1 / 23

Sandsynligheder og diskrete stokastiske variable

Sandsynligheder og diskrete stokastiske variable. Regler for sandsynligheder Bayes’ sætning Stokastisk variabel (diskret) Sandsynligheds fordeling Kumulativ fordeling Middelværdi, varians, standard afvigelse. Sidste gang. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder

parker
Download Presentation

Sandsynligheder og diskrete stokastiske variable

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Sandsynligheder og diskrete stokastiske variable Regler for sandsynligheder Bayes’ sætning Stokastisk variabel (diskret) Sandsynligheds fordeling Kumulativ fordeling Middelværdi, varians, standard afvigelse

  2. Sidste gang • Mængder • Hændelser • Sandsynligheder • Regler for sandsynligheder • Simultan sandsynlighed (fælles mængde) P(A∩B) • Marginal sandsynlighed (sum ud over anden variabel) P(A) • Additionsreglen (forenings mængde) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) • Betinget sandsynlighed P(A|B) • Uafhængighed P(A∩B)=P(A)P(B) • Produktregel for uafhængige hændelser • Kombinatorik

  3. Law of total probability • Law of total probability: • Altså, i ord, sandsynligheden for A er lig med sandsynligheden for fællesmængden mellem A og B plus sandsynligheden for fællesmængden mellem A og komplementær mængden til B _ B B A

  4. Eksempel – law of total probability • Kortspil – find sandsynligheden for at trække et billedkort, A: • Det må være sandsynligheden for at trække en billedkort i Hjerter, Spar, Ruder og Klør: • P(A)=P(A∩H) + P(A∩S) + P(A∩R) + P(A∩K) = 3/52 + 3/52 + 3/52 + 3/52 = 12/52 Spar Hjerter Ruder Klør A∩S A∩R A∩H A∩K A

  5. Bayes’ sætning P(B) kaldes apriori sandsynligheden og P(B|A) aposteriori sandsynligheden

  6. Bayes’ sætning – Eksempel 2-10 • En test for en sjælden sygdom, der rammer 0,1% af befolkningen (p(I)=0,001), er upræcis. Lad i det følgende: • Sandsynligheden for at testen er positiv når man er syg: • (falsk negativ) • Sandsynligheden for at testen er positiv, når man er rask (falsk positiv): • Hvad er så sandsynligheden for at man er syg, givet at testen var positiv?

  7. Eksempel 2-10 (fortsat)

  8. Extended Bayes

  9. Stokastisk variabel • En stokastisk variabel X er en funktion defineret på S (udfaldsrummet), der antager værdier på R (reelle tal) • I eksperimenter knyttes en talværdi til hvert udfald: • Stokastiske variable kan enten være diskrete eller kontinuerte. • Diskrete: Antager et endeligt antal værdier • Kontinuerte: Antager værdier i en mængde af reelle tal X: S R S X o R X(o)

  10. Eksempler på diskrete og kontinuerte variable Resten af denne forelæsning ser vi på diskrete stokastiske variable

  11. Eksempel – køn på nyfødte Betragt de forskellig mulige ordninger af drenge (B) og piger (G) i fire fødsler. Der er2*2*2*2=24 = 16 muligheder og udfaldsrummet er: BBBB BGBB GBBB GGBB BBBG BGBG GBBG GGBG BBGB BGGB GBGB GGGB BBGG BGGG GBGG GGGG Hvis pige og dreng er lige sandsynlige, [P(G) = P(B) = 1/2], og kønnet af hvert barn er uafhængig af kønnet på det foregående barn, så er sandsynligheden for hver af disse 16 muligheder: (1/2)(1/2)(1/2)(1/2) = 1/16.

  12. Eksempel - fortsat • Tæl antallet af piger i hver af de fire fødsler: • BBBB (0) BGBB (1) GBBB (1) GGBB (2) • BBBG (1) BGBG (2) GBBG (2) GGBG (3) • BBGB (1) BGGB (2) GBGB (2) GGGB (3) • BBGG (2) BGGG (3) GBGG (3) GGGG (4) • Bemærk at: • hvert mulig udfald tildeles en enkelt værdi • værdierne, der tildeles varierer over de forskellige udfald • Antallet af piger er en stokastisk variabel: • En stokastisk variabel , X, er en funktion, der tildeler en enkelt, men variabel værdi til hvert element i udfaldsrummet.

  13. BBBB BGBB GBBB BBBG BBGB GGBB GBBG BGBG BGGB GBGB BBGG BGGG GBGG GGGB GGBG GGGG 0 1 X 2 3 4 Udfalds rum Eksempel - fortsat Punkter på den reelle linie

  14. Eksempel - fortsat Eksempel: Den stokastisk variabel X = 3 når de følgende fire hændelser BGGG, GBGG, GGBG, eller GGGB forekommer, P(X = 3) = P(BGGG) + P(GBGG) + P(GGBG) + P(GGGB) = 4/16 Sandsynligheds fordelingen af en stokastisk variabel er en tabel, der opskriver alle de mulige værdier af en stokastisk variabel og deres tilknyttede sandsynligheder. x P(x) For eksemplet: 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 16/16=1

  15. Eksempel - fortsat

  16. Sandsynligheds fordeling

  17. Kumulativ fordelings funktion Den kumulative fordelings funktion, F(x), af en diskret stokastisk variabel X er: Kommulativ fordelings funktions for antallet af piger ved 4 fødsler: x P(x)F(x) 0 1/16 1/16 1 4/16 5/16 2 6/16 11/16 3 4/16 15/16 4 1/16 16/16 1.00 1 . 0 0 . 9 0 . 8 0 . 7 0 . 6 ) x ( 0 . 5 F 0 . 4 0 . 3 0 . 2 0 . 1 0 . 0 0 1 2 3 4 x

  18. x P(x)F(x) 0 1/16 1/16 1 4/16 5/16 2 6/16 11/16 3 4/16 15/16 4 1/16 16/16 1.00 Eksempel - fortsat

  19. Middelværdi • Middelværdien af en diskret stokastisk variabel X er givet som: • Dvs. summen af værdien gange sandsynligheden for værdien – et vægtet gennemsnit. • Bemærk! Middelværdi kaldes også den forventede værdi. • Eksempel: x P(x) 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 16/16=1

  20. Varians • Variansen er den vægtede gennemsnitlige kvadreret afvigelse af værdierne af en stokastisk variabel fra gennemsnittet. • Standard afvigelsen er kvadratroden af variansen:

  21. Varians - eksempel x P(x) 0 1/16 1 4/16 2 6/16 3 4/16 4 1/16 16/16=1

  22. Regneregler for middelværdi og varians

  23. Opsummering • Law of total probability • Bayes’ sætning • Stokastisk variabel (diskret) • Sandsynligsheds fordeling • Kumulativ fordelings funktion • Middelværdi, varians, standard afvigelse

More Related