1 / 96

Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek. 5. Valószínűségi változó Elméleti eloszlások Dr. Kövesi János. A valószínűségi változó. A valószínűségi változó fogalma A valószínűségi változó jellege Diszkrét Folytonos. . Eloszlásfüggvény Valószínűség-eloszlás fv. Sűrűségfüggvény Várható érték

wilona
Download Presentation

Kvantitatív módszerek

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Kvantitatív módszerek 5. Valószínűségi változó Elméleti eloszlások Dr. Kövesi János

  2. A valószínűségi változó • A valószínűségi változó fogalma • A valószínűségi változó jellege • Diszkrét • Folytonos 

  3. Eloszlásfüggvény Valószínűség-eloszlás fv. Sűrűségfüggvény Várható érték Elméleti szórás A valószínűségi változó jellemzői Diszkrét Folytonos F(k)F(x) pk — — f(x) M()M() D()D() 

  4. Valószínűség-eloszlás függvény pk = P(  = k ) Tulajdonságai: 

  5. pk 1/6 1 2 3 4 5 6 k Pk - Feladat 

  6. Eloszlásfüggvény F(k) = P(  < k ) F(x) = P(  < x ) Tulajdonságai:  Monoton növekvő: F(a)  F(b), ha a < b  Balról folytonos, szakadáshelyein a függvényérték a baloldali határértékkel egyezik meg. 

  7. F(k) 1 5/6 2/3 1/2 1/3 1/6 1 2 3 4 5 6 k F(k) - Feladat 

  8. pk és F(k) kapcsolata ahol a < b 

  9. Sűrűségfüggvény f(x) = F’(x) Tulajdonságai: f(x)  0 

  10. f(x) és F(x) kapcsolata f(x) = F’(x) ahol a < b 

  11. pk 1/6 ?! 1 2 3 4 5 6 k Várható érték Tulajdonsága: Feladat: Határozzuk meg a kockadobás várható értékét! 

  12. Szórásnégyzet, szórás Tulajdonsága: 

  13. Egyéb jellemzők • Medián • Kvantilisek • Módusz • Momntumok • Ferdeségi mutatók • Lapultsági mutatók

  14. Binomiális eloszlás

  15. Feladat (Binom. eloszlás) A Felvillanyozzuk Kft. 24 speciális …. p = 0,225 n = 5 k = 0 P(=0) = p0 = 0,2796 k = 0 v. 1 P(1) = p0 + p1= 0,2796 + 0,4058= 0,6854 

  16. Feladat (Binomiális eloszlás) Az UEFA szigorú …. 0,5987  0,6 a.) P(=0) = p0 = UEFA 0,62=0,36 0,3585 b.) P(=0) = p0 = P(=1) = p1 = 0,3774 KFT 0,7359 0,73593=0,40 

  17. Poisson eloszlás

  18. Feladat (Poisson eloszlás) Egy készülék meghibásodásainak átlagos száma 10 000működési …. M() =  = 200·10/10000 = 0,2 P(=0) = 0,8187 P(>0) = 0,1813 

  19. Feladat (Poisson eloszlás) Egy készülék szavatossági ideje … Binomiális  Poisson  = 2000·0,0005 = 1 pk Lehetséges bevétel p0 = 0,3679 +1 M() = 0,746 p1 = 0,3679 +3/4 p2 = 0,1839 +1/2 p3 = 0,0613 +1/4 p4 = 0,0153 0 p5 = 0,0031 -1 Tehát a szavatosságra 25%-ot fordít! 

  20. ha axb egyébként b a ha xa ha a<xb ha b<x Egyenletes eloszlás 1 

  21. f(x) F(x) ha x<0  1 ha x0 ha x<0 ha x0 Exponenciális eloszlás D() = 1/ M() = 1/ 

  22. A feltételes valószínűség fogalma Feladat : Egy telefonfülke előtt állunk … a.) E m l é k e z t e t ő b.) c.) 

  23. Feladat (Exponenciális eloszlás) Egy automatizált gépsor hibamentes …. 1/óra F(200)-F(150) = 

  24. Feladat (Exponenciális eloszlás) Egy radioaktív anyag …. M() = 2 év Az anyag fele elbomlik x = 1,39 év P(3) = 1- P(<3)=1-F(3)= 0,2231 

  25. f(x)  Feladat (Exponenciális eloszlás) F(1/) = ? 63,21% = 1 - 0,3679 = 0,6321 F(1/) = M() = 1/ 

  26. f(x) F(x) 0,5 Normális (Gauss-) eloszlás  M() =  D() =   

  27. Standardizálás Standardizálás logikai menete M(u) = 0 D(u) = 1 

  28. Standardizálás Az eloszlás 0 körül szimmetrikus, ezért: 

  29. Feladat (Normális eloszlás) Egy mosóporgyártó üzemben a 200 g névleges tömegű termékek eloszlását vizsgálták egy adott műszakban, s azt találták, hogy a nettó tömeg normális eloszlású 204,4 g várható értékkel és 9,4 g szórással. A termékszabványban az alsó tűréshatár 190 g, amely alatt a dobozok legfeljebb 4%-a lehet. Teljesíti-e az adott műszak termelése a szabványelőírást? 

  30.  = 9,4 204,4 Feladat-1 (Normális eloszlás) P(<190) = F(190) = 6,3% ? 190 1-0,9370 = 0,063 

  31.  = 9,4 204,4 Feladat-1 (Normális eloszlás) P(<190) = F(190) =0,04 ?? 0,96 4% ?? 190 =206,45 g  =8,22 g 

  32. Feladat-2 (Normális eloszlás) A bélszínrolót négyesével …. 0,8413 = (1) = P(<55) = F(55) = 1-0,8413 = 0,1587  0,16 0,164 = 0,0006 p= 0,16 k= 4 n= 4 Binomiális eloszlás: táblázatból 

  33. Feladat-3 (Normális eloszlás) Automata palacktöltővel töltött konyakosüve-geknél a megrendelő kikötése szerint legfeljebb 3% lehet az 510 ml űrtartalom alatti palackok aránya. Egy 20 000 db-os tételnél a minta alapján az átlag űrtartalom 532,4 ml. A töltőgép 6 mlszórással tölti a kérdéses konyakfajtát. Határozzuk meg az optimális töltési szintet! Mennyi a veszteség, ha egy palack ára 1000 Ft? 

  34. Feladat-3 (Normális eloszlás) P(<510) = 0,03 = F(510) = u= -1,88 (-u) = 0,97 =510+1,88·6= 521,3 ml (532,4-521,3)·20 000 = 222 000 ml 222 000/521,3=425 db 425 000 Ft 

  35. A központi határeloszlás tétele

  36. A központi határeloszlás tétele

  37. Nagy számok törvényei

  38. Kvantitatív módszerek 6. Statisztikai döntések alapelvei Dr. Kövesi János

  39. Döntéselméleti alapok

  40. Döntéselméleti alapok • Döntés fogalma • Döntéshozó • Cselekvési változatok (si) • Tényállapotok (tj) • tényállapotok valószínűségeloszlása P(tj) • Eredmények (oij) 

  41. Döntéselméleti alapok

  42. Döntéselméleti alapok Esetpélda: Döntési mátrix s1 = 15 000 db „A” termék legyártása} s2 = 25 000 db „B” termék legyártása} t1 = a piacon az „A” terméket keresik} t2 = a piacon a „B” terméket keresik} Eredmények: o11 = 15 000·200-15 000·100-106 = 500 eFto12 = …. 

  43. Döntéselméleti alapok Esetpélda: Döntési mátrix [eFt] 

  44. Döntéselméleti alapok Döntési osztályok A tényállapotok valószínűségeloszlásának ismerete szerint • Bizonytalan körülmények közötti döntés • P(tj)-k nem ismertek • Kockázatos körülmények közötti döntés • P(tj)-k ismertek • Döntés bizonyosság esetén 

  45. Döntéselméleti alapok • Döntési kritériumok • Biztos döntések oszt.: optimális cselekvési változat kiválasztása • Kockázatos döntések oszt.: opt. várható érték • Bizonytalan döntések oszt.: NINCS EGYSÉGES döntési kritérium • Wald, Savage, Laplace 

  46. Döntéselméleti alapok Esetpélda: Bizonytalan döntés Wald kritérium  óvatos pesszimista 500 -100 -250 750 Döntés:s1 

  47. 500 -100 -250 750 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Bizonytalan döntés Laplace kritérium  P(t1) = P(t2) = 0,5 M(s1) = 500·0,5 - 100·0,5 = 200 M(s2) = -250·0,5 + 750·0,5 = 250 Döntés:s2 

  48. 500 -100 -250 750 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Bizonytalan döntés Savage kritérium  Elmaradó haszon mátrix 0 850 750 0 Döntés:s2 

  49. 500 -100 -250 750 Döntéselméleti alapok Esetpélda: Kockázatos döntés P(t1) = 0,7 P(t2) = 0,3 M(s1) = 500·0,7 - 100·0,3 = 320 eFt M(s2) = -250·0,7 + 750·0,3 = 50 eFt Döntés:s1 

  50. Döntéselméleti alapok Esetpélda: Kockázatos döntés pótlólagos inf.-val X1: a piackutatók az „A” terméket jelzik X2: a piackutatók a „B” terméket jelzik t1: a piacon az „A” terméket keresik t2: a piacon a „B” terméket keresik Valószínűségek: P(t1) = 0,7 P(t2) = 0,3 P(x1|t1) = 0,9 P(x2|t2) = 0,8 P(x2|t1) = 0,1 P(x1|t2) =0,2 

More Related