak” Az xRy relációértelmezési tartománya az {x} halmaz, képtartománya az {y} halmaz.

  14. Reláció inverze: xRy inverze yR’x. PÉLDÁK inverz relációra: 1. Ha az R a "szülője" reláció, akkor R' a "gyermeke” kapcsolatot fejezi ki. 2. A kisebb reláció inverze a nagyobb: a < b b > a. 3. Az = reláció inverze önmaga, mivel x=yy=x. A binér reláció tulajdonságai:. 1. R relációreflexív: ha xRx. Ha nem,irreflexív. Példa. A  reláció reflexív, mert x x. A < reláció irreflexív, mert x < x nem teljesül.

  15. 2. R szimmetrikus, ha xRyyRx, ellenkező esetben aszimmetrikus. Ha xRy és yRx  x=y, akkor antiszimmetrikus. Példa. Az = reláció szimmetrikus, hiszen x=y ugyanaz mint y=x. (antiszimmetrikus is.) 3. R tranzitív, ha xRy, yRz  xRz. Példa. A < reláció tranzitív. (a<b, b<c  a<c) EKVIVALENCIA ÉS RENDEZÉS a) Ekvivalencia Egy X alaphalmaz elemei közt értelmezett R relációt ekvivalencia-relációnak nevezünk, ha R reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Jelölése: x ~ y.

  16. Tulajdonságai: 1.x ~ x 2. (x ~ y)  (y ~ x) 3.(x ~ y és y ~ z) (x ~ z) Példák. 1. A valós számok körében értelmezett egyenlőség. a) a=a b) a=b b=a c) a=b, b=c  a=c 2. Ha egy ház lakóinak halmazát H-val jelöljük, akkor az "x ugyanabban a házban lakik, mint y”

  17. Egy X alaphalmaz elemei közt értelmezett R relációt akkor mondunkparciális(vagy részben)rendezési relációnak, ha R reflexív, antiszimmetrikus és tranzitív. Jelölése: xy. (olv. x megelőzi y-t) 1) xx; 2) (x y és y x)  (x=y) 3) (x y és y z) (xz)

  18. PÉLDÁK 1. Példa. A természetes számok N halmazában az oszthatóság rendezési reláció. 2. Példa. Egy X halmaz részhalmazainak halmaza: P(X). A  tartalmazás binér relációja nyilván rendezési reláció. 3. Példa. Legyen N a természetes számok halmaza. Ez a halmaz a "" relációval rendezett halmaz: N ={1,2,3,4,...}. Megjegyzés. A bináris relációk, mint halmazok között elvégezhetők a szokásos halmazműveletek. Legyenek R1 és R2 bináris relációk. Akkor szintén bináris relációk.

  19. FÜGGVÉNYEK A FÜGGVÉNY FOGALMA DEFINÍCIÓ. Legyen az f reláció első tartománya X, második tartománya Y, és tegyük fel, hogy minden xX-hez pontosan egy olyan yY létezik, melyre xfy. Ekkor f minden X-beli x elemhez egy jól meghatározott yY elemet rendel. Jelöljük ezt az y-t f(x)-szel, azaz y = f(x). Az ilyen relá- ciókat X-ből Y-ba képezőfüggvényeknekvagyleké- pezésekneknevezzük.

  20. f Y X X: fértelmezési tartománya, jele: Df Y: f képtere (értékkészlete), jele: Rf f függvény: f : xy, vagy x y Az x elemhez tartozó értéket f(x)-szel jelöljük, és azt mondjuk, hogy f(x) az x elem képe.

  21. AZ ÖSSZETETT FÜGGVÉNY DEFINÍCIÓ. f: XY, és g: Y Z két függvény. és zZ és létezik olyan yY, hogy y=f(x), z=g(y)}. Tegyük fel, hogy RfDg. A gf reláció egy függvény és összetett függvénynek hívjuk. A függvény grafikonja Jelölje f(X) az X-beli elemek képeinek halmazát Y-ban. Nyilvánvalóan f(X)Y.  Legyen f: XY és legyen X’ részhalmaza X-nek, azaz legyen X’ X. Akkor az {f(x)|xX’} halmazt az f grafikonjánaknevezzük.

  22. A FÜGGVÉNY INVERZE Ha az f függvény olyan, hogy különböző elemek képe különböző, azaz xlx2 esetén f(xl) f(x2), akkor azt mondjuk, hogy az f függvény injektív. DEFINÍCIÓ. Ha f injektív leképezés, akkor az f(X) képhalmaz minden y eleméhez egyértelműen hozzá tudjuk rendelni az y egyetlen ősképét, vagyis az egyetlen olyan xX elemet, melyre f(x)=y. Így egy újabb leképezést nyerhetünk, melynek értelmezési tartománya f(X), képtere pedig X. Ez a függvény az finverze, és f -1 -gyel jelöljük.

  23. Nyilvánvaló, hogy minden xX-ra f-1(f(x))=x és minden y f(Y)-ra y=f(f -1(y)). f- -1 Y X

More Related