Programa de Asignatura . Fundamentos de Matemática . Clave : MME - 312

1. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Programa de Asignatura. • Fundamentos de Matemática. • Clave : MME - 312 • Prerrequisito. : Licenciatura o su • Equivalente. • Número de Créditos : 3 • # Horas Semanales : 3 • Horas Teóricas : 3 Prácticas: 0 • Aula : 15 • Horario : Sábado de 8:00 AM a 4:00 • PM.

2. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Introducción. • Algunas frases para empezar. • Se aprende haciendo; • El esfuerzo y la dedicación aseguran el conocimiento; • Las matemáticas entran por las manos.

3. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Introducción. • Una idea fundamental en base a la cual se desarrollan muchas aplicaciones matemáticas en el mundo actual es la de conjunto. • La teoría de conjuntos ha sido desarrollada básicamente en los últimos 150 años y ha venido a revolucionar el universo de la ciencia matemática, al punto de que ninguna aplicación del área está totalmente desligada de ella. • En ocasiones se hace referencia a la teoría de conjuntos oponiéndola a la matemática denominada “tradicional”, pintando todo lo que huele a conjuntos como “moderno” y lo que no como tradicional. Aplicando bien estos conceptos, lo que la teoría de conjuntos ha hecho es dinamizar la comunicación matemática y hacer más riguroso su lenguaje.

4. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Basta poseer una idea intuitiva, pues intentar definir conjunto, podría ocasionarnos “una cadena de dificultades”. • La teoría de conjuntos fue desarrollada básicamente por Georg Cantor, desde finales del siglo XIX. • Sin la teoría de conjuntos no pudiéramos hoy definir adecuadamente objetos y conceptos básicos como Relación, Función, Grupo, Cuerpo, Topología, entre otros.

5. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. Operaciones con conjuntos. Propiedades. • Notaciones básicas. La Relación de Pertenencia. • Unión de conjuntos. Para los conjuntos A y B su unión se representa por AUB. • La definición rigurosa es AUB = {x/ x Є (AνB)}. • Intersección de conjuntos. Para los conjuntos A y B su intersección se representa por A∩B = {x/ x Є AΛ x ЄB}. • Diferencia conjuntista. La diferencia entre conjuntos se puede definir de dos formas distintas: • • Diferencia ordinaria: La diferencia ordinaria de A y B se denota por A-B y es el conjunto {x/ x Є A Λ x ∉ B}.

6. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. Operaciones con conjuntos. Propiedades. • • Diferencia simétrica: La diferencia simétrica de A y B se denota por AΔB y es el conjunto (A-B)U(B-A). • El complemento de un conjunto. Si U es el conjunto universal y A y B no son vacíos, entonces A es el complemento de B o viceversa, si AUB = U. Se denota por A´ o B´. • Qué debilidad o falla tiene esta idea? • La relación de subconjunto. Se dice que A es subconjunto de B, denotado por A ⊆B, ssi, para todo x ЄA entonces x ЄB. • Si A ⊆ B, se puede escribir B כA y se lee B contiene a A, ó B es superconjunto de A.

7. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Operaciones con conjuntos. Propiedades. • También se habla de subconjunto propio de otro, diciendo que A es subconjunto propio de B ssi, A⊆ B y A ≠ B. Esto es equivalente a decir que A⊆ B y existe x en B, tal que x no está en A. • Igualdad conjuntista. Definición. Los conjuntos A y B son iguales ssi, • A ⊆ B Λ B ⊆ A. • Principio de extensionalidad (PE). Si los conjuntos A y B tienen exactamente los mismos elementos, entonces A = B. • Principio del conjunto vacío. Existe un conjunto V que es vacío, que cumple la propiedad de que para todo x, x no está en V.

8. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Operaciones con conjuntos. Propiedades. • Teorema. Si V y V’ son conjuntos vacíos, entonces V = V’. • Demostración. • Teorema. Para todo conjuntos A se cumple que A = Ø si y sólo si, para todo B, A es subconjunto de B. • Demostración. • Este teorema asegura la existencia del conjunto vacío de una forma única.

9. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Construcción de conjuntos. • Se puede construir conjuntos de diversas maneras: • A partir de la ejecución de operaciones ordinarias previamente definidas. • A partir de establecer ciertos tipos de relaciones. • Definimos una relación de equivalencia en [0,1] por la condición, • x ∼ y si y sólo (x − y) ∈ Q, es decir, si la diferencia x − y es racional. • Observemos que en efecto si x ∼ y, entonces y − x = −(x − y) es racional también. • En general, se pueden construir conjuntos por: • Compresión; • Por extensión.

10. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Operaciones con conjuntos. Propiedades de ⊆. • La relación ⊆ posee las propiedades: • Reflexividad. Para todo conjunto A, A ⊆ A. • Antisimetría. Para todo conjuntos A, B, si A ⊆ B, entonces B no es ⊆ de A. • Transitividad. Para todo A, B y D, si A ⊆ B y B ⊆ D, entonces A ⊆ D. • Definición. Cuando una relación satisface estas tres propiedades se denomina de Orden parcial. • Definición. Una relación @ que satisface las tres propiedades: • Reflexividad; Para todo A, A @ A. • Simetría; Para todo A, B, si A @ B, entonces B @ A. • Transitividad. Para todo A, B y D; si A @ B y B @ D, entonces A @ D, se llama de Equivalencia.

11. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Práctica # 2. • Ejercicios 1, 2, 3, 4, 5,10, 11, 12 páginas 12-15. • Ejercicios 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,10, 11, 12 páginas 21- 23. • Ejercicios 1, 2, 3, 4, 5, 9,11,12, 21 páginas 35-39. • Definición importante. Dado un conjunto A, se define el conjunto potencia de A, 𝒫(A) (o partes de A) como: • 𝒫(A) := {B/ B ⊆ A}.

12. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Asignación especial. Con las orientaciones dadas en el curso sobre el libro “Los números reales como objeto matemático”, realizar un análisis sobre lo siguiente: • Capítulo I -páginas 19-37. • Capítulo II -páginas 39-67. • Capítulo III -páginas 69-101. • Capítulo IV -páginas 103-131. • Capítulo V -páginas 135-160. • Capítulo VI -páginas 163-190. • Capítulo VII -páginas 193-224.

13. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Teorema. Sean A, B, C ⊆𝒰, conjuntos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades: • (a) Idempotencia. A∪A = A y A∩A= A; • (b) Conmutatividad. A∪B = B∪A y A∩B = B∩A; • (c) Absorción. A ⊆ A∪B y A∩B ⊆ A; • (d) Identidad. A∪Ø = A y A∩𝒰 = A; • (e) Piso y techo. A∩Ø = Ø y A∪𝒰 = 𝒰; • (f) Asociatividad. (A∪B)∪C = A∪(B∪C) y (A∩B)∩C = A∩(B∩C)

14. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Teorema. Sean A, B conjuntos. Entonces se cumple que: • (a) B ⊆ A si y sólo si, A∪B = A. • (b) B ⊆ A si y sólo si, A∩B = B. • Teorema. Sean A, B, C conjuntos. Entonces se cumple la distribución: • (a) (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C); • (b) (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C). • Definición. Para un conjunto A ⊆ 𝒰, se define el complemento de A con respecto a 𝒰 como • Ac = 𝒰 – A ó x ∈ Ac ↔ (x ∈ 𝒰 Λx ∉A).

15. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Teorema (todo o nada). Para todo A ⊆ 𝒰, se cumple que: • (a) A ∩ Ac = Ø; • (b) A ∪ Ac = 𝒰. • Teorema. Para todo A, B ⊆ 𝒰, se cumple que: • (a) A – B = A ∩ Bc; • (b) (Ac)c = A; • (c) A ⊆ B si y sólo si, Bc ⊆ Ac. • Teorema (Leyes de Morgan). Para todo A, B ⊆ 𝒰, se cumple que: • (a) (A ∪ B)c = Ac∩ Bc; • (b) (A ∩ B)c = Ac∪ Bc.

16. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Definiciones importantes. • Mordedura (definición).Se dice que un conjunto A muerde a otro B, si existe algún x ∋ x ∈ A ∧ x ∈ B. • Filtro sobre un conjunto X (definición). Sea X un conjunto no vacío. Un filtro sobre X es un conjunto ℱ⊆ 𝒫(X) que satisface las siguientes propiedades: • (i) ℱ ≠ Ø; • (ii) ℱ es cerrado para la intersección (es decir, si S1, S2∈ℱ, entonces S1∩S2∈ℱ. • (iii) ℱ es cerrado para la relación de superconjunto (es decir, si S1⊆ S2⊆ X y S1∈ ℱ, entonces S2∈ ℱ.

17. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Definiciones importantes. • Filtro de Fréchet (definición). Sea ℱ= {S ∈ 𝒫(N) ∋ Sc es un conjunto finito} (en este caso, 𝒰 = N, de modo que Sc = N – S). Por ejemplo, N>3 ∈ ℱ, dado que (N>3)c = {0,1,2,3} es un conjunto finito; pero, para todo n ∈ N, se tiene que nN = {nx / x∈N} = {0, n, 2n, …}; como se observa, nN no es finito, por lo que nN ∉ℱ. • Ultrafiltro (definición). Un filtro ℱ sobre X es un ultrafiltro, si para todo A ⊆ X se tiene que A∈ℱ ó Ac ∈ ℱ.

18. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Definiciones importantes. • Ideal sobre un conjunto X (definición). Sea X un conjunto no vacío. Un ideal sobre X es un conjunto ℱ⊆ 𝒫(X) que satisface las siguientes propiedades: • (i) ℱ ≠ Ø; • (ii) ℱ es cerrado bajo la operación de unión (es decir, si S1, S2∈ℱ, entonces S1∪ S2∈ℱ. • (iii) ℱ es cerrado para la relación de subconjunto (es decir, si S1⊆ S2 y S1∈ ℱ, entonces S2∈ ℱ. • Nota. Se acostumbra decir que ℱ es una subfamilia de 𝒫(X).

19. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • El dual de una propiedad. • Definición. El dual de la propiedad P, es la propiedad Pd que se consigue al intercambiar ∩ por ∪, ⊆ por ⊇, 𝒰 por Ø y viceversa. • Por ejemplo, el dual de la propiedad P := A∩B ⊆ A, es Pd := A∪B ⊇ A. • El dual de la propiedad P := A∩Ø= Ø, es Pd := A∪𝒰 =𝒰. • La propiedad A⊆𝒰, es siempre válida y su dual A⊇Ø, también lo es. • Nota. Las leyes distributivas son duales entre sí.

20. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Unión generalizada. • Definición. Sea A un conjunto cualquiera. Se define la unión generalizada de conjuntos como • ∀p: p∈ ⋃A ⇔ ∃ b∈ A ∋ p ∈ b. Es decir, • ⋃A := {p: ∃ b∈ A ∋ p∈b}. • Intersección generalizada. • Definición. Sea A un conjunto cualquiera. Se define la intersección generalizada de conjuntos como • ∀p: p∈ ∩A ⇔ ∀ b∈ A; p ∈ b. Es decir, • ∩A := {p: ∀ b∈ A, p∈b}.

21. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Lógicamente, en estas definiciones se ha generalizado la disyunción v con el cuantificador existencial ∃ y la conjunción con el cuantificador universal ∀. • Si I es un conjunto tal que ∀ i∈I, (I es llamado conjunto de índices), Ai es cierto conjunto, entonces se define • ⋃i∈IAi := ⋃i∈I({Ai/ i∈I}). • Similarmente • ∩i∈IAi := ∩i∈I({Ai/ i∈I}).

22. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Unión e intersección generalizadas. • Ejemplo. • Si I = N y Ai = [0,i], entonces • ⋃i∈IAi = [0,∞). • Similarmente • ∩i∈IAi = {0}.

23. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Definiciones por recursión. • En ocasiones de recurre a un procedimiento similar al que sugiere el método de inducción, al intentar hacer ciertas definiciones. Es el caso de la operación factorial que asocia a cada n∈ℕ, otro n!∈ℕ, donde • n! := n(n-1)(n-2)…(2)(1), para n>0. • Convencionalmente 0! = 1. • Una manera más formal de definir a la función factorial es recursivamente, que implica una definición base y una definición inductiva: • (a) Definición base: si n = 0, entonces n! = 1. • (b) Definición inductiva: (n+1)! = (n+1)(n!).

24. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Definiciones por recursión. • Como se puede observar, la definición por recursión, debido a que ℕ posee buen orden, ha reducido el problema de calcular (n+1)! al de calcular el de n!. • En general, para definir una función por recursión debe especificarse su valor en 0 y después una descripción precisa o fórmula que represente claramente su valor en n+1, en donde se utiliza como recurso el valor de la función en n. • Por ejemplo, la función f(n) = 2n, puede definirse recursivamente así: • (a) f(0) = 1; • (b) f(n+1) = 2f(n), con n∈ℕ.

25. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • ● Relaciones. • ● El Producto Cartesiano de A y B, siendo ellos no vacíos, es el conjunto de pares ordenados tal que el primero está en A y el segundo está en B. Simbólicamente • ● AxB = {(x,y)/ x∈A∧ y∈B}. • ● Relación. Una relación de A en B ó sobre B, es cualquier subconjunto de AxB. El conjunto A se le llama conjunto de partida y a B conjunto de llegada. • ● Ley de dependencia de una relación. También es llamada regla o enunciado formal, es el criterio o fórmula con el que o la que se hacen explícitos los pares que le pertenecen y los que no le pertenecen a una relación.

26. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • ● Tipos de Relaciones. Propiedades. • ● Al conjunto de pares ordenados que satisface la ley de dependencia de una relación se le llama Grafo de ella. • ● Relación. Una relación también se puede definir de A en A ó sobre A, donde el conjunto de partida y el conjunto de llegada son iguales. • ● Tipos de relaciones en general. • Relaciones de equivalencia (reflexividad, simetría y transitividad). • Relaciones de orden (reflexividad, antisimetría y transitividad). • ● Discutir casos diferentes en el curso incluyendo algunos que implican demostraciones.

27. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • ● Orden en una relación. • ● Orden parcial. Una relación µ sobre un conjunto no vacío X (µ⊆X2), es de orden parcial, si es reflexiva, antisimétrica y transitiva a la vez. • ● Por lo general, la relación de orden parcial se denota por “≤”. • ● Orden lineal. Una relación µ sobre un conjunto no vacío X (µ⊆X2), posee un orden lineal sobre X (a veces se dice que X es un conjunto linealmente ordenado por “≤”), ssi: • - (a) ≤ es un orden parcial sobre X; • - (b) ≤ es total sobre X, es decir, dados a,b∈X, entonces a ≤ b ó b ≤ a. • ● Por definición, un orden total es cualquier orden lineal, es decir, un orden total es un orden parcial en el cual todos los elementos son comparables (propiedad (b)). Equivalentemente, un orden total es un orden parcial ≤ cuyo orden estricto asociado < cumple la propiedad de Tricotomía: dados a,b∈X, sólo es cierta una de las tres afirmaciones siguientes: • a < b; a = b; b < a. Ver ejemplos del texto.

28. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Funciones. • Definición de función . Una función ƒ: A→B, es una regla (es una relación) que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento y de un conjunto B. • Definición . Unafunción ƒ de A en B es una relación que se denota por ƒ: A→B y que satisface la siguiente propiedad: • si (x,y) ∈ ƒ y (x,y’) ∈ ƒ, entonces y = y’. • Ver y discutir ejemplos del texto. • Dominio de una función. El dominio de ƒ se define como el conjunto de todos los números reales x que pueden asignarse a ƒ, tal que ƒ(x) sea también un real. • En otras palabras, en cualquier escenario, el dominio es el conjunto formado por todos los valores que pueden ser asignados a x en A, de forma tal que ƒ(x) esté en B.

29. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • El rango. Es el conjunto formado por todas las ƒ(x) que son las imágenes de los elementos del dominio. • Clases y tipos de Funciones. • Tipos de funciones. • Algebraicas: • - Función lineal. • - Función Idéntica. • - Función constante. • - Función cuadrática. • - Función cúbica. • - Función Polinómica en general. • Función racional. • No algebraicas. Cuáles están en este grupo?

30. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Funciones. • Funciones crecientes y decrecientes. • Definición. Una función f(x) se dice creciente, ssi, x1< x2 implica que f(x1) < f(x2). • Definición. Una función f(x) se dice decreciente, ssi, x1< x2 implica que f(x1) > f(x2). • Transformaciones de Funciones. • Desplazamiento vertical. • Si se quiere que la gráfica de una función se desplace verticalmente, sólo hay que sumar una constante a su expresión analítica. • Si la constante es positiva, el desplazamiento es hacia arriba. • Si la constante es negativa, el desplazamiento es hacia abajo.

31. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Transformaciones de Funciones (c0nt.). • Desplazamiento horizontal. • Si se quiere que la gráfica de una función se desplace horizontalmente, sólo hay que sumar o restar una constante a la variable independiente. • Si la constante se suma, el desplazamiento es hacia la izquierda. • Si la constante se resta, el desplazamiento es hacia la derecha.

32. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Propiedades de las Funciones. • Reflexión de gráficas. • Reflexión respecto al eje x. • Definición. La gráfica de una función y = - f(x) es la reflexión de la función y = f(x) con respecto al eje x. • Reflexión respecto al eje y. • Definición. La gráfica de una función y = f(-x) es la reflexión de la función y = f(x) con respecto al eje y.

33. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Propiedades de las Funciones. • Estiramiento y acortamiento verticales. • Definición. Dada la función y = (x), su gráfica se estira verticalmente, si se multiplica por cualquier número c >1. Será y = cf(x). • Definición. Dada la función y = (x), su gráfica se acorta verticalmente, si se multiplica por cualquier número 0 < c <1. Será y = cf(x).

34. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Propiedades de las Funciones. • Estiramiento y acortamiento horizontales. • Definición. Dada la función y = (x), su gráfica se estira o alarga horizontalmente, si se sustituye x por cx, con c >1. Será y = (cx). • Definición. Dada la función y = (x), su gráfica se acorta horizontalmente, si se sustituye x por cx, con 0 < c <1. Será y = c(x).

35. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Propiedades de las Funciones. • Funciones pares e impares. • Definición. Una función f(x) se dice par, si y sólo si, f(-x) = f(x), para toda x en el dominio de f. • Definición. Una función f(x) se dice impar, si y sólo si, f(-x) = -f(x), para toda x en el dominio de f. • La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y. • La gráfica de una función impar es simétrica con respecto alorigen.

36. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Propiedades de las Funciones. • Combinación funcional.Algebra de funciones. • Dadas las funciones f y g, se puede combinar éstas para formar nuevas funciones como f + g, f – g, fg y f/g con g = 0. • Las nuevas funciones se llaman Suma f + g , diferencia f – g, producto fg y cociente f/g de las funciones f y g.

37. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Propiedades de las Funciones. • Composición funcional. • Dadas f y g, su composición, denotada por fóg, se define como fóg(x) = f[g(x)]. • Dadas f, g y h, la composición, denotada por fógóh, se define como fógóh(x) = f[g{h(x)}]. • Ver y discutir algunos casos.

38. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Propiedades de las Funciones. • Función uno a uno. • Definición. Una función f de dominio A se dice uno a uno ssi, no hay dos elementos de A que posean una misma imagen; es decir, f(x) es uno a uno, ssi, f(x1) ≠ f(x2) implica que x1 ≠ x2. • Prueba de la recta horizontal. • Criterio. Una función es uno a uno ssi, ninguna recta horizontal interseca su gráfica más de una vez. • Diferenciar funciones inyectivas y sobreyectivas: biyecciones y aplicaciones.

39. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Propiedades de las Funciones. • Inversa de una función. • Definición. Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa, denotada por f-1 tiene dominio B y rango A y está definida por f-1(y) = x ssi y = f(x). • Una forma práctica de describir analíticamente este resultado es siguiendo la propiedad de la inversa que dice que • Si f-1 es la inversa de f, entonces se cumple que f(f-1(x)) = x, y que f-1(f(x)) = x. • Ver y discutir algunos casos.

40. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Conjuntos enumerables y no enumerables. • Definición. Dado n∈ℕ definimos los conjuntos An recursivamente: • A0 := ∅; • An+1 := An∪{n}. El conjunto An es llamado el conjunto canónico de n elementos. • Definición. Un conjunto X se dice finito si existe n∈ℕ tal que #X = #An. • Definición. Se dice que dos conjuntos X e Y son equipotentes si tienen el mismo cardinal, es decir, #X = #Y. X e Y son equipotentes sii, existe una biyección µ: X→Y definida por X∼Y o #X = #Y.

41. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Conjuntos enumerables y no enumerables. • Definición. Sea A un conjunto. Diremos que A es enumerable ssi, #A = #ℕ. • Así, A es enumerable si existe una biyección µ: ℕ→A, de modo que A = {µ0, µ1, µ2,…}, donde µn = µ(n). • Teorema. Sea n∈ℕ*. Los siguientes conjuntos son enumerables: • (a) ℕ; (b) ℕ≥n = {k∈ℕ: k≥n}; (c) ℤ; (d) ℚ; • (e) ℤ≤n = {k∈ℤ : k≤n}; (f) nℕ = {kn: k ∈ℕ}; • (g) ℕn; (h) ℤn; (i) ℚn; (j) El conjunto de los números primos; • (k) Cualquier subconjunto infinito de un conjunto enumerable.

42. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Conjuntos infinitos no enumerables. • Sea A un conjunto cualquiera. Ocurre entonces exactamente uno de los tres casos siguientes: • (i) A es finito, es decir, existe n∈ℕ tal que #A = n. • (ii) A es enumerable, es decir, #A = #ℕ. • (iii) No se dan ni el caso (i) ni el caso (ii), es decir, A no es finito ni enumerable. • En la práctica, son los conjuntos infinitos y no enumerables; pueden describirse como, A es infinito y no enumerable ssi, #ℕ< #A. • Ejemplo: 𝒫(ℕ) es infinito y no enumerable.

43. -Maestría en matemática Educativa -ISFODOSU- Curso de Fundamentos de Matemática MME-312 Unidad III. Conjuntos, Relaciones y Funciones. • Aplicaciones que conservan el orden. • Sea ƒ una función entre dos conjuntos P y Q, donde cada conjunto tiene un orden parcial, que es el orden ≤, el cual no es otro que el orden usual de la recta real. La función f es monótona , si y sólo si,  x ≤ y implica f(x) ≤ f(y) (es decir, la función es creciente), o bien x ≤ y implica f(x) ≥ f(y) (es decir, la función es decreciente). En otras palabras, una función es monótona si conserva el orden. • Definición.En otras palabras, una función f definida asies monótona sii, conserva el orden. • Definición.La función f definida entre P y Q (ambos poseen un orden parcial), conserva el orden sii, f es una aplicación de P en Q, y dados a,b∈P , si a≤b, entonces f (a)≤ f (b) (en Q). • Definición.La aplicación f es un Isomorfismo de P en Q, si f (a)≤ f (b) se cumple cuando y sólo cuando, a≤b. Los conjuntos P y Q se denominan isomorfos entre sí.