1 / 31

Kap 06 Diskrete stokastiske variable

Kap 06 Diskrete stokastiske variable. Diskrete stokastiske variabler. En stokastisk variabel X er en funksjon som til ethvert enkeltutfall u i utfallsrommet  tilordner et tall X(u). u i. R. Sannsynlighetsfordeling. Verdimengden V X til en stokastisk variabel X

tania
Download Presentation

Kap 06 Diskrete stokastiske variable

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Kap 06 Diskrete stokastiske variable

  2. Diskrete stokastiske variabler En stokastisk variabel X er en funksjon som til ethvert enkeltutfall u i utfallsrommet  tilordner et tall X(u). ui R

  3. Sannsynlighetsfordeling Verdimengden VX til en stokastisk variabel X er mengden av de verdier X kan anta. En samlet oppstilling over verdiene i VX med tilhørende sannsynligheter P(X=x) kalles sannsynlighetsfordelingen eller punktsannsynligheten til X. (X=x) = {u| X(u) = x}

  4. Sannsynlighetsfordeling - To myntkast  = {MM,MK,KM,KK} X(u) : 0 1 1 2 Antall kron VX = { 0, 1, 2 } P(X=x) : 1/4 1/2 1/4 P KM MM 1/2 KK MK 1/4 R R 0 1 2 0 1 2

  5. Sannsynlighetsfordeling - To terningkast  = {11,12,13,14,15,16, 21,22,23,24,25,26, 31,32,33,34,35,36, 41,42,43,44,45,46, 51,52,53,54,55,56, 61,62,63,64,65,66 } P 6/36 3/36 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 R VX = {2,3,4,…,12}

  6. Fordelingsfunksjon Den kumulative fordelingsfunksjonen eller bare fordelingsfunksjonen til en stokastisk variabel X er definert ved:

  7. Fordelingsfunksjon - To myntkast P 1/2 1/4 R 0 1 2 F 1 1/2 R 0 1 2

  8. Fordelingsfunksjon - To Terningkast P 6 3 R 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 F 1 1/2 R 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

  9. Forventning Def  = { u1, u2, …, un, } P : P(u1) P(u2) … P(un) X : X(u1) X(u2) … X(un) Forventningen til en stokastisk variabel X er definert ved:

  10. Forventning Gjennomsnitt i det lange løp  = { u1, u2, …, un, } n : n(u1) n(u2) … n(un) X : X(u1) X(u2) … X(un)

  11. Regneregler for forventning - Bevis

  12. Forventning - To myntkast  = {MM,MK,KM,KK} X(u) : 0 1 1 2 Antall kron P(u): 1/4 1/4 1/4 1/4 VX = { 0, 1, 2 } P(X=x) : 1/4 1/2 1/4 Forventet antall kron ved kast med to mynter vil i det lange løp være lik 1.

  13. Forventning - Ett terningkast Forventet sum antall øyne ved kast med en terninger vil i det lange løp være lik 7/2.

  14. Forventning - To terningkast Forventet sum antall øyne ved kast med to terninger vil i det lange løp være lik 7.

  15. Forventning - Tombola  = {1 , 2 , 3 ,…, N} X(u) : v1, v2, v3,…, vN Verdien til hvert enkelt lodd P(u): 1/N 1/N 1/N 1/N Forventet verdi er lik gjennomsnittlig verdi av loddene i tombolaen.

  16. Forventning - Ett myntkastVentetid inntil første kron  = {K , MK , MMK , MMMK, … } N(u) : 1 , 2 , 3 , 4 , … Ventetid inntil første kron Forventet antall kast med en mynt inntil første kron er lik 2

  17. Forventning - Spill 1 Ett kast med en mynt Innsats : kr 10 pr kast Kron : Vinner en gevinst lik innsatsen Mynt : Taper innsatsen  = {K , M} P(u) : 1/2 , 1/2 G(u) : 10 -10 x = { -10, 10 } P(G=x) : 1/2 1/2 Et spill hvor forventet gevinst er lik 0 kalles et rettferdig spill

  18. Forventning - Spill 2 Kast med en terning Innsats : kr a 6 : Utbetaling kr 10 5 : Utbetaling kr 5 1,2,3,4 : Ingen utbetaling Bestem a slik spillet skal balansere i det lange løp  = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} P(u) : 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 G(u) : 0 0 0 0 5 10 x = { 0, 5, 10 } P(G=x) : 4/6 1/6 1/6

  19. Forventning - Spill 3 Kast med en mynt inntil kron, maks 3 ganger. Innsats a. Kron : Vinner en gevinst lik innsatsen Mynt : Taper innsatsen Spill 1 : Innsatsen er kr 10 i hver omgang Spill 2 : Innsatsen er kr 10 i første omgang, men dobles for hver ny omgang. x1 = { -30, -10, 0, 10 } P(G1=x1): 1/8 1/8 1/4 1/2  = {K , MK , MMK , MMM} P(u) : 1/2 1/4 1/8 1/8 G1(u) : 10 0 -10 -30 G2(u) : 10 10 10 -70 x2 = { -70, 10 } P(G2=x2): 1/8 7/8

  20. Regneregler for forventning

  21. Regneregler for forventning - Bevis 2

  22. Regneregler for forventning - Bevis 3

  23. Forventning - Tre myntkast  = { MMM, MMK, MKM, MKK, KMM, KMK, KKM, KKK } x : 0 1 2 3 Antall kron P(u): 1/8 3/8 3/8 1/8 Spill 1 : Gevinst Y = 2X + 1 Spill 2 : Gevinst Z = X2 Forventet gevinst:

  24. Varians / Standardavvik

  25. Regneregler for varians

  26. Regneregler for varians - Bevis

  27. Varians - To terningkast

  28. Forventning/Varians - Uavhengige variabler Vi skal bestemme forventning og varians til gjennomsnittet av n uavhengige stokastiske variabler som alle har forventning  og varians 2.

  29. Tsebysjevs ulikhet Varians Bevis:

  30. Standardisert stokastisk variabel Definisjon Regneregler

  31. END

More Related